通过“分”与“数（shǔ）”，分数是个“数（sh#249;）”？——兼评华应龙老师执教的“分数的意义”，本文主要内容关键词为：分数论文,是个论文,意义论文,老师论文,sh论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
德国著名数学家、直觉派代表人物克罗内克尔曾说过：上帝创造了自然数，其他的数都是人造的玩意儿。确实，数物体的“个数”（集合元素的个数）似乎是人的一种本能（最初一个一个地数，后来按“群”计数，产生新的计数单位），是一种自然的事情。对学生来说，学习分数（从数学发展史来看，分数是第一个人造的数）也通过“数”分数单位的个数是否更自然？对于任何数来说，“计数单位”与“单位的个数”有什么作用？
基于度量的需要，数（shǔ）分数单位的“个数”从而得到分数体现出分数是个“数”（度量数）的意义，但除此以外，分数还有“比率数”的含义，这一层含义在“分数的意义”教学中如何体现？即作为“量”的分数（带有量纲）与作为“率”的分数（无量纲）的关系是什么？二者如何实现统一？
在我国各个版本的教材中，基本都是分两次学习“分数的初步认识”和“分数的意义”。“分数的初步认识”的教学，多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的，即借助于直观模型（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画了“部分—整体”之间的比率关系（作为“率”的分数），教学内容与教学方法没有太大的异议。但在“分数的意义（甚至我们需要进一步追问什么叫‘某某数的意义’）”这部分内容中，究竟要学习什么？怎么学习？
为了回答上述问题，我们将结合华应龙老师执教的“分数的意义”一课以及华老师的思考来研究。
一、学生为什么不认为“分数”是个“数”？
一直以来，在学生的心目中并不承认分数是个“数”，是个“结果”，例如，学生在解决实际问题时，答案若是“
米”的话，学生几乎都要化为“1.5米”，似乎只有看到这个结果，心里才“踏实”。出现这个现象的原因很多，关键是分数既不是“十进制”的，也不是“位值制”的，无法按照自然数的习惯看出其大小。另一个重要原因是学生在学习“分数”时一直不把它当作一个“数”（不强调“分数单位”，不强调单位的个数），而是当作“率”来理解，是用来刻画“部分与整体”或者是“部分与部分”的“倍比”关系。还有一个不可否认的事实是学生关于自然数、小数有丰富的生活经验作支撑，而分数则少见。现实生活中的“数”与“量”都用自然数或者特殊的十进分数——有限小数表示，而不用分数表示“量”的大小。除了自然数以外学生更认可“小数”是个“数”，因为从数的意义上看，小数与自然数的血缘关系更“亲近”：都是十进位值制。
二、“分”与“数”的价值：分数单位的累加就是分数
学生不愿承认分数是个“数”，而分数的数学内涵又非常丰富，那么“分数的意义”到底认识什么？不同版本教材的处理略有不同，主要都强调以下三点：强调平均分的对象“单位‘1’”发生了变化，由“1个”变为“群体”，平均分的份数“由少到多”；讲“分数单位”，但并没有作为重点；“整体‘1’”不同，同一个分数所对应的量也不同。
华老师执教的“分数的意义”则以“分数单位”为主线（度量的需要产生分数单位，分数单位的累加就形成分数），让学生感觉到分数是个“数”，分数很好玩，分数是个智慧的数。这样做的意义与价值是什么？
“分数的意义”应该是“任何一个分数都是其分数单位累加的结果”（如同自然数、小数的组成与分解），即先有“分数单位”，再数出单位的个数，个数与分数单位相乘的结果就是“分数”。这样看待“分数”，全部“数”的构成与结构就都一致了，学生也就更认可分数是个“数”。
实际上，“计数单位与其个数乘积的累加就得到全部‘数’”。自然数因为是“十进位值制”的，所以计数单位是“1、10、100……”不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数（某个计数单位的个数为“0”时，也要写出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1。小数也如此，增加小数的计数单位“0.1、0.01、0.001……”后，其累加的过程与自然数的过程基本相同，只不过有“有限次累加”与“无限次累加”两类，有限次累加就得到“有限小数”，无限次累加又分为“两种情形”：其一，不同计数单位的“个数”是有规律地出现的，例如，小数的计数单位的个数都是“3”，则这个小数是0.3的循环，也就是
；其二，如果计数单位的个数情况复杂，没有规律，则无限次累加的结果是“无限不循环小数”，即是无理数。
由此可见，沿袭自然数的“传统”，分数的两个关键要素就是“分数单位”、“单位个数”，即分数单位的“分母”是平均分的“份数”，分子是“1”，其他分数的“分子”就是“分数单位”的“个数”。这和传统的“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或者几份的数，叫作分数”本质相同，并不矛盾。正如华老师所说：“分数是先分后数的数”，这样的表达乃是一种简单的丰富——“分”，就是创造了一个单位；“数”，就是数有多少个单位——这样，从分数单位的角度来理解分数的意义，更自然，更有后劲。因为，分数单位同自然数的计数单位本质是一致的，但因为分数单位是随着单位“1”被等分的份数的变化而变化，不像自然数（一、十、百、千、万等）或小数的计数单位（十分之一、百分之一等）那样固定，这就使学生理解起来比较抽象和困难。更困难的是，“单位1”可以被平均分为任意等份，从而任何一个分数都有无数多个“分数单位”。分数单位不同，其所对应的“个数”就不同，但两者的乘积是一样大的。而一个固定的自然数（或有限小数）的计数单位是有限个，各个单位之间的关系又都是“十进”的。
因此任何一个分数都是一个“类”，其中最简分数是这个类的“代表”，例如，
可以说是“1个”，或者“2个
”，甚至“16个
”等等，即
……其中是这个“类”的代表。
因此，张奠宙教授认为：分数等价类中的每一个表示（分数），各有各的用处，都有其特定的价值。分数的这个特点，既有学习难度，又有思想高度，是一个重要的数学思想方法。
每一个分数都构成了一个“等价类”，就是弗赖登塔尔所说的“分数是个代数概念”的主要体现之一。但小学阶段不可能这样讲，而是以“分数性质”的形式学习。
不管怎么说，把分数看成是“分数单位的累加”不仅延续了自然数的认识，又为进一步理解分数的性质以及分数的加减运算打下了坚实的数学基础。从这个角度来认识分数，学生就能够真正理解为什么同分母分数加减只需要“分子相加减而分母不变”，而异分母分数加减则必须“先通分，然后再分子相加减，分母不变”，从而进一步理解“加减法计算的本质就是相同计数单位‘个数’相加减”，“通分的本质就是寻找两个分数的相同计数（分数）单位”，这也是分数的通分、约分和扩分（寻找等值分数）的“理论依据”。
三、“单位”与“单位‘1’”：孰重孰轻？
在强调分数单位的前提下，“单位‘1’”当然就不重要了。因为“单位‘1’”也是最大的“度量单位”或者说是最特殊的最大的“分数单位”——“1”，即“有多少桶水”问题中的“如果桶能够装下整池水的话，则有1桶水”。
谁作为“单位（整体）‘1’”，这既是认识分数的一个核心，同时也是一个难点。马丁(J.Martin)总结出“整体‘1’”可以分为以下六种情况（以
为例）：
(1)1个物体，例如一个“圆形”，平均分为5份，取其中的1份。
(2)5个物体，例如“5块糖”，其中的“1块”占“5块”的。
(3)5个以上但是5的倍数，例如“15块糖”，平均分为5份，取其中的1份。
(4)比1个多但比5个少，例如，“2条巧克力”作为“整体”。
(5)比5个多但不能被5整除，例如，“7根香蕉”作为“整体”。
(6)一个单独物体的一部分的，例如，1米的
的。
整个小学阶段的分数学习，其“整体1”的变化基本就是上述情况，华老师所重视的“分数单位”则是上述情况背后的“隐线”，在“分数的意义”的第一课时抓“分数单位”显然最有价值。
再换一个角度看，即从分数产生的三种现实背景（王永，2008）（分物、度量、比较中的“倍比”关系）出发，可以清楚地看到分数产生于量的“倍比”关系。分数概念的核心是量、度量单位（基准量）与量数的基本关系，即：量＝度量单位（基准量）×量数。因此，分数具有两种不同的意义：
(1)分数可以表示量的大小，这时或者是单位分数，或者是分数单位的整数倍。
(2)分数可以表示量数（也就是“率”）。“量数”是以一个量为基准量（也就是“分数单位”）去度量另一个量所得的结果，它是描述两个量的“倍比关系”的一个数（自然数或分数）。
所以，从更抽象的角度看，无论是作为“量”的分数还是作为“率”的分数，其核心都是“分数单位（基准量）”。
如果再“细分”的话，两个量的“倍比”关系又有下面4种类型（王永，2008）：
(1)一个量中部分与整体的“倍比”关系。
(2)同类的两个量的“倍比”关系。
(3)一个量中各组成部分的“倍比”关系（比例）。
(4)不同类的两个量的“倍比”关系（比率）。
从类型(1)和(2)可以衍生出百分数的概念，从类型(3)和(4)可以衍生出“比”（比例、比率）的概念。量＝基准量×量数，这一基本关系有下面两个等价的形式：
(1)量÷基准量＝量数；
(2)量÷量数＝基准量。
从而分数、比都与除法既有密切的关系，但又有所不同。这也是值得探讨的问题，本文不再赘述。
四、两难情境：度量结果不用普通分数表示
无论是作为“量”的分数还是“率”的分数，分数单位都很重要。那么分数单位是怎么产生的？创设什么样的问题情境才能使学生感受到分数单位的价值？
理论上会说“根据现实的需要，为了满足‘度量’的需求，使得度量结果更准确”。但我们需要追问：这个“现实”是不是个“伪现实”？因为在现实的“量”中，几乎都是把已有的“单位”平均分“10份、100份……”或者是与“60”相关的，而不会是“任意的份数”，由此在现实的“度量”中度量结果不会是“普通分数”，最常用的就是有限十进分数即有刚、数。
因此，在“分数的意义”的教学中，为了强调“分数单位”，必然从“度量”切入，但一从度量切入，度量的结果又不是“普通的分数”，所以就有很多教师提出华老师所创设的情境是“人为”的，“连教师都不懂的‘什么密’有价值吗？”
教学陷入“两难情境”！
不管是不现实地用“领带”做单位，还是“什么‘密’”以及“猪八戒吃了西瓜的
”，甚至类似于脑筋急转弯的“一湖水有多少桶”的问题，华应龙老师想强调的就是“分数单位”甚至是“度量单位”的价值，强调“单位不同，度量出的结果就不同”。
有的老师又说了，为什么在“分数的意义”中强调度量单位的作用？如果以分割后产生的更小“单位”为度量单位，度量的结果根本就不需要“分数”啊？有自然数就足够了。
分数可以刻画“量”的大小，但更常用有限小数。
分数可以刻画“率”的划、，但更常用百分数和比
到底怎么办？小学阶段的“分数的意义”到底要学习什么？怎么学习？实际上，按照弗赖登塔尔等学者的观点，在小学阶段，关于分数的学习，只要是从“算术”角度来学习的，不管学习什么还是怎么学习都是“失败”的。因为根本不应该从“算术”角度学习！真正学习分数应该从代数的角度学习，但从代数的角度学习分数，能作为小学阶段的学习任务吗？
五、作为“代数概念”的分数，是小学阶段的学习内容吗？
上述的两难问题似乎能够在弗赖登塔尔等学者的观点中找到答案。弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中，多次谈到“分数是个代数概念”，这句话的内涵是什么？让我们重温他的一些观点：
“承认普通分数（以及以后又承认负数）是一种典型的代数思想，一种超越单纯地计算的思想。这种思想通过引进新的元素来使四则运算及它们的法则通行无阻。”（第10页）
“事实上，测量产生的是（有限）小数而不是分数，分数的出现是为了使除法可以进行下去。即为了解除除法的限制，而引入分数，则
作为除法问题‘7∶3是多少？’的解而出现。一旦接受了，那么在计算中便可以将其作为这一除法的结果来加以处理。”“数学上对如下的表示更为满意：可理解为3x=7的解，此式将分数由算术带入了代数，当然它是建立在代数基本原理基础上的。”将分数定义为方程的解，再根据方程的性质就可以进行分数的加减计算。“也许有人会感到分数的直观性丧失了。但事实上，这种直观性是否存在也值得怀疑。”（第185页）
“范·希尔注意到并强调了一个事实，渗透于分数中的观念显然是代数观念，引入分数及其运算是为了使四则运算及其规则的适用范围不受限制，一个域关于某些运算封闭的观念完全是代数的，它是所有代数本质的基础。分数及其运算由于缺乏直观性，应该由上述代数观念导出。”（第218页）
“我认为唯一诚实的做法就是告诉学生，引入分数就是为了要求算术运算的适用范围不受限制。这是一种抽象的导出概念，几乎不受实际需要的影响。”（第218页）“依我看来，唯一可接受的解决办法是在代数中处理分数。”（第219页）
张奠宙教授也认为：由“份数”定义到“商”的定义，是数系的扩充。这是一次跨越、一次升华，每个学生都必须面对。现在的教科书，对于数的扩充只字不提，连“分数是新朋友”这样的话也不说，应该说是一种数学思想方法教育上的缺失。
如此看来，在算术意义下学习分数，尤其是学习分数的意义，是用“分物”还是“度量”几乎都不重要了，因为无论用哪种，价值都不大。
我们不可能在“分数的意义”的第一课时就采用“代数”的方法，还是要给学生提供一些直观的模型和现实应用的场景。华老师这节课强调分数单位的作用与价值，并为了让学生有真正的思考，还原了“没有尺子的年代而要自己创造一把尺子”，又运用了“连教师都不懂的‘什么密’”，真是用心思考了分数的本质以及如何才能让学生带着兴趣带着思考来学习数学。正如他所说，“我们都在路上”，而思考必然更加清晰。
六、一个美妙案例：作为代数概念的分数
把分数作为一个代数概念来教学，在小学阶段能做到吗？能，当然不是在“分数的意义”的第一课时。在五年级的拓展训练课上可做，即构造“分数表”并探究“分数表”的神奇性。
定义分数为“
（其中p≠0）”这样的数，即可以将分数看作一对“数偶”，在平面直角坐标系中，横轴上每一个自然数与纵轴上每一个自然数之间建立“一一对应”的关系，横轴上每一个自然数作为分母，纵轴上的每一个自然数作为分子，这样就构造出美妙的正方形“分数表”。
通过构造与继续探究这张“分数表”，会发现分数很好玩，很智慧。
例如，师生共同经历上述正方形“分数表”的建构过程，至少有以下收获：
(1)学生头脑中原本“混乱、复杂”的分数已经变得清晰而有结构，所有的分数都是可列的。
(2)体会“一一对应”思想的魅力，感受数学上“有序”的价值。
又如，将表格中的真分数和假分数涂上不同的颜色，可以清晰地看出等于1的分数
等整齐地排列在对角线上（可以将“对角线”上的数涂上特殊颜色，以突出这条“分水岭”），假分数与真分数对称地出现（如
，每个分数都与它的倒数在对角线两边对称出现），一个对应着一个，各占半边天，各自形成一个“三角形”，和谐对称之美跃然纸上。分数表更直观地解决了学生认识上的误区：真分数的个数比假分数的个数少。因为在借助数轴认识真分数、假分数的时候，由于真分数分布在0、1之间，而假分数则可以由1到无穷，所以学生就错误地认为“真分数比假分数少得多”。
还可以继续探究：等值分数的分布有什么特点？什么样的分数能化为有限小数……这张“表”中还蕴含分数的很多“美妙”性质，都以“可视化”的方式传达，这也是从代数的角度来研究分数的美妙体现。研究这个“直观可视化而又抽象”的分数表，体现出“分数是一个代数概念”的威力。