数学思考：内涵理解与实践探索，本文主要内容关键词为：内涵论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 数学教学的本质是帮助学生获取知识，形成技能的一种思维过程，其根本价值在于让学生学会运用数学的思维方式去观察、思考、分析现实生活中的有关现象，去解决日常生活和其他学科学习中的有关问题，并建立起良好的进一步学习的情感.我们应该把学生的数学思考作为整个教学活动的核心，更多地关注学生的数学思考，学生在思考什么，怎样思考的，思考的结果怎样，这样的课堂才是真实的、有效的、智慧的、精彩的.然而在日常教学活动中，我们却会不自觉地忘却学生的需求，忘却教学的本质，常常为了赶进度而忽视学生的感受，喜欢用现成的答案来取代学生的自主学习，用教师的讲解来替代学生的数学思考.久而久之，学生养成了“衣来伸手，饭来张口”的习惯，既失去了原有的学习兴趣，也丧失了本该具备的思考能力，导致教学效率低下.一个不争的事实就是现在有疑问的学生越来越少，甚至有许多学生常年不问老师一个问题.学生没有疑问，难道他们真的是什么问题都弄清楚了吗？细致地了解一下就会发现，其实他们还有许多问题没有弄懂，或者似懂非懂.课堂上，我们教师讲得太多了.但教师所讲的未必是学生想听的，教学上最可怕的失误，就是把学生的主要精力用到消极地掌握知识上去.“学而不思则罔”，让学生学会数学思考，成为数学教学中一个亟待解决的问题. 二、数学思考的内涵理解 数学思考，从狭义的角度来讲是指学生关于数学对象的理解和认识的过程，从广义的角度理解还包括应用数学解决各种实际问题的数学式思考，就是在面临各种问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度运用“数学方式的理性思维”进行思考，发现其中所存在的数学现象，并运用数学的知识与方法去解决问题.数学是思维的体操，数学思考是数学教学的核心.数学教学除使学生掌握一些必要的数学知识外，主要是使学生变得聪明，变得坚毅.数学教学方法主要应激发学生思考的热情，使学生会思考，善思考.数学教学的过程应该是数学思维的过程，思维是智力发展的核心，思维能力的发展程度，是整个智力发展的缩影和标志. 数学思考的能力是一种综合能力，是面对不同的情景、运用不同的思维方式、方法和技巧解决所面临的问题的能力.要培养这种能力，首先必须让学生参与到具体的活动过程中去，并尽可能提高其参与度，其次是帮助学生逐渐掌握思维的方法和分析问题的方法，最后着眼于培养学生的思维品质，形成独立思考的意识和习惯.学生的年龄特点及认知水平决定了其数学思考的程度具有相对性.一般地，随着年龄的增长，认知水平和活动能力会不断提高，数学思考的能力也就不断增强，学生的数学思考能力必须经历一个长期的过程才能逐步培养、构建并发展起来.数学思考的一个重要形式是独立思考，独立思考并不排斥同学之间的合作互助，但合作学习必须建立在个体独立思考的基础上进行.对于一个具体的问题，倘若没有形成自己独到的见解，就急于与他人合作和会话，必定会影响思维的主动性，从而影响思维能力的提高.可以这么说：没有独立思考，也就没有合作学习的本质内容，合作讨论就成了无源之水、无本之木，因而合作也就只能流于形式. “从数学角度去思考”的素养会使学生终生受益.真正的好老师对学生的关心首先表现在让学生明白摆在他们面前的困难是什么，要想克服困难，不仅仅需要学生集中极大的注意力，而且需要他们付出极大的意志力.要想真正地掌握知识，不仅仅要在学生面前揭示教材内容的本质，而且要教给学生怎样数学地进行思考，让他们独立地、自觉地深入到教师的详细讲解中来.学生被动、消极地掌握住的知识，对学生思维发展起不到多大的影响，而通过积极的努力，主动地去采摘、获取的知识，不但让人深信不疑，倍加珍惜，更会不断激发学生积极思考的兴趣，以更大的热情投入到学习中来.让学生在具体的教学情境中进行分析、对比的数学思考，让学生在自主探究中进行归纳、整理的数学思考，让学生在实践运用中进行判断、推理的数学思考，是提高学生数学能力的有效措施. 三、数学思考的实践探索 （一）创设问题情境，让学生在解决问题的过程中学会数学思考 现代认知心理学认为：思维的本质在于问题情境，而且以解决问题情境为目的.思考的过程是一个“情境—探究—思考—发现—解决问题”的过程.思维从问题开始，“问题是数学的心脏”.恰当、巧妙、富有吸引力的问题，往往能拨动学生思维之弦，弹奏出一曲曲耐人寻味的乐章.因此，在数学教学中，教师要以问题为中心，精心设计出能够与学生的认知产生冲突的问题情境，为学生营造出数学思考的氛围，努力把学生置于研究新的未知问题的气氛之中，激发学生积极思维，进而引发学生探求新知的欲望和动机，让学生在探索问题解决的过程中学会数学思考.例如，在执教“曲线的参数方程”一课时，笔者设计了如下的问题情境. 问题 锡城蠡湖公园，新添了一道令人炫目的风景，亚洲最高的摩天轮，世界第一的水上摩天轮在此盛装登场，今年6月有望对游客开放.若该摩天轮半径为60m，按逆时针方向以
rad/s的角速度匀速旋转.如图所示，某游客现在
点（其中
点和转轴O的连线与水平面平行）.问经过ts，这个游客的位置在何处？（图略） 师：请大家思考，运用我们已经学过的知识，怎样解决这个问题？（停顿片刻）为了确定游客的位置，我们首先要做什么？ 生1：建立坐标系. 师：怎样建系呢？
师：很好.我们建立了点P的坐标满足的关系式.由这个关系式，对不同的时间t，可以得到游客的不同位置.游客的不同位置，能否形成一个轨迹？ 生众：能. 师：这个轨迹是什么？ 生众：圆. 师：这个圆的方程是什么？ 生2：
=3600 师：上面的关系式能否作为圆的方程呢？为什么？ 生3：能，可以利用曲线方程的定义来说明. 师：很好.圆的方程我们以前学过，有标准式，有一般式.这个方程是哪一种形式呢？ 生：时间t参与了变化过程，我们把它叫做参数方程. 师：非常好.相对地，我们把表示x，y间的直接关系的方程叫做普通方程.下面我们就来对参数方程的有关问题进行一些研究. 这里，教师从学生已有的生活体验和认知水平出发，在揭示数学知识的同时，通过精心设计的一系列的问题，适时地提问，引起学生认知的冲突，唤起学生的“数学思考”，激发了学生学习的内驱力，使学生很快地进入问题探究者的“角色”，真正“卷入”到学习活动中去，促使他们兴味盎然地开动脑筋去思考、去探索.不但引发了学生数学学习的极大热情，而且也为学生提供了思考问题的方向及知识自然迁移的方法，为学习新知奠定了基础.在这个过程中，学生进行数学思考的意识和能力得到了有效的培养和锻炼. （二）开展探究活动，让学生在动手操作的过程中学会数学思考 布鲁纳曾经说过：“探索，是数学教学的生命线.”知识从哪里来？问题如何解决？依靠的是探索.在探索的过程中，学生作为认知活动的主体，求知欲和学习的积极性可以得到极大限度的激发和调动.因此，在组织教学活动时，教师要鼓励学生通过自身的内心体验、思维活动、操作过程，积极主动地参与课堂学习，充分挖掘各种教学资源将教学内容与现实生活紧密联系，系统地给学生发现问题的机会，并给予恰当的帮助，让学生在动手操作的过程中，亲自去发现尽可能多的东西，提出更多的问题，使学生通过探索知识的过程，激发出数学思考的欲望，掌握科学的思维方式，建构起对新知的正确认识和深刻理解. 例如，在探究平面截几何体所得的截面的图形特征时，笔者设计了如下两个操作活动. 操作活动1 平面截正方体. 事先让学生准备好正方体模型（可以是橡皮泥、萝卜、红薯等），在课堂上用刀片去切，让学生发现截面的情况很多，有三角形、四边形、五边形、六边形. 问题1 有没有同学得到七边形的？有没有可能得到七边形呢？为什么？ 经过一番操作、争论、思考，同学们统一了意见，截面多边形的边数不可能超过6，理由是截面多边形的边是截面与正方体表面的交线，正方体只有六个面，边数最多的可能是截面与正方体的每一个面都得到一条交线，即有六条边. 问题2 如果截面是三角形，它会是特殊的三角形吗？ 同学们发现截面可以是等腰三角形、等边三角形，但不能是直角三角形.为什么呢？原来所截取的三棱锥三条侧棱两两互相垂直，底面必定是锐角三角形，当然不可能是直角或钝角三角形. 问题3 如果截面是四边形、五边形、六边形，会是特殊的四边形、五边形、六边形吗？ 操作活动2 平面截圆柱. 同学们通过操作模型可以发现：用平行于圆柱底面的平面截圆柱，所得的截面是圆；用垂直于底面的平面截圆柱，所得的截面是矩形；用既不平行于圆柱底面又不垂直于底面的平面截圆柱，所得的截面是什么呢？ 生：好像是椭圆，但又无法确认. 这时老师拿出事先准备好的模型（如图1），以圆柱的两底面为大圆的两个半球与截面相切，引导学生证明自己所得的猜想：设切点为A，B，在截面的边界线上任取点P，过P点作两底面的垂线段PC，PD.因为PA，PC均与下半球相切，故PA=PC，同理PB=PD，故PA+PB=PC+PD=h＞AB，故截面的轮廓线为椭圆.
接着，老师又提出问题：把圆柱的侧面展开，截面的轮廓线会是什么曲线呢？你能证明你的结论吗？ 只要把圆柱的侧面展开，不难发现截面的轮廓线在平面图形中成了波浪线，学生不难猜测其为正弦曲线，但要证实它却不是一件容易的事情.这时教师先让学生进行充分思考，相互讨论，然后再给予适时而必要的帮助，形成如下的证明思路：如图2，设OB逆时针旋转到OP所成的角为x，PQ=y，作PM⊥AB于M，QN⊥DC于N，连接MN，显然有MN=PQ.
此时，学生的思维如开闸的洪水，奔涌而出，他们惊叹：数学原来是如此的奇妙，数学各分支内容的联系原来是如此的紧密！ 通过这样的活动，让学生动手操作，自主探究，在实践中体验知识形成的过程和内在联系，自主完成知识的建构，完善知识系统，体会知识获得的喜悦.老师提出问题，学生思考、操作、交流，在师生互动的过程中，数学思考的能力得到有效的锻炼，知识得到有效的深化，数学素养得到有效的提升.
（三）鼓励质疑发问，让学生在提出问题的过程中学会数学思考 美国教育家布鲁巴克认为，最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生提出问题.爱因斯坦也曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要.因为后者仅仅是方法和实验的过程，而提出问题则要找到问题的关键、要害.”问题的发现，既是思考的起点，又是思考的动力.要让学生养成勤于思考的习惯，就必须鼓励学生多提问题.越是学习好的学生越是问题多，而学习不好的学生，总说没有问题.没有问题的学习是没有思维的活动，是被动学习，究其原因是问题意识的淡漠.在数学教学中要注意“以疑为线索，以思为核心”，设置障碍、留出疑问、露出破绽，给学生提供“有问题可提”的机遇，通过诱发引导，使学生在思考的过程中养成多思善问的习惯，让学生在发现问题、提出问题的过程中学会数学思考. 例如，在“均值不等式”一课的教学中，笔者针对学生学习了均值不等式后，极易因忽视对“等”的检验而导致出错的问题，给出了下面一道习题：求函数
（0＜x＜π）的最小值. 通过引导学生针对求解过程中的问题，让学生质疑发问，探究致错原因和避免出错的途径，不但深化了对基本不等式的运用条件的认识和理解，而且让学生在自我发现错误、自我纠正错误的过程中学会了数学思考. 师：求函数的最值或值域，是一类重要题型.大家看看，这道题怎么解呢？
师：生1运用我们学习的基本不等式得出了函数的最小值为2，大家有不同意见吗？ （学生思考） 生2：这样解是错误的，因为要取得最小值就要
，即sinx=2，这是不可能的. 师：很好，使用均值不等式求最值必须验证等号是否成立.如果不成立就取不到最值.那么怎么求解呢？ 生3：可换元处理，令t=sinx∈（0，1]，则原函数变为f（t）=
+
，可知函数f（t）在t∈（0，1]上是减函数，所以y的最小值是f（1）=
.（陆续有学生附和其正确性） 师：好！换元转化，然后利用新函数f（t）的单调性求解，答案是正确的.不过这里f（t）=
+
的单调性需要证明. 有的学生去完善单调性的证明过程，有的学生还在思考.不一会儿，有学生提出疑问：是否只能采用这种方法求解呢？有点麻烦啊.（不少学生附和，师自忖：确实是麻烦了点）
生众（面带疑惑）：结果是对的，过程也没有问题，你是怎么想到的呢？ 生4：因为最小值在sinx=1时取得，故先从较大的数
中分离一部分
，使等号能够成立——凑出来的. 师：精彩！这说明均值不等式中等号成立的条件在解题中具有导向作用. 学生在数学学习中敢于提出问题、善于提出问题，本身就是一种创造性的学习活动.学生只有在不断试图提出问题、解决问题的过程中，才能逐渐养成科学的探索精神和创造品质.所以，在数学教学中不仅要使学生获得知识，更重要的是培养学生用数学的眼光去发现问题，引导学生从无到有，从少到多，从现象到本质地提出问题，进而解决问题，让学生在此过程中学会质疑，不断地提升数学思维的层次. 质疑是调动学生积极思维的“催化剂”，而质疑的前提是发现问题.质疑源于思考，它是学生主动学习的重要环节.一个问题的提出往往需要时间和空间，只有留给学生充足的时间和空间，学生才能发现问题和提出问题.在课堂教学中，教师要给学生提供质疑问难的机会，留给学生质疑问难的时间和空间.同时引导学生从无到有，从少到多，从现象到本质地提出问题，让学生慢慢地学会质疑，在质疑中学会数学思考. 四、结束语 学生学习数学的本质特征是“思考”，数学教学的重要目标就是培养学生的思考能力，让学生学会数学地思考.在数学教学的过程中，教师要站在“一切为了学生的终身发展”的高度，从促进学生的数学思考的角度出发，提升情境创设、学生活动、知识建构、问题探索和练习设计等环节的思维含量，积极引发学生的数学思考，留给学生更多的数学思考的空间和机会，努力让学生始终沉浸在“理智的挑战、认知的冲突、心灵的震撼和无言的感动”之中，使数学课堂成为学生发现问题、思考问题、寻求解决问题的发源地，真正实现回归理性，走向高效.
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