学似无疑，教须有疑——“方差与标准差”教学片断分析，本文主要内容关键词为：方差论文,片断论文,似无论文,标准差论文,教须有疑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
课堂不仅是传授知识的阵地，更是唤醒学生问题意识的场所.宋代学者朱熹说：“读书无疑，须教有疑，小疑则小进，大疑则大进.疑者，觉悟之机也.一番觉悟，一番长进.”苏格拉底也曾说：“问题是接生婆，它能帮助新思维诞生.”由此可见，问题是促进学生思维，培养学生好奇心和探究意识的“推进器”.本文以《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修3）》（苏教版）“方差与标准差”教学活动为例，把如何在课堂教学中培养学生“问题意识”的一些做法整理成文，以就教于同行.
一、情境创设——生疑
例1 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表1），检查它们的抗拉强度（单位：kg/
）.
哪种钢筋质量好？
师：两种钢筋抗拉强度平均数都是125，那么，它们的质量有没有区别呢？
：甲种钢筋质量好.因为在数轴上作点线图（如下图），直观地看乙的抗拉强度比较分散，甲的抗拉强度相对集中.从数据上看，甲种钢筋抗拉强度极差=135-110=25；乙种钢筋抗拉强度极差=145-100=45.这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定（课本上也是这个结论）.
师：通过点线图和极差作出的判断大家同意吗？
（问题一提出，不少学生眉头紧锁，有人小声议论：这种判断应该是正确的呀！何况书上也是这样写的！也有人表示不同意见）.
：通过极差和点线图判断钢筋质量好坏有时不准确.因为极差从某种意义上讲它仅表示这批数据的离散范围.如果乙组数据是115，115，120，130，115，125，125，140，125，140，这样两组数据的平均数和极差都相同，仅由极差就难以判断这两组钢筋的质量好坏.而点线图仅从直观层面上反映各数据相对于平均数的离散程度，没有用数量刻画，在应用层面上缺乏具体标准.
师：从极差的特点说明不能仅用极差判断两组钢筋的质量好坏，点线图又难以作出量的判断，说法很有见地，这种不唯书的理性精神值得称道.事实上，极差仅表明这组数据中极端值的差值，并不表明这组数据的离散程度；点线图又缺少量的刻画，因此，用极差和点线图来判断这两批钢筋质量谁好谁坏，理由是不充足的.要对这两批钢筋质量的优劣作出科学判断，还需引入新的统计量.
【说明】两种钢筋的抗拉强度的平均值都是125，如何判断两种钢筋质量的好坏，书中引进了“极差”的概念，借助点线图得出“乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差较小，数据点集中，这说明甲比乙稳定.”书上的结论似乎毋庸置疑，但结论的依据何在？这种判定方法科学吗？此时，教者一句“这种通过点线图和极差作出的判断大家同意吗？”的问题一经提出，教室里先是沉默，后是小声议论，再到相互争论：老师为什么提出这样的问题？难道书上的结论不妥吗？带着疑问，带着思考，带着审视，学生们积极地讨论着.也有人试图找出维护课本权威性的佐证.然而生2的发言使大家的思绪又平静了下来，觉得对这个问题的合理解决需要重新认识.以如何科学判断钢筋质量为问题的切入点，把学生卷入疑问之中，当学过的方法用不上，书上的结论又不能令人信服时，一种迫切寻求新的统计量的愿望油然而生.这不正是“疑者，觉悟之机也.一番觉悟，一番长进”吗？让学生带着求新的渴望，带着解疑的心向，带着数学的眼光去审视，能促进学生有所疑、有所思、有所悟，为解开心结添加思维的兴奋剂和润滑剂.
二、概念生成——解疑
例1中研究两种钢筋质量好坏是以抗拉强度和稳定性作为数量指标的，当平均数和极差这两个特征量相同时，如何用新的特征量来刻画钢筋的稳定性呢？为此进行了如下探究.
师：在例1中，要说明甲、乙两种钢筋的抗拉强度哪个更稳定些，必须选择一个参照对象，你认为参照对象选什么量比较合适？
：选择两种钢筋的抗拉强度的平均数比较合适.
师：为什么？
：样本平均数定量反映了数据集中趋势的平均水平，是直方图的平衡点.
师：很好.从点线图上看，乙种样本数据所表示的点比较分散，但分散程度如何，我们能否用一种量来描述这批数据相对于平均数的离散程度呢？
：前面我们学习过离差的概念，将这批数据与平均数的差找出来相加.
师：通过计算，甲、乙两组数据与平均数离差的和都是0，能说明两组数据的离散程度一样吗？
（此时，收回了自己的想法）.
：将甲、乙两组数据与平均数的差取绝对值再相加，这样可消除正负抵消带来的影响.
师：的想法又前进了一步.还有什么量对这批数据的离散程度会产生影响？
（学生们小声议论）.
师：对，这就是我们要探究的方差公式.这个公式从数量方面刻画了所取数据相对于平均数的偏离程度.
：既然“平均差”法可以用来比较两组数据的稳定性，为什么还要引入“方差”呢？
师：这个问题提得好.“平均差”法处理具体数据时较为方便，在没有特别要求的情况下，可以用“平均差”法，而不一定用“方差”.但当遇到用字母来表示数时，绝对值的运算就不如平方运算简捷了；另用“方差”来刻画一批数据的离散程度要比“平均差”法更能精准地反映数据的离散程度；再者在中学里选择“方差”（标准差）的学习也是今后学习复杂统计内容的需要.
（正当大家沉浸在享受探究成果的喜悦之时，又有学生举手）.
：刚才在用方差公式判断例1中两种钢筋质量好坏时，计算结果的单位是
，这个单位如何解释？（此时，教室里又是一片议论声）.
师：（顺势提问）这个问题如何解决呢？
：两边开方，取算术平方根，可解决此问题.
师：很好，将方差开方不仅避免了因平方带来单位的不一致，而且还能避免因平方夸大偏差程度的可能.我们把方差开方后所取算术平方根称为样本的标准差.（实际上方差单位是没有意义的，计算方差的目的是用纯数量刻画数据的离散程度）.
【说明】数学研究从本质上讲就是如何用数量或数量关系定量刻画现实世界中的问题.极差不能反映一组数据整体的离散程度，点线图又缺少数量的精准，由学生已有的知识，想到用实验数据与平均数的离差来刻画这批钢筋的抗拉强度是自然的想法.然而，受到正负抵消这一因素的影响，离差之和不能反映问题的本质.为消除“正负抵消”这一因素的干扰，利用“平均差”来衡量是自然的思路，也是学生们以前所遇到过的.有了“平均差”，可以比较两组数据的稳定性.但为什么还要引入“方差”的概念？这里若组织学生讨论，很难说清楚理由，由教师代为释疑，可避免学生在此处过多耗费时间；当方差公式牵涉到单位不好解释时，又想到用标准差来刻画.在这个过程中，通过环环相扣的问题设计，不断引发学生生疑、质疑，从而达到释疑的目的.不仅让学生在思维碰撞中体悟统计的思想方法，更为重要的是，学生在这一过程中获取了探求问题解决的思路与方法，养成了一种质疑的习惯，从而获得了思维水平和学习水平的提高.
三、公式应用——质疑
例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位
），试根据这组数据估计哪种水稻品种的产量比较稳定.
因为0.244＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
解完题后，笔者提出：对题中“根据这组数据估计哪种水稻产量比较稳定”这句话你有什么思考？
：统计研究是以一定的样本为依据的，“这组数据”是对确定的样本得到确定的统计结果.由于样本选取的随机性，则样本数据的选取对方差的计算结果会产生影响.
师：说得好，会有什么影响呢？
：方差的计算结果是以一定的样本为依据的，选择不同的样本会有不同的计算结果.因此，样本的选取要有合理性.
师：回答精彩.你认为影响水稻产量还会有哪些因素？
：对水稻产量产生影响的还有土壤因素，天气因素，病虫害防治，施肥是否适量，等等.
师：不仅关注结果的计算，还对影响统计结果的样本数据，影响水稻产量的其他因素作了分析，认识非常深刻，学习就应该有这种勤于思考的精神.对于例2的计算与判断，大家还有什么问题需要提出讨论？
：如果甲、乙两个品种所取的平均数不同，用方差判断其稳定性的方法是否可靠？
师：这个问题提得有价值，我们应如何分析这一问题？
：每批数据的离散程度都是相对这批数据的平均数而言的，在比较两组数据的离散程度时，主要判断两组数据的波动大小，平均数不必相同.
师：的回答很好.但我们要注意，在实际应用中，对两批数据进行选择时，若平均数差异较大时，应首先考虑平均数的作用；当两批数据平均数相等或接近时才考虑用方差刻画其离散程度，由离散程度的大小作出选择.
：当样本数据较大时，方差有没有简便的计算方法？
师：我们来观察本案例中的两组数据，各组数据接近于10，把各组数据都减去10后，再计算两组新数据的方差会有什么结果？
学生经计算确认结果与原来相同.教者接着问：这是偶然的巧合吗？
师：
、
找到了方差的简便计算方法，我们应该把这两个公式分别叫做、8公式（教室里一片掌声），善于思考是有效学习的保证.这两名同学善于思考的精神值得大家学习.
【说明】让学生在解题过程中提出自己的疑问，当学生没有疑问时，教师提出有思考价值的问题引发学生作深入思考，既是培养学生质疑习惯和探索精神的一条途径，又是课堂有效教学的重要保证.如例2“试根据这组数据……”让学生从这句话中体会样本选取的合理性；体会统计研究是以一定的样本为依据，确定的样本得到确定的统计结果；体会统计结果具有随机性.这样的质疑既渗透了学习方法的指导，又加深了对统计思想的认识和理解.为把学生的思维引向深入，教者在例2解题结束后提出：“对于例2的计算和判断，大家还有什么问题需要提出讨论？”这种征询式的提问，是让学生在没有拘束的气氛中自由发表自己的见解，体现民主、互动、平等学习的生本思想，能促进课堂教学的有效生成.如在这一和谐的课堂教学气氛中，提出了自己的疑问，他的疑问源自于课本上的例题、习题都是相同的平均数这一事实.平均数的作用是什么？方差的作用又是什么？只有当我们理清了这些问题，才能对疑问作出合理的解释.的提问是面对复杂计算的一种本能诉求，也是求新、求简意识的体现.在公式简化和推导的过程中，学生们经历了处理数学问题的过程和形式化推理的训练，激发了学习的热情和兴趣.
为思维而教，这是数学课堂教学的基本出发点.亚里士多德说：“思维是从疑问和惊奇开始的.”能否在课堂上激起学生的疑问，取决于教师的教学观念；取决于教师对教材的理解；取决于教师课前是否充分准备；取决于问题设置的有效性.一堂课犹如一条线，这条线连接着问题的起点、终点和中间必须踩着的点，这些点都是学习的疑点.教师的作用应踩着学生学习的点，把疑点变成求解渴望的“推进器”，让学生在学习中感到惊奇，体会乐趣，才是构建有效课堂的原动力.疑从何而来？长期的教学实践使我们感到：在数学概念的形成过程中设计疑点，在数学结论的应用过程中设计疑点，在数学推理的过程中设计疑点，在易混、易错的定理、公式、法则的辨析中设计疑点，在新知学习理解过程中设计疑点，在方法处理认识中设计疑点，在学生思维的“最近发展区”设计疑点……通过生疑、质疑、解疑，培养学生的“问题意识”，把发现问题、提出问题、解决问题融为一体，让课堂成为无疑变有疑，有疑须质疑，质疑能释疑的高效课堂.
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