有关几何课程的若干基本问题，本文主要内容关键词为：几何论文,课程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从二十世纪初的贝利——克莱因运动开始，几何课程始终是中小学数学课程改革的焦 点。从以往几何课程改革的教训看，在构建几何课程时，需要考虑以下几个关键的问题 ：
一、公理的组织问题
这是历次几何课程改革的争论焦点。笔者同意下面的观点：
首先，应该肯定公理化思想方法的重要性。公理不仅被运用于数学本身，也运用于数 学的应用方面。一个公理结构不再是已经详细描述的领域的后验的组织，而相反，它是 从数学活动中提取出定义和探索在数学及其应用领域中出现的结构的最重要的方法之一 。因此，向学生传授这种方法不应从数学教育中取消。而且，在演绎系统中方法论立场 的明确性有利于推理的学习和发展精密思维。最重要的是它有利于把物理—具体环境和 它的模型准确地分开，并且在某种意义上，没有别的途径可供选择以把现实模型同数学 理论分开来，从而消除可能产生的误解或者混淆不清。
其次，教学实验表明，几何学习的困难与否不在于公理本身(实际上，大多数公理都是 一些明显的事实)，而取决于由它所产生的理论体系的深度。“新数”运动时期许多国 家的实验已经证明：如果通过小心地选择教学方法去介绍，那么几何的公理途径对12岁 和13岁以上的学生来说是可以达到的。特别是如果所选择的公理系统不是以随便的方式 突然降临到学生的头上，而是在教师的分别指导下精心地分成一个一个小的部分。同时 ，对普通教师来说，以固定的形式来组织几何是比较容易的。它所引起的数学方面和教 育学方面的错误远较基于由学生自发探索的教育为少。它的连贯性和整体性也避免了零 碎的、没有统一的、基本结构的学习。(注：Robert Morris编.几何教学.联合国教科文 组织数学教育研究丛书第5卷.人民教育出版社.1987.11)
如果同意上述观点的话，那么，一个关键的问题就是如何以及什么时候建立公理体系 的问题。这是教学法上至今未解决的难题。在一开始就引入严格的公理系统看来是不妥 当的，这种做法对低年级的学生来说既无必要又欠可能，只会使学生觉得课程的晦涩， 而限制了学生必要的自由思维。在处理这个问题的各种探索中，有两种方法值得注意： 其一是立足于通俗化了的欧氏公理系统，不追求其完备性和最简性，用直观显见性代替 某些未列入的公理，同时把公理的产生(经验、直观认识)同它们的逻辑功能区分开来。 其二是在开始阶段采取所谓“局部组织”的途径，没有任何形式的要求，也不预先给出 任何公理系统，而是通过对几何知识和几何活动的局部组织来发展学生的几何概念和推 理，并在适当的时候向学生解释几何的逻辑结构，说明进一步的推理只能运用已经建立 的概念和定理。这种局部的组织创造有利于由学生自己来做数学化的工作，有利于逐步 地获得接近于日常推理的那种推理。当然，在学习的最后阶段(如初三)还应该让学生有 机会重新讨论建立基本概念和公理集合的必要性以及该集合最简的可能性，以便形成对 公理化思想的比较完整的认识。
不管用哪种方法，有一点是肯定的，那就是，不能把任何形式的公理系统当作一个现 成的、僵化的事实教给学生。对此，弗赖登塔尔早就有过精辟的观点，他把为了运用到 几何教育中而精心组织的整体公理系统和向量的公理加以比较，作出评论说：(注：Principles and Standards for School Mathematics.http://www.nctm.org/standard s,2000)
“我反对这样的公理系统，并不是因为它的复杂性，而是因为向学生提出的方式。他 们必须运用它来进行机械的演绎—我认为这是一种毫无价值而应认真加以排斥的活动。 和这样的系统有关的基本活动是保留给大纲的作者作如下的处理：首先以整体的方式把 预定要进行公理化的几何材料加以组织，然后切断所得的公理系统和被组织的材料的联 系，而在实现了公理系统的各个方面后，最后恢复这种联系。如果不允许学生自己来完 成所有这些活动，这样的几何公理，作为教育的对象，是缺乏意义的。”
二、几何课程的现代处理问题
1.课程的统一化
几何的孤立性是传统几何课程饱受批评的重要原因之一。从“新数”运动提倡统一数 学课程以来，许多国家已不再有独立的几何课程，几何代数化的势头似乎也越来越强烈 。对此，笔者认为，应该借鉴前苏联的改革经验。他们在总结“新数”运动的教训时得 出的结论是：最好把几何作为一门独立的课程结构内的一个系统来学习，这比把几何与 其他数学科目一起放在一个单一的课程中要好。把代数和几何放在一个合并起来的课程 中学习的考虑通常出自对数学的统一性的需要和建立数学的科目之间的必要联系的需要 。但是，人们相信，数学的统一性的本质存在于它的方法之中，并且学生只能对它有一 个初步的了解。与人为地强化一些联系相比，系统地、一步一步地表述几何的教材更加 有利于对逻辑方法的理解。换句话说，从更好地获得对数学本质的理解的观点看，几何 教材内部的逻辑联系比起几何与代数的零碎的联系，能起到更为重要的作用，当然，这 并不意味着轻视几何同代数的联系。恰恰相反，在注意到上述次序的前提下，考虑这种 联系会是很有用处的(注：New ICMI Study Series Volume 5.Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21[st]Century.AnICMI Study(1998年出版).)。
2.几何变换的作用
从ICMI的研究(注：New ICMI Study Series Volume 5.Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21[st]Century.AnICMI Study(1998年出版).)看，目 前世界各国几何课程的一个普遍现象是：特别重视变换和对称的思想，许多国家从小学 一年级开始就涉及各种几何变换和对称性。相比之下，我国的几何课程在这方面显得非 常薄弱，因此，我国未来几何课程设计的一个重要方向就是强调几何变换的作用。
但是，“新数”运动的经验教训也表明，对几何变换的处理必须把握好“度”的问题 。特别是在教学的最初阶段运用几何变换，如果只是采用非正式的片断性的课程，同时 研究某些几何定理和公式，那么，这是可以得到赞同的，但是，一开始就基于几何变换 的一套严格的、系统的课程在各国的实验中则始终没有成功过，其原因一方面是这种课 程需要一个很高的理论概括水平，超出了学校儿童的理解力所能实现的范围；另一方面 ，则是由于它缺乏一套理想的习题集。
实际上，波利亚(1971)早就在他的著作中讨论过这个问题，并且揭示了启发式研究在 寻求解题方法中的作用。人们熟悉的和很不熟悉的两方面的启发式研究，形成了属于传 统的几何课程的一组古典问题的无形的核心。基于经验，几代教师，历经几十年，选出 了这些题目，并按完美的次序把它们编排出来，从而创造出了有效的、但未能被人们注 意的几何教学法。正是由于这些特点，以传统模式进行的几何教学，被证明是如此的成 功。然而，事实证明，老的习题集对新的定理证明方法是不适宜的，因为新的方法需要 新的习题，新的习题体系和新的启发式方法，而要搞出一套新的习题并使之达到所要求 的水平则是非常困难的，甚至是不可能的，这不只是经验和时间的问题。事实上，对一 个证明进行启发式探讨，只有在它的每一步骤都容易实现的条件下，才有可能。要使学 生在寻求一个证明的下一个步骤的尝试上，具有多样性并能获得成功，也只有在他能容 易地看出这一步时才会实现。
3.几何的向量结构
目前一个普遍的观点是，向量空间是对传统几何进行现代处理的一条最有效的途径， 其理由可以归纳如下：(1)作为一个数学模型，向量空间在物理学中是有用的，在那里 ，整门学科例如热力学把仿射几何当作工具来使用；(2)从教育学的观点来说，向量结 构可以用比度量几何更为简单的方法加以介绍，由于在向量空间中，要遵守的规定的数 量比欧氏几何的少，这就便于局限在它们的范围内，并且不根据物理的直觉进行无意识 的演绎；(3)几何的向量结构提供接近实数和一般向量空间构造的最有效的、最明白而 坚实的途径。
因此，许多国家倾向于确认这种几何教学的途径。但各国的实验也证明了，在中学的 较低循环阶段采用向量途径是不可取的：首先，在开始阶段，图形世界的充实显然比概 念的简单性和易于接近的形式推理更为重要，与现实世界相关的各类日常几何活动同样 比抽象的变换更为重要，而且，在缺乏足够的具体模型、几何经验和空间感的条件下， 学习几何的向量结构则会造成更大的教育上的困难，而如果想通过学习向量空间来发展 儿童的几何想象和直觉，在概念上也显得过于贫乏；其次，在向量结构中，人们丢弃了 许多有趣的和促进学生思维的几何问题(包括度量)，而这些问题对12—15岁的年龄来说 是特别适合的。如果等到在向量空间基础上再建立度量几何，学生将由于年龄的增长而 失去兴趣；此外，距离的概念是所有12—15岁儿童的常识的一部分，并且他们可以自发 地尝试去使用它，因此，许多人认为推迟介绍度量和距离是和儿童常识的自然发展趋势 相反的。
由此可见，向量结构进入中学课程是一个必然的趋势，关键是何时进入的问题。我国 现行高中《教学大纲》对向量的引进分两个阶段：先是平面向量，然后是空间向量，并 利用空间向量来研究立体几何问题。这种安排是否合理，仍值得进一步的思考。
4.传统与革新
一方面，本世纪以来，数学的内部和外部都发生了许多重大的变化，因此各国都试图 在几何核心课程中添加新的内容。选择新内容的标准是(V.L.HanSen)：(注：联合国教 科文组织编，数学教学中的新趋势(第三卷)，1973)
(1)它是新的、重要的数学内容；
(2)它在其他科学和技术上有许多应用；
(3)它是可教的；
(4)它是漂亮的；
(5)它能提供一条掌握空间的有效的途径；
(6)它是可学的。
虽然大多数新的数学内容难以进入中小学课堂，但几何则不一样，甚至许多最新的研 究工作都满足希尔伯特对一个“好”的数学问题的要求：一个好的数学问题可以解释给 街上碰到的第一个行人。如著名的博物馆问题和邮递员问题。这两个问题虽然包含着丰 富的数学理论，但其特殊情形却可以用尝试错误的方法予以解决。当然，这种几何与人 们眼里传统的几何是不同的。
但另一方面，还有一个观点也值得我们思考，那就是，传统的内容对学生来说永远是 新的。欧氏几何作为人类科学思想发展史上的一个里程碑，许多经典的内容在课程中仍 具有重要的地位，并且在个体的认知发展中同样是不可缺少的，今天，我们许多人能够 容易地接受几何变换和向量空间的理论，也许正因为曾经受过欧氏几何的严格的熏陶。 如果我们轻易地越过这个传统，谁又能保证得到的比失去的更多呢?
此外，许多传统的内容由于新技术的介入也重新有了生机。例如，目前在许多国家， 尺规作图已经从学校的教学大纲中消失，而这实际上是学习如何处理数学过程初始阶段 的很好途径，同时，过去的经验说明，它也是培养有天赋的儿童的数学兴趣的有效途径 ，解决一个精致的作图题是一种创造性的活动。事实上，利用计算机辅助工具，那些重 要的作图题仍可以重新成为初等几何教学的核心。
三、几何的应用问题
按照Cocroft报告的观点：“任何一个课题，只有其应用的方式能够为学生所接受时， 才能被包含到课程中去，这应该作为一条基本的原则。”几何也不例外，关于几何课程 中的应用问题应注意以下几点：
首先，应该通过许多经典的例子，让学生了解几何在物理空间中的象征、解释和预测 作用。如圆锥曲线，虽然公元前200年左右就已经达到了较高的研究水平，但它却始终 成为一种在许多情形都有用的工具：17世纪开普勒对行星运动规律的描述；牛顿对行星 沿椭圆轨道运行的推断；椭圆的反射性质在粉碎肾结石中的应用；抛物面型天线；制造 机器人所用的椭圆形齿轮等等，可以说，圆锥曲线在许多方面部是日常生活的一部分。 再如几何体的最值特性，在古希腊时代，人们就开始探求包含最大面积的所谓“最完美 ”的图形。最值问题与几乎所有的物理和技术设计问题有关，因此，在现代技术中是一 个非常重要的研究领域。
其次，应该让学生了解几何在科学上的许多新的或者是重大的应用，如海王星的发现 、费尔马点问题、方位与时区的计算等；以及几何在其他学科和领域中的应用，如机器 人、医学、电信、设计与制造等等。
此外，还应该注意的是，几何在实际生活中的应用不能归结为所谓建筑学的应用或普 通工匠的水平，而是通过研究在具体空间中显示的并且是杂乱的情况所提出的问题，而 导致问题的数学化，局部的演绎推理和真正的数学活动。也就是说，对学生的几何应用 来说，重要的不是应用本身，而是应用活动的过程。
四、计算机在几何课程中的作用
计算机正在对几何课程产生越来越多的影响。这可以从互相补充的两个方面来看：一 方面，计算机可以大大地改进几何教学，节省时间，深化对几何的猜想、讨论，证说； 另一方面，可以加深对几何图形及其交流的理解，为学生学习几何概念和结构创造环境 ，提供工具。即使对那些没有条件使用计算机的教师，也应该时刻注意这些电子设备的 存在，并在教学中重视那些与计算机有关的几何技能。
目前主要有两种观点：一是计算机作为一种新的文化已经影响到生活和工作的每一个 方面，几何教学应该与此相结合。由于图形能力越来越重要，学生“做”几何的方式取 决于对图形的研究。几何成为天文学、物理学等其他学科的模型，因此，教学应该重视 几何与相关学科的联系。另外一个观点是计算机不能影响几何的目的和教学，而只能作 为一种辅助的教学手段。这两个观点根源于几何的双重性质：作为探索空间关系的工具 和作为一套公理系统以及学习演绎推理的材料。这种双重性可以简单地表示为：直觉与 演绎；构造与证明；空间与数量。有些人认为，证明必须仍然作为几何教学的骨架，而 计算机可以为证明提供直觉的认识和直观的解释；另外有些人则认为，有了计算机的直 观解释，就不必引入严格的证明，可以把这种证明留给较高的阶段。
这里涉及的一个问题是，电脑软件的应用是否有利于学生从非正式的证明向正式的证 明过渡，有利于使学生认识到严格证明的必要性，还是使他们觉得可以代替常规的 证明?目前已有实验表明，计算机软件的使用可以创造机会使学生考虑“为什么……”，“如果这样，那么会……”以及“如果不这样，那么会……”这类问题，从而使他们自己产生需要证明的愿望，理解证明的目的，欣赏证明的价值(注：New ICMI Study Series Volume 5.Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21[st]Century.AnICMI Study(1998年出版).)。
毫无疑问，新的技术(特别是计算机)对几何教学的影响是巨大的，但目前在实际教学 中的应用仍停留在较低的水平，一些具有挑战性的问题还有待于进一步的研究，例如： 计算机将如何影响几何教学，它的目的、内容和方法?经典几何的文化价值是被保护， 还是被进化?如何去做?那些由于经济原因而在短期内无法在中小学普及计算机的国家是 否可能重新构造几何课程，以适应新技术的挑战?等等。
五、几何证明与演绎系统问题
首先，几何中的证明与演绎系统是一个传统的难点，许多学生始终不能够真正理解证 明的意义，但如果因此而取消证明的话，那么同时也就取消了数学的两个重要特征：一 是在数学中，仅仅知道某种模式是远远不够的，重要的是理解它，并用科学的眼光去看 待它；二是几何的元素和结果并不是最重要的，重要的是这些元素和结果后面隐藏的结 构和关系。这显然是不足取的。我们的观点是，如果仍然把证明作为数学课程的一个核 心内容的话，那么，必须首先在经验和演绎推理之间建立联系，在课程中既要介绍清楚 严格的陈述、定义、演绎推理过程，也要提供产生和使用实际经验的机会。在这方面， 计算机可以发挥重要的作用。
其次，证明与演绎系统的学习有一个循序渐进的过程。在低年级主要采取的是观察的 、实验的方法，然后是非正式的、直觉的和不严格的途径，到了一定的年级才转向较为 正式的、公理化的、演绎的和严格的几何学习。这里，要防止两个极端：一个是企图通 过呈现大量的几何定理来学习演绎推理，实践已经证明，这是不可取的，非正式的途径 同样可以是严肃的和有说服力的，而且，非正式的途径与严格的几何表示并不是矛盾的 ，因此，未来数学教育家的基本工作就是“严格地表述非正式的数学(注：New ICMI Study Series Volume 5.Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21[st ]Century.AnICMI Study(1998年出版).)”。另一个极端是用实验来取代演绎证明，从 本质上看，几何并不是一门实验的科学，几何的真理性具有相对性，几何中的大多数令 人惊奇的事实是无法通过实验获得的，即使在计算机上也难以做到。而且，“如果学生 在初中阶段没有学会几何证明的话，那么，他可能就永远失去了这个机会。”(注：New ICMI Study Series Volume 5.Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21[st]Century.AnICMI Study(1998年出版).)
第三，现在已经公认的是，对已经完成的证明的死记硬背是毫无教育价值的。我们相 信高年级的学生必须获得演绎理论的结构的思想，因为这是区分数学与实验科学的主要 特征，但这并不意味着教演绎几何必须从一组公理出发，每一个命题都必须得到证明。 这样有可能会扼杀学生的兴趣，从而与课程的目的背道而驰。因此，在几何课程的初期 ，应该鼓励学生采用“自然(local)”的演绎证明。当然，要注意的是，在任何阶段， 不管是正式的还是非正式的证明，其依据必须是被清晰表示的，并且在直观上是认可的 ，如熟知的公理的直观形式。定理的证明也不能局限于几何。实际上，算术、代数和概 率论中都有许多提供简单而漂亮的证明的机会。当然，不同学科的证明是有所区别的。
此外，还有淡化概念问题。实践证明，从几何课程的开始阶段就给出几何概念的完善 的、严格的定义是不恰当的。从直观几何的观点来看，定义的分析似乎并不重要。学生 容易记住一张图和图中被描述的图形的性质，但记不住对一个物体所做的精确语言的描 述，而这种描述是与学生还不十分清楚的一些规则有关的。定义的分析在学生发展的最 初阶段，相对地说是无效的。事实上，“下定义”远比“证明”困难的多。就拿一个简 单的例子“一张桌子”来说吧：我们可以讨论它，因为我们知道它的性质，但是如果我 们试图定义“一张桌子”，很快就会发现将处在一个困难的境地。
六、几何处理的多样化问题
首先，在数学家和数学教育家中有一个普遍的看法：由于几何的多样性，几何课程内 容的学习必须在早期进行，并且贯穿于整个数学课程内容的学习中。但是，如何具体实 施这一思想，以及几何教学的目的、内容和方法，从小学到大学，目前仍然都有很大的 分歧。出现这种分歧的原因也许就是因为几何的多样性。这也说明了目前还没有找到( 也许根本不存在)一条最简单、清楚、线性和自然的途径，不象算术和代数，即使一些 最基本的几何概念如角度、距离等，在不同的阶段都有不同的观点。
其次，由于几何的多样性所导致的课程目标的区分化、教材的不断更新换代以及教学 的多种途径，虽然从整体上看具有积极的意义，但也使得近年来几何课程不统一的问题 越来越突出。实践证明，频繁地更换教材并不是一件可取的事，既会给师资培训带来困 难，也会在公众心理上产生不安定因素。教材的多样化虽然值得鼓励，但也应该有一个 统一的核心部分，而目前的几何课程所缺少的就是一个统一的清晰的框架。
此外，几何的多样性既为课程内容的选择带来更多的余地，但也带来一定的困难。几 何的内容是如此之多，系统掌握它们是如此困难，因此，在选取、组织教学材料时，我 们一方面必须删繁就简，在合适的时机引入学生可能接受的内容；另一方面还必须制订 几何课程的核心部分。目前比较一致的观点是，几何的核心课程必须包括：(1)几何教 学应该结合度量几何、仿射几何，投影几何以及拓扑几何的基础理论，当然，这里除了 前两个以外，对后者仅仅是直观的把握；(2)低年级的几何教学必须源于周围环境的几 何形体及其运动和变换；(3)在几何教学中应该把几何与有理数、实数的知识结合起来 。(注：New ICMI Study Series Volume 5.Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21[st]Century.AnICMI Study(1998年出版).)
⑤张奠宙，曾慕莲，戴再平.近代数学史话.人民教育出版社，1990.12
⑥钟启泉主编.国外课程改革透视.陕西人民教育出版社，1993.7
⑦陈昌平主编.数学教育比较研究.华东师范大学出版社，1995.5