立体几何中的折叠问题归类解析，本文主要内容关键词为：立体几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
折叠问题是立体几何的一个重要的问题，是立体几何与平面几何问题转化的集中体现。在近年来全国各地的高考试题中，平面图形的折叠问题渐渐成为考查的热点问题。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。本文将对立体几何中的折叠问题进行归类解析，以供读者参考。
一、折叠问题中的空间角
例1 点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点。沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角B-AC-D。
(1)求∠EOF的大小；
(2)求二面角E-OF-A的大小。
所以∠EOF=120°。
(2)如图2，过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM。
因为二面角B-AC-D为直二面角，
所以平面DAC⊥平面BAC，交线为AC。又因为EG⊥AC，所以EG⊥平面BAC。
因为GM⊥OF，由三垂线定理，得
EM⊥OF。
所以∠EMG就是二面角E-OF-A的平面角。
在Rt△EGM中，∠EGM=90°，
，
评注 折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。以上两例题，不仅要求学生像解常规立体几何综合题一样懂得线面垂直的判定方法、面面垂直的性质、二面角平面角的作法，还要掌握折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况。这正是解折叠问题的关键所在。对于此类翻折问题，要善于利用翻折前后的不变量。而二面角是高考数学必考的知识点之一。作、证、解，是我们求二面角的三步骤。作，就是作出所要求的二面角；证，就是证明所作的角是我们所求二面角的平面角，并将其置于一个三角形中，最好是直角三角形中；解，就是利用我们解三角形的知识求二面角的平面角。
二、折叠问题中的距离
例3 已知正方体ABCD的边长为1，沿对角线BD把正方形ABCD折成直二面角，求对折后AB与CD的距离。
解法1 过B作BE∥CD，过D作DE∥BC，则CD∥平面ABE。于是异面直线AB与CD的距离即CD到平面ABE的距离，此可通过求D到平面ABE的距离h获得。
评注 本题不仅要求学生懂得二面角的概念，面面垂直的性质，理解清楚折前折后有关线线、线面、面面位置的变化情况以及有关量的变化情况，还要求学生掌握“化归”这一重要数学思想方法，会把求两异面直线的距离转化为求线与面的距离，进而化归为求点到面的距离。运用向量方法必须建立恰当直角坐标系，还得有赖于在折叠过程中对有关线线、线面位置的变化情况的把握。
评注 本题中的表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形。
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