基于犹豫直觉模糊语言集均值 -标准差偏好 距离的多属性决策研究

刘东海¹,刘原园¹,陈晓红²

(1.湖南科技大学应用统计系，湖南 湘潭 411201;2.湖南商学院 湖南省移动电子商务协同创新中心，湖南 长沙 410205)

摘 要 ：在犹豫直觉模糊语言集和语言尺度函数的基础上定义了均值-标准差偏好的Hamming距离，并提出了基于犹豫直觉模糊语言集距离TOPSIS和TODIM的多属性决策方法，进一步利用这两种方法对实例问题建筑商的招标方案进行排序，并讨论了偏好参数对排序结果的灵敏度分析。为验证上述方法的有效性，与已有方法对同一实例的排序结果进行了比较分析。

关键词 ：犹豫直觉模糊语言集；均值-标准差；语言尺度函数；TOPSIS方法；TODIM方法

1 引言

1965年，Zadeh^[1]在X ={x ₁,x ₂,…,x _n }上定义了模糊集A ={(x _i ,μ _A (x _i ))x _i ∈X },其中μ _A (x _i )∈[0,1]表示x _i ∈X 的隶属度。Atanassov^[2]认为模糊集只考虑了x _i ∈X 的隶属度并没有考虑其非隶属度，为了更好地对相关信息进行描述，提出了直觉模糊集A ′={x _i ,(μ _A′ (x _i ),ν _A′ (x _i ),π _A′ (x _i ))x _i ∈X },且μ _A′ (x _i )+ν _A′ (x _i )+π _A′ (x _i )=1,其中μ _A′ (x _i ),ν _A′ (x _i ),π _A′ (x _i )∈[0,1]分别表示x _i ∈X 的隶属度，非隶属度和犹豫度。人们常用直觉模糊集来描述和处理多属性群决策问题中的不确定信息，如Liang等^[3]针对混合型的不完全评价信息，提出了一种基于直觉模糊集和证据理论的决策方法，解决了供应商选择的多属性决策问题，Yue^[4]将直觉模糊集理论应用到双边匹配决策领域中，给出了一种直觉模糊集信息下双边匹配的决策途径。直觉模糊集中隶属度和非隶属度是用确定的数值表示，在一些决策问题中，由于决策环境的复杂性、不确定性以及决策者对评价对象的主观认识，此时人们无法用精确的数值来对他们进行评价。例如，评价某一公司投资方案的优劣时，决策者可能会说“这个投资方案整体上是好的，但可行性有一点弱”等语言术语，语言术语表达的观点与人们的认知非常接近，但其运算有点复杂。Zadeh^[5-7]定义了语言集S ，用语言术语表达决策信息，如七值语言集S 可表示为S ={s ₀:非常低,s ₁:很低,s ₂:低,s ₃:中等,s ₄:高,s ₅:很高,s ₆:非常高}。一些学者利用语言集表达信息的可行性和灵活性来考虑多属性群决策问题，如Herrera等^[8]考虑了语言评估的一致性，进一步Herrera等^[9]利用语言有序加权算子研究了个体语言偏好关系的群决策问题，Xu Zeshui^[10]提出了利用语言混合聚合算子解决具有不确定乘性语言偏好关系的群决策问题。但在一些实际问题的评价中，如专家组对某地区的洪涝灾害风险进行评估时，决策者认为该地区的风险“有可能是中等，有可能是高”，此时无法用单一的语言术语来表达他们的评价信息^[11]。为此，Liao Huchang等^[13]提出了犹豫模糊语言集H _S ={(x _i ,M _S (x _i )x _i ∈X )}，其中M _S (x _i )是由多个语言术语构成的集合，如M _S (x _i )={s ₃,s ₄}表示x _i ∈X 隶属度有可能是中等，有可能是高。犹豫模糊语言集虽能灵活地反映决策者的犹豫程度，但它没有表示x _i ∈X 语言评价术语的非隶属度，并没有全面反映决策者对评价对象的评价情况。为此，Beg和Rashid^[14]提出了犹豫直觉模糊语言集E _S ={(x _i ,M _S (x _i ),N _S (x _i ))x _i ∈X }，其中M _S (x _i ),N _S (x _i )是语言集的子集，分别表示x _i ∈X 语言评价术语的隶属度和非隶属度。

另一方面，基于距离测度的决策方法是多属性决策问题中一种重要的决策方法，它是描述评价集合之间不同性的一种度量。一些学者对语言集、犹豫模糊语言集、犹豫直觉模糊语言集的距离进行了研究，并将它们广泛应用到数据挖掘、模式识别等领域。Xu Zeshui^[15]定义了语言术语的偏离度，并将其应用于语言偏好关系的群决策问题，但此距离仅适合两个语言集语言术语个数相同的情况。Liao Huchang等^[16]在Xu Zeshui^[15]的基础上考虑了当两个犹豫模糊语言集语言术语个数不相同时，根据决策者的风险偏好将两个犹豫模糊语言集的语言术语个数添加至相同，并定义了犹豫模糊语言集的混合Hamming距离和混合Euclidean距离，提出了基于相应距离测度的决策方案排序问题。进一步Beg和Rashid^[14]提出了犹豫直觉模糊语言集的包络距离，在这个距离测度中，只用了语言术语隶属度与非隶属度的最大值和最小值，并没有考虑其余的语言术语评价值，这就有可能出现评价信息失真的情况。在文献[14-16]中定义的语言集距离均是用语言变量的下标值计算，这失去了语言术语集本身表达的优势，且没有体现在不同语义环境下语言术语评价值的差别。基于上述研究，本文将运用语言尺度函数，定义基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好的Hamming距离，提出基于犹豫直觉模糊语言集距离测度的TOPSIS和TODIM的多属性群决策方法，并利用这两种方法对评估对象进行排序。

本文的结构是：第二节给出了预备知识；第三节定义了基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差的距离测度，并证明了它的相关性质；第四节给出了基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差距离的TOPSIS和TODIM决策方法；第五节通过实例验证了上述方法的可行性和有效性，并与已有方法进行了比较；第六节对全文进行了总结，并对将要进行的研究做了展望。

2 预备知识

2 .1 语言集

定义1^[5]设S ={s ₀,s ₁,…,s _2t }是由语言术语组成的集合, 且满足: (1) 逆运算neg (s _i )=s _j ,i +j =2t ;(2)有序性：s _i ≤s _j ⟺i ≤j ,且当s _j ≥s _i 时，最大算子max(s _i ,s _j )=s _j ;当s _i ≤s _j 时，最小算子min(s _i ,s _j )=s _i ，满足上述条件的集合S 称为语言集，2t +1为语言集S 中语言术语的个数。

Xu Zeshui^[17]将离散的语言集S 拓展到了连续语言集其中τ >t (t ∈Z ⁺).

用ArcGIS的Surface Analyst工具中的坡度、坡向工具，对DEM数据进行坡度和坡向数据进行提取。坡向分为平面(-1)、北(0～22.5°)、东北(22.5°～67.5°)、东(67.5°～112.5°)、东南(112.5°～157.5°)、南(157.5°～202.5°)、西南(202.5°～247.5°)、西(247.5°～292.5°)、西北(292.5°～337.5°)、北(337.5°～360°)[9]。海拔、坡度、坡向3种地形因子设置不同的权重进行融合，构建梅县区的地形因子宜居评价的综合指数，从而分析出客家人口分布成因。

基于上述的语言集对于任意两个语言术语运算法则可定义为：

下面我们将给出基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好Hamming距离的TOPSIS和TODIM的多属性决策方法。

(1)s _i ⊕s _j =s _i+j ;(2)λs _i =s _λi ;(3)当j >i 时，s _j >s _i 。

甲状腺全切术是治疗甲状腺癌的常见术式之一，术后甲状旁腺功能减退的发生率也相应增加[1]。近年来甲状腺精细化被膜解剖技术的应用，使甲状旁腺损伤率有效减少，该技术也获得了业界的广泛认可[2-3]。现将我科在行甲状腺全切，尤其是甲状腺癌复发再次手术及同期行中央区淋巴结清扫者应用精细化被膜解剖技术保护甲状旁腺的经验总结如下。

2 .2 犹豫直觉模糊集

定义2^[18]定义在X ={x ₁,x ₂,…,x _n }上的犹豫直觉模糊集K ={(x _i ,H _K (x _i ),V _K (x _i )x _i ∈X )},其中H _K (x _i ),V _K (x _i )分别表示x _i ∈X 的隶属度和非隶属度的集合，∏_K (x _i )为x _i ∈X 的犹豫度的集合，且满足：

近几年来，由于我国实行宽松的货币政策和积极的财政政策，加上经济的高速发展，共同推动了我国银行业的快速发展。2017年我国金融市场整体运行稳健，银行业保持着较高的增长势头；但近几年来，商业银行面临的风险也随经济全球化和互联网经济的发展而增加，因此，正确分析资产证券化业务所面临的风险和探究降低资产证券化风险的措施十分重要。

2 .3 犹豫模糊语言集

定义3^[13]设X ={x ₁,x ₂,…,x _n },s _i ∈S ,则定义在X 上的犹豫模糊语言集H _S ={(x _i ,M _S (x _i )x _i ∈X )},其中M _S (x _i )⊂S ,M _S (x _i )中的每个元素表示x _i ∈X 的语言术语评价值隶属度。

2 .4 犹豫直觉模糊语言集

定义4^[14]定义在X ={x ₁,x ₂,…,x _n }上的犹豫直觉模糊语言集E _S ={(x _i ,M _S (x _i ),N _S (x _i ))|x _i ∈X },其中M _S (x _i ),N _S (x _i )⊂S ，分别表示x _i ∈X 的语言术语评价的隶属度和非隶属度。当X 中只有一个元素x _i 时，简记E _S ={M _S ,N _S },称其为犹豫直觉模糊语言数。

集合M _S ,N _S 的上下界分别记为为：其中#M _S ,#N _S 分别为集合M _S ,N _S 中元素的个数。

当人们应用语言信息解决多属性决策问题时, 是利用语言术语下标直接进行计算，在运算过程中可能会造成信息的丢失，为了克服这个问题，Xu Zeshui^[19]利用语言术语与其下标之间的严格递增关系，提出了基于语言标度中术语指标的多属性群决策方法，由于在不同语义环境下语言术语对评价对象的表达有一定的差异性，为了刻画这种抽象程度的差异性，可以利用语言尺度函数对不同语义环境下的语言术语赋予确定的数值。语言尺度函数的灵活性以及描述不同语义环境下评价对象的差异性等优点，使它在实际中有着广泛的应用。

定义5^[19]设S ={s ₀,s ₁,…,s _2t }为语言集,s _i ∈S ,如果存在严格单调的递增映射f :s _i →θ _i ,

(i =0,1,,…,2t )，则称f 为语言尺度函数。常用的语言尺度函数有以下三种^[20]：

(1)f ₁(s _i )=θ _i =i /2t (i =0,1,…,2t )，θ _i ∈[0,1]

(3)f ₃(s _i )=θ _i =

风筝被树丫只是轻轻地缠住，树很高，爬上去弄是不现实的，而如果手用力，只会让风筝扯破。我建议，要不把线剪断吧。

(2)f ₂(s _i )=θ _i =

当语言集S 为七值语言集时，此时语言尺度函数f ₂(s _i )中a 通常取值为1.37,语言尺度函数f ₃(s _i )中ξ ,η 通常取值为0.88^[21]。

为对不同的直觉模糊数进行比较，Xu Zeshui^[22]基于直觉模糊数的得分函数和精确函数提出了直觉模糊数的比较法则。这种比较方法得到了广泛的推广，在Xu Zeshui^[22]的基础上，Faizi等^[23]提出了犹豫直觉模糊语言数的得分函数，精确函数以及犹豫直觉度函数。

定义6^[23]设S ={s ₀,s ₁,…,s _2t }为语言集，E _S ={M _S ,N _S }为某一犹豫直觉模糊语言数，其得分函数为S (E _S )=s (M _S )-s (N _S ),精确函数为A (E _S )=s (M _S )+s (N _S ),犹豫直觉度函数为

H (E _S )=1-A (E _S ),其中分别为集合M _S ,N _S 中元素的个数,f (·)为语言尺度函数。

基于犹豫直觉模糊语言数的得分函数和精确函数，Faizi等^[23]给出了两个犹豫直觉模糊语言数E _S ¹,E _S ²的比较法则：

(1)如果S (E _S ¹)>S (E _S ²),则有E _S ¹≻E _S ²;

(2)如果S (E _S ¹)=S (E _S ²)且A (E _S ¹)>A (E _S ²),则有E _S ¹≻E _S ²;

例如：在《黄鹤楼送孟浩然之广陵》相关内容教学中，小学生由于自身经历的局限性，难以真正理解文章中描述的内容，从而难以融入自身的情感，朗读质量也不高。针对这种情况，教师可以利用多媒体工具，为学生尽可能还原当时的情景，通过视频、音频、图片等直观的刺激，让学生有更加直观的认识，更好地融入到教学情境中进行朗读，自身的情感也能更好地融入，朗读兴趣与积极性也会随之提升。

3 基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差的偏好距离

基于距离测度的决策方法是多属性决策问题的一种重要决策方法，常用于分析两个评价对象集合的差异。当两个犹豫直觉模糊语言集的得分函数和精确函数都相等时，此时无法利用Faizi等^[23]提出的法则对它们进行比较，但利用距离测度能很好地解决这个问题。有学者对犹豫直觉模糊语言集的距离测度进行了研究，如Beg和Rashid^[14]提出了犹豫直觉模糊语言集的包络距离测度：

定义7^[14]定义X ={x ₁,x ₂,…,x _n }在上的犹豫直觉模糊语言集A 的包络可以表示为：env (A )={(x _i ;[min(M _S (x _i )),max(M _S (x _i ))],[min(N _S (x _i )), max(N _S (x _i )]x _i ∈A )},为了方便，将env (A (x _i ))=[min(M _S (x _i )),max(M _S (x _i ))],[min(N _S (x _i )),max(N _S (x _i )]记为犹豫直觉模糊语言集的包络元素。

定义8^[14]设E _A(x )和E _B(x )是定义在X ={x ₁,x ₂,…,x _n }上的两个犹豫直觉模糊语言集，则它们之间的距离为:

例 1 设E _A(x ),E _B(x )和E _C(x )为三个犹豫直觉模糊语言数,E _A(x )=([s ₆,s ₆],[s ₁,s ₂]),E _B(x )=([s ₅,s ₅],[s ₂,s ₂]),E _C(x )=([s ₆,s ₆],[s ₄,s ₄]),由Faizi等^[23]的比较法则，有E _C(x )E _B(x )E _A(x ),则E _A(x )与E _C(x )的偏差大于E _B(x )与E _C(x )的偏差。

而由Beg和Rashid^[14]定义的距离测度，有d (E _A(x ),E _C(x ))=|6-6|+|6-6|+|1-4|+|2-4|=5；d (E _B(x ),E _C(x ))=6,即d (E _A(x ),E _C(x ))<d (E _B(x ),E _C(x ))。

这时E _A(x )与E _C(x )的偏差小于E _B(x )与E _C(x )的偏差。由Beg等^[14]定义的距离来看,显然不满足:当E _C(x )⊆E _B(x )⊆E _A(x )时,d (E _A(x ),E _C(x ))≥d (E _B(x ),E _C(x )),d (E _A(x ),E _C(x ))≥d (E _A(x ),E _B(x ))。

我们可以看到，Beg和Rashid^[14]定义的距离测度只考虑了隶属度的最大值和最小值，并没有考虑其它语言术语评价值的信息，同时它也忽略了犹豫模糊集多值评价的显著特点；另一方面，该距离的计算是直接运用语言术语评价值的下标，这不仅失去了语言术语表达实际问题的灵活性，而且也没有考虑不同语义环境下语言术语评价值的差别。

为克服上述距离的不足之处，基于语言尺度函数，我们来定义犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好的Hamming距离。

定义9设两个犹豫直觉模糊语言数为E _S ¹={M _S ¹,N _S ¹}和E _S ²={M _S ²,N _S ²},基于犹豫直觉模糊语言数均值-标准差偏好的Hamming距离定义为：

其中

α ,β 为非负常数，且α +β =1;E _m ⁱ ,E _n ⁱ ?(i =1,2)分别为x _i 的隶属度和非隶属度的均值；S _m ⁱ ,S _n ⁱ (i =1,2)分别为x _i 的隶属度和非隶属度的标准差;#M _S ¹,#N _S ¹, #M _S ²,#N _S ²分别为对应集合中元素的个数，f (·)为语言尺度函数。

定理1 设E _S ¹={M _S ¹,N _S ¹},E _S ²={M _S ²,N _S ²}和E _S ³={M _S ³,N _S ³}为犹豫直觉模糊语言数，基于两个犹豫直觉模糊语言数均值-标准差偏好的Hamming距离满足以下性质：

“哎，别给你们一点自由，你们就信马由缰！”马国平咽回笑意，故作严肃地道，“说是说，笑是笑，你们一个个的要是败坏了军中铁的纪律，轻则遣送回乡，重则上军事法庭，最严重的，还要——”直到所有官兵的目光，都专注在自己身上了，马国平才做了一个杀头的姿势，“咔嚓！不光荣在战场上，却光荣在情场上，背一辈子黑锅，做一辈子缩头乌龟，你们愿意吗？”

(1)0≤d (E _S ¹,E _S ²)≤1;(2)d (E _S ¹,E _S ²)=d (E _S ²,E _S ¹);(3)d (E _S ¹,E _S ²)≤d (E _S ¹,E _S ³)+d (E _S ³,E _S ²)。

(1)证明：语言尺度函数f :s _i →θ _i ,0≤θ _i ≤1,又均值E _m ¹,E _n ¹,E _m ²,E _m ²和标准差S _m ¹,S _n ¹,S _m ²,S _n ²取值在0和1之间，则有0≤E _m ,E _n ,S _m ,S _n ≤1。又为非负常数，且α +β =1,故0≤d (E _S ¹,E _S ²)≤1。

(2)证明： ∵E _m ¹-E _m ²=E _m ²-E _m ¹,E _n ¹-E _n ²=E _n ²-E _n ¹,S _m ¹-S _m ²=S _m ²-S _m ¹,S _n ¹-S _n ²=S _n ²-S _n ¹,

∴d (E _S ¹,E _S ²)=d (E _S ²,E _S ¹)。

相对而言，陆军的BIM发展政策最为完善和系统化。 而其中起决定性作用的是美国陆军工程兵部队 (US Army Corps of Engineers，USACE)。 陆军工程兵部队为美国国防部下属所有国内和海外军事设施提供工程设计、项目管理、施工管理以及运行维护服务。早在2006年10月，陆军工程兵部队下属工程研究与发展中心 (Engineer Research and Development Center，ERDC) 制定并发布了未来15年的BIM发展路线规划，承诺未来所有军事建筑项目都使用BIM技术，其阶段性的目标和长期战略目标见图2。 这意味着BIM在军事建筑领域将全面普及。

(3)证明：∵E _m ¹-E _m ²=E _m ¹-E _m ³+E _m ³-E _m ²≤E _m ¹-E _m ³+E _m ³-E _m ²;

同理E _n ¹-E _n ²≤E _n ¹-E _n ³+E _n ³-E _n ²,

由(3.1)和(3.2)式可得：d (E _S ¹,E _S ²)≤d (E _S ¹,E _S ³)+d (E _S ³,E _S ²)

S _m ¹-S _m ²≤S _m ¹-S _m ³+S _m ³-S _m ²,S _n ¹-S _n ²≤S _n ¹-S _n ³+S _n ³-S _n ²;

资料显示，巴斯夫于2017年10月和2018年4月先后签署协议，收购拜耳在并购孟山都的框架下剥离的业务和资产，两次收购的现金总价为76亿欧元，约4500名员工加入巴斯夫。协议涉及拜耳全球草铵膦非选择性除草剂业务，关键大田作物在部分市场的业务包括性状、研发、育种能力以及商标，蔬菜种子业务、杂交小麦研发平台、一系列部分种子处理产品，部分工业用草甘膦除草剂在欧洲的业务，全套数字化农业平台xarvioTM，以及部分非选择性除草剂和杀线虫剂研究项目。今年8月16日，巴斯夫顺利完成了对拜耳旗下以纽内姆（Nunhems）品牌运营的全球蔬菜种子业务的收购。

故

(3.1)

(3.2)

传统双边匹配决策方法建立在期望效用理论基础之上，假设匹配主体是完全理性的，然而在实际匹配过程中，匹配主体在行为上并非完全理性，而表现为参照依赖和损失规避等心理行为特征。1979年Kahneman和Tversky通过大量的实验研究发现了决策者的实际决策行为与期望效用理论相背离的现象，并引入心理学的研究成果，提出了前景理论[22-23]。前景理论使用价值函数取代期望效用理论中的效用函数，能很好地描述和表达匹配主体在决策过程中的参照依赖和损失规避等心理行为特征。

例 2 利用定义9中的距离继续考虑例1。

令则有d E _Ax ,E _Cx =0.0583,d E _Bx ,E _Cx =0.025,d E _Ax ,E _Bx =0.0500;即d (E _A(x ),E _C(x ))>d E _Bx ,E _Cx ,d (E _A(x ),E _C(x ))>d (E _A(x ),E _B(x )),故当E _C(x )E _B(x )E _A(x )时,有E _A(x )与E _C(x )的偏差大于E _B(x )与E _C(x )的偏差,E _A(x )与E _C(x )的偏差大于E _A(x )与E _B(x )的偏差。这样我们定义的距离克服了Beg等^[14]距离的不足。

我们定义基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好的Hamming距离如下：

“今儿个呢，王爷？”晚饭毕，眼看着王爷已跨出饭馆门，戏班子几个人赶紧起身，用手胡乱抹几下嘴，追了出去。

步骤7.计算方案A _i 的综合排序值

其中

α ,β 为非负常数，且α +β =1;E _m ^ji ,E _n ^ji (j =1,2)分别为x _i 的隶属度和非隶属度的均值；S _m ^ji ,S _n ^ji (j =1,2)分别为x _i 的隶属度和非隶属度的标准差;#M _S ¹ⁱ ,#N _S ¹ⁱ , #M _S ²ⁱ ,#N _S ²ⁱ 分别为对应集合中元素的个数,f (·)为语言尺度函数。

2011年2月，《刑法修正案(八)》增设罪名，将组织出卖人体器官等行为纳入刑法规制范畴。《刑法修正案(八)》发布之前，我国各地对非法买卖人体器官行为曾以非法经营罪定罪处罚。值得思考的是，非法经营罪属于破坏社会主义市场经济秩序的犯罪，刑罚较轻，与买卖人体器官严重的社会危害性不相适应，不利于有效打击买卖器官相关犯罪。

与定理1的证明方法类似，容易证明d (E _A1(x ),E _A2(x ))满足定理1中的三条性质。

4 基于犹豫直觉模糊语言集距离测度的多属性决策

这一小节，我们将考虑犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离的多属性决策。假设有k 个决策者D ={D ₁,D ₂,…,D _k }(k >1)根据n 个属性C ={C ₁,C ₂,…,C _n }从m 个选择方案A ={A ₁,A ₂,…A _m }中选择最优方案。设第j 个属性的权重为ω _j (0≤ω _j ≤1,且第t 个决策者在属性C _j 下对方案A _i 进行评价，用犹豫直觉模糊语言数表示为E _Sij ^t ={M _Sij ^t ,N _Sij ^t }，(1≤t ≤k ),对应的犹豫直觉模糊语言决策矩阵为:

10月26日上午，顺丰航空有限公司首架B 747-400 ERF（延远程宽体全货机）顺利完成适航恢复，飞抵深圳宝安国际机场，入列顺丰机队。随着这架空中“巨无霸”的加入，顺丰航空在运营全货机数量增长至48架，现代化机队建设再次取得里程碑式的突破，“大飞机”时代正式开启，顺丰航空的运行实力与航空物流服务水平将再上新台阶。

4 .1 基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差距离测度的TOPSIS方法

TOPSIS方法是多属性决策过程中一种经典方法，它利用各方案与正理想解和负理想解的距离来对评价对象进行排序^[16,24]。最好的评价方案离“正理想解”距离最近，同时离“负理想解”距离最远，反之为最差。TOPSIS方法的优点是考虑了不同属性的类型，通过综合评价指数来刻画评价方案的优劣，计算简便，可以很快地得到方案的排序结果；该方法的不足之处是依赖于距离测度，使用不同的距离测度可能得到不同的排序结果。基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好Hamming距离测度的TOPSIS方法具体步骤如下：

步骤1.给出犹豫直觉模糊语言决策矩阵E _S ^t (t =1,2,…,k );

步骤2.对k 个犹豫直觉模糊语言决策矩阵进行聚合，得E _S =(E _Sij )_i=1,2,…,mj =1,2,…,n ,

江西省位于长江中下游南岸，属亚热带季风气候，雨量丰沛，多年平均年降水量 1 638 mm，4—6月为降雨集中期，降水量接近全年一半。江西山地、丘陵占全省面积78%，东、南、西三面环山，南部属南岭山地，九连山、大庾岭，西部有幕阜山脉、九岭山脉，罗霄山脉及武功山、井冈山，东北部有怀玉山脉，东部武夷山脉，其主峰黄岗山小岩头山海拔2 158 m，为全省最高峰；特殊的气候和自然环境，决定着江西是一个山洪频发的省份。

其中

且

(3)如果S (E _S ¹)=S (E _S ²)且A (E _S ¹)=A (E _S ²),则有E _S ¹=E _S ²。

步骤3.确定正理想解E _S ⁺和负理想解E _S ^-;对于效益型J ₁和成本型J ₂两种属性，正理想解和负理想解分别可以表示为：

E _S ⁺={maxE _Si1 ,maxE _Si2 ,…,maxE _Sin },j ∈J ₁,i =1,2,…,m ;E _S ^-={minE _Si1 ,minE _Si2 ,…,minE _Sin },j ∈J ₁,i =1,2,…,m ;

E _S ⁺={minE _Si1 ,minE _Si2 ,…,minE _Sin },j ∈J ₂,i =1,2,…,m ;E _S ^-={maxE _Si1 ,maxE _Si2 ,…,maxE _Sin },j ∈J ₂,i =1,2,…,m ;其中maxE _Sij ,minE _Sij (i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n )由Faizi等^[23]的比较法则确定。

步骤4.分别计算每个方案到正理想解E _S ⁺的距离和负理想解E _S ^-的距离

步骤5.计算每个方案的综合评价指数H _i =d _i ^-/(d _i ⁺+d _i ^-);

步骤6.对方案进行排序：综合评价指数越大，相应的方案越优。

4 .2 基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差距离测度的TODIM方法

TODIM方法是一种基于前景理论的多属性决策方法，是通过建立排序值函数计算备选方案的优势度来对方案进行排序，这种方法可以有效地根据决策者的心理行为处理多属性决策问题中的不确定信息^[25]。其优点是根据决策者的风险偏好来调整计算过程中的参数，做出符合决策者心理的决策结果^[26]，不足之处是参数取值条件的复杂性。对于4.1节中所考虑的决策问题，基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离的TODIM方法步骤如下：

步骤1.给出犹豫直觉模糊语言决策矩阵E _S ^t (t =1,2,…,k );

步骤2.对k 个犹豫直觉模糊语言决策矩阵E _S ^t 进行聚合；

步骤3.对聚合决策矩阵E _S 标准化，多属性决策问题中，属性有效益型J ₁和成本型J ₂,通常可以将决策矩阵E _S =(E _Sij )_m×n 标准化为

其中neg (M _Sij ,N _Sij )为语言集的逆算子。

步骤4.计算属性的相对权重，根据参照准则C _l (通常选取属性权重最大的准则作为参照准则)，对于给定的每个属性权重ω _j ，计算它们相对于参照属性C _l 的相对权重ω _j ^*=ω _j /ω _l ;

步骤5.计算优势度矩阵，在属性C _j 下方案A _i 优于A _p 的优势度φ _j (A _i ,A _p )为

其中θ 表示决策者对损失的敏感程度，θ 越小表示决策者对损失的规避程度越高，具体的值可根据实际问题进行选择；q (q ≥1)为控制变量，根据决策者的偏好决定其值。

步骤6.计算方案A _i 优于方案A _p 的总体优势度

定义10设X ={x ₁,x ₂,…,x _n ,E _A1(x )={(x _i ,E _S ¹ⁱ )x _i ∈X }和E _A2(x )={(x _i ,E _S ²ⁱ )x _i ∈X }为任意两个犹豫直觉模糊语言集，其中E _S ¹ⁱ ={M _S ¹ⁱ ,N _S ¹ⁱ },E _S ²ⁱ ={M _S ²ⁱ ,N _S ²ⁱ },则E _A1(x )和E _A2(x )之间的均值-标准差偏好的Hamming距离为：

步骤8.对方案进行排序：综合排序值ζ (A _i )越大，方案越优。

5 数值实例

为了说明本文提出方法的可行性和有效性，我们采用Faizi等^[23]中的实例和数据。

假设某一单位招标建筑商修建办公大楼，他们收到四家不同建筑商A ₁,A ₂,A ₃,A ₄的方案。为了选择一家合适的建筑商，单位拟从建筑花费C ₁,建筑材料C ₂,建筑进程C ₃,技术风险C ₄和合约保证C ₅五个方面来对四家建筑商的方案进行决策。三个专家(D ₁,D ₂,D ₃)构成的评审组对四个方案用七值的语言集S ={s ₀:非常差,s ₁:差,s ₂:较差,s ₃:一般,s ₄:好,s ₅:较好,s ₆:非常好}从五个方面来进行综合评价，选择一家最优的建筑商。五个属性对应的权重为ω =(ω ₁,ω ₂,ω ₃,ω ₄,ω ₅)=(0.2,0.4,0.2,0.1,0.1)^T 。

5 .1 基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离的TOPSIS方法

步骤1.专家的评价既表达了方案A _i 在属性C _j 下的隶属度，又表达了非隶属度，此时用犹豫直觉模糊语言集表达相关信息更为合适，对应的决策矩阵见(表1～表3)：

表1 第一个专家的决策矩阵

表2 第二个专家的决策矩阵

表3 第三个专家的决策矩阵

步骤2.再利用4.1节中的决策步骤，得到四个方案的综合评价指数H ₁=0.5012,H ₂=0.3208,H ₃=0.6677,H ₄=0.2661;故该单位应选择第三家建筑商修建办公大楼。

类似地，当语言尺度函数为f ₂s _i (i =1,2,…,6,t =3,a =1.37),α =0.1,β =0.9,对应方案的排序为A ₃≻A ₁≻A ₂≻A ₄,此时最优方案为A ₃；当语言尺度函数为f ₃(s _i )(i =1,2,…,6,t =3,ξ =η =0.88,α =0.1,β =0.9),对应方案的排序仍为A ₃≻A ₁≻A ₂≻A ₄,此时最优方案仍为A ₃。

5 .2 基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离的TODIM方法

步骤1. 与TOPSIS方法类似；

步骤2.利用4.2节中的决策步骤，可得方案A _i 的综合排序值:ζ (A ₁)=0.9568,ζ (A ₂)=0.1787,ζ (A ₃)=1,ζ (A ₄)=0.因此该单位仍应选择建筑商A ₃修建办公大楼。

类似地，当语言尺度函数为f ₂s _i (i =1,2,…,6,t =3,a =1.37),θ =2,q =2时，对应方案的排序为A ₃≻A ₁≻A ₂≻A ₄,最优方案仍为A ₃;当语言尺度函数为f ₃(s _i )(i =1,2,…,6,t =3,ξ =η =0.88,θ =2,q =2时,对应方案的排序为A ₃≻A ₁≻A ₂≻A ₄，最优方案与f ₁(s _i ),f ₂(s _i )是一致的。

5 .3 偏好参数灵敏度分析

本文定义距离中的偏好参数α 和β 分别反映了决策者对语言术语评价值集中性和波动性的不同偏好态度。我们可以根据决策者的偏好态度选择不同的偏好值α (或β )来分析偏好参数的变化对方案排序的影响情况。

在TOPSIS方法中，我们以f ₁(s _i )为例，分别令α =0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,讨论综合评价指数H _i 随α 的变化情况，见图1。

图1 TOPSIS方法中H _i 随α 的变化情况

由图1可以看出，随着α 取值的变化，虽然四个方案H _i 的大小排序发生了略微变化，但最优方案一直为A ₃，从一定程度上说明了我们定义距离测度TOPSIS决策方法的稳定性。另一方面风险规避程度越高的决策者α 值越大，从图1可以知道，决策者风险规避程度增大时，综合评价指数H _i 也增大，但到一定程度H _i 将趋于稳定，这也表明了各方案最终的排序结果与偏好参数α 的取值无关。

在TODIM方法中，当语言尺度函数为f ₁(s _i ),α =0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9，同样我们来讨论综合排序值ζ (A _i )随α 的变化情况，见图2。

图2 TODIM方法中ζ (A _i )随α 的变化情况

由图2可以看出，随着α 取值的变化，四个方案A _i 的综合排序值ζ (A _i )的结果并没有发生改变，最优方案一直为A ₃，说明了α 取值变化并不影响方案的最终排序结果，也表明基于均值-标准差偏好距离的TODIM决策方法得到的结果是稳定的。

5 .4 比较分析

为了说明基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离决策方法的优势，我们与Faizi等^[23]中同一实例采用outranking方法所得结果进行比较，见表7。

表7 排序结果的比较

从表中可以看出，Faizi等^[20]中采用基于犹豫直觉模糊语言集支撑函数，风险函数和可信度函数的outranking方法所得方案的排序结果与本文基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离决策方法所得结果有所不同，主要原因是:outranking方法在评价决策过程中允许使用不完整的评价信息，并且允许偏好之间存在不可比性和非传递性^[27-28]。另一方面本文提出的犹豫直觉模糊语言集距离的决策方法是基于均值-标准差进行排序的，明显优于以得分函数和犹豫度函数的outranking决策方法。同时基于犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离的TOPSIS和TODIM决策方法考虑了决策者风险规避的态度，并且两种方法所得的排序结果相同，表明了TOPSIS方法和TODIM方法的可行性和有效性。另一方面，本文定义的距离测度是基于语言尺度函数的，决策者能够根据他们的偏好和实际情况来选择语言尺度函数，这更符合实际情形。

6 结语

本文定义了犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好的距离测度，并提出了基于相应距离TOPSIS和TODIM的多属性决策方法来对备选方案进行排序。虽然文中是以实例建筑商招标方案来说明决策方法的可行性，但以犹豫直觉模糊语言集均值-标准差偏好距离的决策方法也能够用于供应商选择、风险投资分析等领域的其它决策问题。同时，我们还会考虑犹豫直觉模糊语言集中每个语言术语评价值出现的频数问题，即我们后面要研究的基于语言尺度函数的概率犹豫模糊语言集和它在实际决策问题的运用。

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Study on Multiple Attribute Decision Making Based on Mean -Standard Deviation Preference Distance Measure Using Hesitant Intuitionistic Fuzzy Linguisticterm Sets

LIU Dong -hai ¹,LIU Yuan -yuan ¹,CHEN Xiao -hong ²

(1.Department of Statistics,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan 411201, China;2.Mobile E-business Collaborative Innovation Center of Hunan Province,Hunan University of Commerce,Changsha 410205, China)

Abstract ： In many multi-criteria decision making (MCDM) problems,due to the complexity and fuzziness of the decision making environment, many attributes should be assessed in a quantitative form. In this case, decision makers can’t just use single-value linguistic term to express their preferences because they are hesitant with decision information, they often provide the hesitant intuitionistic fuzzy linguistic term set to depict the decision information. As far as we know, existing studies often used the subscript of linguistic terms directly in the process of operations, which can’t consider the semantic environment. This may cause information distortion, but the linguistic scale function can solve this problem. Therefore, the Hamming distance of mean-standard deviation with preference between hesitant intuitionistic fuzzy linguistic term set based on linguistic scale function is defined, the related properties are also proved.Then the multiple attribute decision making method of TOPSIS and TODIM is proposed. These two methods can solve the ranking of alternatives effectively in multiple attribute decision making problems. Furthermore, in order to illustrate the feasibility and effectiveness, the same numerical example concerning construction company bidding schemes are sorted by using these two methods. Finally, the sensitivity analysis of the preference parameters on the ranking result and comparision analysis with other method are also discussed.

Key words ： hesitant intuitionistic fuzzy linguistic term sets; mean-standard deviation; linguistic scale function; TOPSIS method; TODIM method

中图分类号 ：C934

文献标识码： A

文章编号 ：1003-207(2019)01-0174-10

DOI: 10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2019.01.017

收稿日期 ：2017-08-06；修订日期： 2018-08-23

基金项目 ：国家自然科学基金重点资助项目(714310006)；国家自然科学青年基金项目(11501191)；湖南省自然科学基金资助项目(2017JJ2096)；国家社科基金资助项目(15BTJ028)

通讯作者简介 ：刘东海(1980-)，男(汉族)，湖南湘潭人，湖南科技大学应用统计系硕士生导师，博士，研究方向：决策理论与风险管理,E-mail:donghailiu@126.com.

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