高三数学第二轮复习中的“点”、“线”、“脸”、“体”：“高三数学教学与考试”的教学思路_高考论文

高三数学二轮复习的“点”“线”“面”“体”——《高三数学教学与测试》的教学思考，本文主要内容关键词为：数学教学论文,数学论文,测试论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

高三数学复习是渐进的，需要几个轮回，学生知识基础不同，每轮复习的内容、重点、方式也不同.一轮复习时强调基础知识的全覆盖，学生经历这一时段的学习，渐渐地形成了一个个“知识点”和“方法点”，它们是学好高中数学的基础.但这些“点”是离散的，需要二轮复习时将之“连成线”“形成面”“合成体”.

二轮复习的时间要比一轮复习少些，通常采用“专题复习”的形式.专题复习是以核心知识为线索展开的，核心思想方法穿插其间.受复习时间的限制，教学中往往以“知识专题”为主、“方法专题”为辅.在专题复习中，大部分学校选择一本复习资料，为了更清楚地阐释问题，下文以苏大《高三数学教学与测试》作为教学载体，重点谈谈“知识专题”复习的实践与思考.

《高三数学教学与测试》每个专题分为五个部分：高考趋势、考点展示、样题剖析、自我测试和总结提炼，教学活动通常以这五个部分的时序展开.

一、高考趋势，直面“高考题”

“高考题原是怎样的？”“高考题将会是怎样的？”“高考题应该是怎样的？”……临近高考的二轮专题复习阶段，作为高三教师必须直面这一连串的问题，也需要像新授课那样对“教学内容”的地位和作用进行分析，而且还要具有科学性、前瞻性和适切性.相比一轮复习而言，二轮专题复习由于距高考较近，地位和作用的分析必须更多地融入“高考”的背景.一轮复习为了知识的系统性，复习时可能还要关注知识的覆盖面，以及其他的方方面面，即使明知高考考到的概率很小，也不言放弃.但二轮应该突出地直面“高考题”，尤其是高考的热点题，这些“高考题”可能是过往的，也可能是预测的.

1.知识的地位和作用

不同知识的专题复习课的教学内容，在高考中的地位和作用也都不同，教学前必须认真分析.下面以《数列》为例，仅从联系和区别的视角进行分析.

首先，数列是函数.实际上数列不但在实际生活中有着广泛的应用，而且对于高考而言，理解数列就能更好地理解函数，因此学习数列是“经济”的，有一举两得的作用.

分析函数有三种常用表示方法：列表法，图象法和解析法.解决这一问题也应该从这三个角度完成：“列表法”实际上就是“一一列举”：1，1，2，2，3，3，4，4，…；在头脑中是否有这样的“图景”：数列的奇数项对应的点和偶数项对应的点分别在两平行直线上；还可以用以下“式子”表示：

思考数列是特殊的函数，因此“用函数方法解决数列问题”值得重视.对于函数的三种表示方法，也是我们认识世界的普遍方法，列举法在前，符合从特殊到一般的规律；图象法在解析法之前，符合从形象到抽象的规律.

其次，数列又是“有个性”的函数.既然数列是函数，那么为什么还要重点学习呢？而且等差数列和等比数列还是为数不多的高中数学核心知识？实际上，数学学习重点是提高思维能力，数学思维需要数列的“个性”，譬如数列的有规律的“离散性”，造就了数列可一个个列举的“个性”，是“猜”、“估”、“归纳”等探究的好素材.

问题2 公比大于1的等比数列

的每一项都在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中，其所有项的和为19，则此数列为________.

分析一般思路是：先写出符合其他条件的等比数列，再验证“其所有项的和为19”.下面先解决第一步，写等比数列时，可以按公比分类.公比为2时，此数列也可是1，2，4；1，2，4，8；2，4，8；公比为3时，此数列也可是1，3，9；公比不是整数时，此数列为4，6，9.再解决第二步“验证”，数列只能是4，6，9.

实际上，上面的分析还有很多的“猜”“估计”“归纳”的成分.头脑中有这样的念头：由于1，3，9成等比（公比是3，1是最小的，9是最大的），所以公比不可能大于3，因此整数公比只能是2或3；对于非整数公比，由于数列的项都是整数，所以满足条件的数列的首项必须是大于1的完全平方数的整数倍.

特殊思路是：直接猜出，这部分学生在头脑中有很多自己的独特的认识，如“等比数列的项数不会多，而要求的和19是比较大的，因此9在其中的可能性较大”等直觉.

思考高考中，对于较难的问题，经常需要“感性分析”和“直觉判断”，常见的题型是小题和探究型的解答题.在高考中，考虑到“通性通法”的考查，试题往往能直接套用现有试题，但是有可能这样的套用虽然成了，但是也十分费时，可能还会有其他方法，因此“直觉开路，逻辑论证”成了必须.实际上，高考中客观题和主观题两部分的最后两题，命题者都不想让考生能快速“套用”.因此，二轮复习的教学中需要适度选择一些这样的开放问题与学生一起探究.

我们对于高考趋势研究，要从联系和区别的角度分析，要从提高数学思维能力的角度分析，分析出知识地位、作用及发展方向.

2.高考的趋势

数学高考题是命题者根据考纲、课标和教学要求，并结合学生的学习情况命制的，首先要考出学生的数学水平，因此在分析出知识的地位和作用后，也可以分析出大致趋势.实际上，全国各地的高考中，大题的知识点考查，小题中的容易题、中档题和难题的知识点均基本确定，这同时要求我们，不要关注谁命题，更不要捕风捉影，应根据学生的情况，根据考纲的要求，展开教学.

二、考点展示，布列“知识点”

这部分展示的是以往考过的或可能要考的知识点.这部分内容要求学生课前完成，完成要求是：在保证正确率的前提下提高速度；选题标准是：内容和形式简单；学习目标是：核心知识在头脑中清晰可见，在轻松愉快的氛围中进入学习状态；教师的工作：选择适当的方法检查，检查学生完成的态度和正确与否，以便在课堂上有效地组织教学并确定起点和节奏.

1.“点”要核心、简单

问题3 若函数

在[-2，+∞）上是减函数，则f（-1）的取值范围是________.

分析问题解决的思路是，首先由条件求出参数m的取值范围，再求关于m的函数f（-1）的值域.

思考函数的单调性是函数的重要性质，是其他性质的基础，二次函数是学生最熟悉的函数，含字母参数的问题也是高考的常见考点，题目结论是范围，实际上也是关于m的函数的值域；同时参数m作为一次项的系数的组成部分，比在二次项系数中简单，而且用参数m的两倍作为系数，解答起来简单些（如对称轴），因此更加凸显本质，这是我们选择题目的标准.

2.“点”要滚动、系列

满足核心、简单后，要注意核心知识点的滚动，并形成系列.以《数列》专题为例，复习数列的项、项数和公差专题时，要注意函数的三种常用表示方法的滚动与联系.

问题4 （1）已知等差数列

的项都是自然数集的元素，符合条件的一个数列为________；

（2）四点（1，0），（2，1），（3，2），（4，3）所在的直线方程是________；

（3）已知数列

（a是常数）是等差数列，则其公差d的值是________；

分析问题（1）（2）（3）分别对应函数的三种常用表示法.

问题（1）符合条件的数列很多，简单列举就行.可以是1，2，3；也可以是3，2，1；还可以是1，2，3，4，5，….

问题（2）应该在解析几何专题中，但是为了突出图象法，选择了这道题.初看起来有些唐突，教学时教师只要将学生的注意力集中到横坐标与纵坐标所对应的数列上，图象就显然了，直线方程也容易写.在写直线方程时，如注意到横坐标、纵坐标都成等差数列，满足的关系是纵坐标比横坐标少1，因此直线方程是y=x-1.

问题（3）从等差数列的通项来看，通项应该是一次函数形式或者是常值函数形式，因此a=2，进而求得d的值是2.

问题（4）可以从以上三个角度考虑，进而系统地认识等差数列的项、项数和通项.

思考核心问题通过“滚动”探索，有利于更好地理解核心知识，也便于发现问题，进而在接下来的环节中更好地帮助学生理解知识的内涵、外延和本质.

三、样例剖析，连成“知识线”

“考点展示”后，接着是“样题剖析”.所谓样题剖析，从字面上理解包含两重意思：一是能够作为“样板”的题目，是经过反复推敲的；二是需要剖析，剖析必须是深入内部，直至本质.通过剖析，连成“知识线”，这里要说的“知识”是广义的知识，包括技能、思想方法等.“知识线”可以是“针对一个问题，逐步深入，从而串联而成的线”，也可以是“针对相关的几个问题，并联而成的线”.

1.将知识串联成线

数学知识间有着紧密的联系，除原始概念外，数学知识都是在原有知识的基础上构建起来的.因此，教学中应该凸显这一过程，尤其在学生已有一定的知识储量后，更需要串联成线.

问题5 已知函数

（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围.

很多学生原来就在不理解的基础上认识上面的相关题的，并得到这样的局部经验：定义域为R，判别式小于零；值域为R，判别式大于等于零.受思维定势的影响，本题还是想用判别式解决，而不从本质上了解问题，容易出错.事实上，隐含的定义域是自带的，字母a一旦确定，让自变量x取所有可以取的值.学生不理解（2）的原因很多，也可能对字母的主次分不清.解决这一问题，可以运用特殊到一般的认知规律：求a的范围可以将a先固定，例如取a=1，

的定义域是R，值域也恰好是[0，+∞），符合要求.再取a的几个特殊值，就有这样的思路认识：将a固定—看成已知数—参加列式—解出范围.我们再剖析一道题.

（1）求数列的公差d的范围；

分析在问题（1）中，求等差数列的一个基本量d的范围，其他两个问题也是函数型的求最值，并且都是将习惯上的公差作为自变量，因此本题可选择用基本量法.

思考本题的问题设置实际上是知识的串联，重点解决基本量问题.第（1）问就将思路引入基本量问题，其余两问也是在此基础上的基本量问题，这样三问环环相扣，基本量问题的知识就在“串联”中逐步深入.

2.将知识并联成线

分析思路1：如果关注“简单直观”，可以这样做：

是关于n的二次函数（定义域是正整数集），结合图象可以快速得到n的值为6.这适用于审题或填空题.

思考三个思路各有特点，教学中最好让学生经历，要求学生根据自己的经验选择解决办法.有时即使一些方法复杂些，或许难想到，学生也可以积累一次经验，在高考中遇到类似的问题就会快速决断，避免犯同样的错误.剖析时，应该遵循学生的认知规律，应该将知识“串联”“并联”成线，学生头脑中自然形成解决问题清晰的线路图.

四、自我测试，形成“知识面”

“自我测试”其实就是“课后作业”，但是这里进一步赋予了课后作业的两层含义：一是“测试”，这要求学生像考试一样做作业，需要在规定时间内独立完成；二是“自我”，是学生主动做作业，作业的正确性主要由学生自己检查、改正，教师的批改只是整体上把握.二轮复习时，由于临近高考，这个环节更重要的是，学生学会审题、学会联系，让一条条“知识线”有序地形成“知识面”.

1.学会审题，直奔目标

数学高考题一般不是陈题，简单的、模仿式的“套题”往往会失效，因此学会审题自然成了必须.

问题7 已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，