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逻辑是关于思维规律和规则的科学，人们往往为是否存在一个独立的、先验的逻辑这个问题感到困感，有些人甚至认为这个问题如同“先有蛋还是先有鸡”的问题一样无意义，与其他某些哲学问题一样，只能归结为信仰而不存在明确的答案；另一方面，辩证逻辑和形式逻辑的长达几十年的争吵似乎越演越烈，但谁也说服不了谁；演绎推理是否增加新信息也是一个经常争论的问题。本文将试图澄清这些问题。
一、公理系统
我们首先需要对公理系统，特别是形式公理系统（如命题演算）作些说明。
在历史上，公理系统有两种不同的定义。一种是古典公理系统，是由欧几里得在《几何原本》中所提出来的（尽管该书所述的系统还不够完善），其所涉及的概念是有实际意义的概念，其公理和定义是有实际意义的命题，公理化的作用在于保证定理都是从公理出发通过严密的推导而得到的，人们只需验证少数几条公理就可保证定理的正确性；另一种形式公理系统（亦称现代公理系统），是由希尔伯特所提出来的，其所涉及的概念是未加定义而由公理加以刻划的初始概念，也就是逻辑经验主义者所说的抽象演算。
一个形式公理系统具有若干初始概念C，若干公理A(C)及若干推理规则（也叫变形规则）R，公理和定理都是由初始概念组成的公式。初始概念是没有任何具体意义的，公式是由初始概念组成的，也都是没有任何具体意义的。推理规则能用某些公式（称为其前提）得到另外一些公式（称为其结论）。为了简化公式的书写，通常还定义了若干派生概念，含有这些概念的公式可以按照定义还原成只包含初始概念的公式。人们运用推理规则从公理出发得出一个公式序列，其中的每一个公式都称为定理。当一个形式公理系统被使用时，需要用有实际意义的概念C，来替换初始概念C，替换后每个合式公式都具有了实际意义。于是，当人们确认
(1)经过概念替换后的公理A(C')成立。
(2)与推理规则对应的推理步骤总是成立的，即当推理规则是从前提P(C)得出结论D(C)时，能够确认如果P(C')成立则D(C')一定成立。则对于该形式公理系统中的定理T(C)，该公理系统就告诉人们定理T(C')也成立。当然，如果我们不使用形式公理系统，而是从A(C')出发，按照形式公理系统中从A(C)到T(C)的演算步骤进行推导，同样能得出T(C')。形式公理系统的作用在于对于相似的推导步骤，只要在定义形式公理系统时作一次推理，以后每次都只作概念的替换就行了，这就大大简化了推导工作。
形式公理系统是可以人为地任意构造的，它在被解释之前是没有任何意义的，它是对客观规律的反映，它在被解释时必须要符合客观规律。对一个形式公理系统成立的解释对另一形式公理系统就不一定成立，也就是说，不能把对一个形式公理系统的解释生搬硬套到另一形式公理系统中去。
逻辑（如命题逻辑和谓词逻辑）都是古典公理系统，数理逻辑中的逻辑演算（如命题演算和谓词演算）是一些能被正确解释到逻辑中去的形式公理系统，它绝不等同于逻辑，二者的区别是形式公理系统与古典公理系统之间的区别。在保证使逻辑能以某种方式（不管是直观的方式还是一种特别的方式）满足其公理和推理规则（即保证能被正确解释到逻辑中去）的前提下，人们可以任意地构造逻辑演算系统。它们的公理不同，因此互不相干，不产生矛盾，有时甚至还可以互相转化，即有些逻辑演算系统可以被解释到其它逻辑演算系统中去。如前所述，不能把对一个逻辑演算系统的解释硬搬到另一个逻辑演算系统中去，如三值逻辑演算可以被解释到具有三态元器件（高电平、低电平、高阻）的计算机硬件中去（这也表明逻辑演算不一定非要解释到逻辑中去。在满足其公理和推理规则的前提下一个形式公理系统是可以被任意解释的），但不能以解释命题演算到命题逻辑的方式来解释它。特别地，不能因为在某些形式公理系统中出现了矛盾（如悖论）就认为逻辑也出现了矛盾。
人们通常要求一个公理系统具有一致性、完备性和独立性，但实际上，著名的Godel不完备性定理证明了足够强的形式公理系统一定是不完备的；形式公理系统的一致性概念也与人们通常所理解的不太一样，因为在一个形式公理系统中是不存在真假概念的，甚至可能连“非”的概念都没有定义，在次协调逻辑中就允许一个命题及其否定同时成立；最后剩下的独立性要求人们消除冗余的公理和初始概念，但也不能走到极端，因为有时多个简单的公理和概念可能比一个复杂的公理和概念更加容易验证，反而可以使该系统更加容易被使用。
二、逻辑的本质
由于形式公理系统（包括逻辑演算）的作用只在简化推导操作，我们完全可以把它抛开不管，而只讨论具有实际意义的逻辑。为了书写方便，我们也会采用符号来表示逻辑命题，但除非有特别声明，无论是符号还是所涉及的概念都是指有实际意义的概念，而不是逻辑演算中的没有意义的初始概念。
当人们思维时，需要“与”、“或”、“非”等概念（称为逻辑常项）。人们可以暂时抛开具体内容而研究由这些逻辑常项组成的的句子性质，逻辑学就是从事这种研究的。逻辑学的每一个结论都是从逻辑常项的定义出发而得到的，也就是说，都是分析真理。例如A→B的意思就是如果A成立那么B成立（这并不等同于A是B的原因），A∧B的意思就是A成立且B也成立等等……，根据这些定义我们就可以知道((A→B)∧(B→C))→(A→C)等命题是必然为真的。如果对这些概念的定义发生了变化，那必然为真的命题集也会发生变化。也就是说，对于不同的逻辑常项，就有不同的逻辑。例如在认为一个命题非真即假以及认为一个命题具有真、假、无意义这两种情形中，对“真”、“假”的定义并不相同，排中律对前者成立而对后者不成立。命题逻辑、谓词逻辑、多值逻辑、模态逻辑、相干逻辑、次协调逻辑等就是由不同的逻辑常项所构成的系统。
推理就是从前提得到结论，一个正确的推理过程能够保证当前提成立时结论一定成立。通常所说的“符合逻辑”就是说要进行正确的推理，例如从“如果A则非B”并不能推导出“如果非A则非B”，这里就称这个推理过程不符合逻辑。人们只要严格按照前提的定义来进行推理，并不需要学习逻辑学的课程也能进行所有的正确推理，但逻辑学可以帮助人们分清哪些推理是正确的，哪些是错误的，以及简化推理过程。也就是说，帮助人们快速准确地进行推理。
那人们是怎么理解一个逻辑常项的定义的呢？这个问题已经超出了逻辑的范畴，而是教育学、语言学、心理学、生理学等的任务，但在此可以大致地进行一点初步的分析。众所周知，语言交流总是有误差的，不可能完全精确，但我们往往并不需要绝对精确，只要求误差不超过一定的范围就可以了。如人们在写“一”字时，没有人能够绝对精确地写成一条横线，但只要不过分弯曲（如变成了“2”字），人们都会认识的。同样，对“与”、“或”、“非”、“蕴含”等逻辑常项，只要人们对它们的理解符合（A∧B)→A等少数几条公理就行了，并不需要绝对地精确。
当我们说“如果从100米高空摔下来，那么就会死亡”时，意思就是如果前半句话成立那么后半句话就成立。不管我们是在什么情况下得出这个结论的，我们都不需要一个附加的逻辑来帮助我们指出这句话的含义。也就是说，逻辑常项是用来帮助我们表达概念的，即，当我们想要表达某个概念时，发现具有我们所需要的含义的某些词汇可以用来帮助我们表达，于是我们就使用这些词汇了，而不是相反，在我们已经表达之后，要靠逻辑来指出这些话的意义。如果这些词汇的定义发生了变化，我们可以重新表达，但不管怎样，所要表达的内容总是相同的。如果有人对同样的逻辑词汇有不同的理解，那他可以对这些词汇的理解来重新表达，而不能用他的方式来理解别人所表达的句子，否则无异于偷换概念。
我们对世界的所有陈述都是同样的情况。即使我们除了逻辑常项的定义外不懂得其它任何的逻辑学的知识，我们也能进行逻辑推理（但非常烦琐，并需要十分小心谨慎），因为是我们的陈述而不是逻辑来保证我们进行推理的。但如前所述，逻辑学（命题逻辑）可以帮助我们更好地进行推理，而逻辑演算则以形式化的方法帮助我们更有效地建立正确的推理模式。
三、演绎推理能否增加新信息问题
“演绎推理不包含新信息”是为很多人所持有的观点，[4]对此作了有力的批驳。笔者在此还想再作点补充。
一个命题A所包含的信息（记为I(A))至少有两种定义：一种是单指它自身所包含的信息，另一种是包括了它的所有逻辑后承所包含的信息。如果用第一种定义，演绎推理所得到的结论所包含的信息一般来说并不包含在它的前提之中的，是增加的新信息的；如采用第二种定义，每个后承的信息含量当然不多于它的前提的信息含量，演绎推理并不增加新的信息。因此，问题的答案取决于对一个命题所包含的信息量的定义，肯定者和否定者采用的是不同的定义，实际上所讨论的是不同的问题，自然就纠缠不清了。
当人们在肯定一个命题时，实际上头脑里要自动运用它进行一些推理。例如当人们得知甲是乙的丈夫时，也就知道乙是甲的妻子了。有些人能进行比较多的推理，有些人所作的推理就少些，有些推理是正确的，有些是错误的，同一个人在不同时候也是不一样的，与他所接受的训练、当前能迅速回想起来的知识、当前的注意力、当前的身体状况（尤其是大脑是否疲倦了）相关。据说，邱吉尔在听说日本偷袭珍珠港后马上想到“那我们确定无疑地赢了”，显然并不是每个人都会这么推理的。这种推理基本上是在潜意识自动进行的，至于是先天就会只是后天加强还是完全是后天训练出来的还有待研究，但不管怎样，后天的训练占有很重要的地位。所谓聪明的人往往就是指那些能迅速、准确地进行这种推理的人，他们对任何信息都能做出迅速、准确的反应。
因此，当人们肯定一个命题A时，他同时还会肯定若干其它的命题，（自动推理得到的），人们所说的一个命题所包含的信息往往就是指的这些命题（第三种定义）。由于人们从A出发进行推理时首先得到的一般说来就是这些命题，就会认为这些命题不用（显式地）进行推理就已经得到了，给人的印象就是演绎推理不增加新信息。但由于自动推理一般说来不会穷尽所有逻辑后承（穷尽时就变成了后面所述的定义五了），因此当演绎推理的深度超过了自动推理时还是能够增加新信息的。
当然，第三种定义不仅很不严格，而且因人因时而导，是不可取的，但以上讨论有助于我们理解第一种定义。我们可以定义一个命题所包含的信息就是它自己，除外再也没有任何其它东西，但我们肯定一个命题A时，我们会自动利用它做一些推理，这些推理会自动产生一些新的命题，也就是说，会增加新的信息，第三种定义把这些信息都归到了A的名下，我们不过是物归原主而已。同样，当我们使用A，我们往往还要临时进行一些（自动）推理，例如从甲乙是夫妻中得出甲乙是异性。这样，并不是A包含了一个范围比较广的信息，我们从中摘取我们所需要的加以运用，而是A只包含了它自己，我们可以从对A进行自动推理所得到的命题中摘取我们所需要的再加以运用。
如我们采用第二种定义，
采用这个定义就不能象通常那样使用这个概念了。定义I(A)为A的所有逻辑后承（注意与第二种定义的差别）的第四种定义也有同样的问题。
《辞海》对“信息”词条的解释为：①音讯；消息。李中《暮春怀故人》诗：‘梦断美人沉信息，目穿长路依楼台。’②通信系统传输和处理的对象，泛指消息和信号的具体内容和意义。通常须通过处理分析来提取。信息和物质、能量被称为构成系统的三大要素。信息的量值与信息的随机性有关，如在接收无法预估消息或信号中所蕴含的内容或意义，即预估有可能性小，信息量值就越大。”（[1]648页）。第一条释义与我们关系不大，第二条释义表明需要其它知识来提取信息，即当C是A和B的逻辑后承时，我们称A的信息包含了C的信息，即I(C)
I(A)，例如A是一些星体的光谱红移现象，B是物理学知识，C是宇宙正在膨胀，或A是密码，B是解码规则，C是明码。更清楚的表达是记K为我们目前已有的所有知识的集合，则I(A)＝∪I(C)，其中C满足A，K
C但不满足KC。这是第五种定义（准确说这并不是一个具体的定义而只是给出了一类定义的特征，其含义是在我们已有知识的基础之上，A又能使我们多知道多少东西。该词条的最后几句话也说明了这点，[4]中计算信息度的公式就来源于此。这个定义是第三种定义的理想化，要求我们能够知晓所有逻辑后承（否则不能计算哪些信息是由A带来的，但如后所述，一般说来这是不可能的），并且一个命题所包含的信息并不完全取决于该命题，这取决于当时的已知知识。
我们应当把一个命题所包含的信息和这些信息中被我们认识到的那部分区分开来，前者称为客观信息，后者称为主观信息。主观信息总是客观信息的子集，前面所讨论的都是客观信息。当问题中的信息指的是主观信息时，答案又会怎样呢？
由于除了我们直接观察到的事实以外，其它的主观信息本来就是（也只能是）通过演绎推理而得到的，因此即使主观信息包含了所有已知命题的逻辑后承，也只意味着我们进行第二遍同样的推理并得出同样的结论时不能增加新的信息，但在我们进行第一遍推理（获得主观信息）时还是增加了新的主观信息。如果有人会认为当我们知道前提时，就应当知道前提所蕴含的所有结论，那请他指出圆周率的小数点后的一亿位，如果他忘记了计算公式我可以告诉他。这个例子本就足够说明问题了，而Church所证明的不可判定性定理（一阶谓词演算的一般的判定问题是不可解的）更是从根本上否定了这种幼稚的想法（可参见[4]）。
所以，只有我们所知道的才是我们所知道的，我们不知道的就是我们不知道的，哪怕它是我们已经知道的东西所蕴含的。只有当它被我们从其前提中推导出来时我们才知道它，此时自然是增加了新的主观信息。
最后的结论是：当信息指的是客观信息时，答案取决于其定义，当采用第一、三种时，答案是肯定的，采用第二、第四、五种时，答案是否定的。当信息指的是主观信息时，答案是肯定的。
四、辩证逻辑
辩证逻辑与形式逻辑的关系是个老问题，但总是讨论不清楚，原因在于到目前为止，辩证逻辑研究者只使用自然语言和很有限的符号，表述很不清楚，使它具有很大的歧义性和模糊性。这种歧义性和模糊性使人们可以任意对它进行解释（此处的“解释”不等于前面所说的一个形式公理系统与一个古典公理系统对应起来的“解释”，而是指给一个模糊的概念以具体的定义），严重妨碍了它的科学性，无法对它进行更深的研究，甚至给人的感觉是它一直在靠其歧义性和模糊性来逃避人们对它的指责。因此，在讨论问题之前，我们应当首先将辩证逻辑精确化。只有在精确地表述后，我们才能讨论其真伪，才能更好地研究和发展辩证逻辑。
为了有助于精确化，我们应当用精确的人工语言而不是模糊含混的自然语言来表达，也就是符号化。符号是组成人工语言的文字，人工语言是经过精确定义的语言，凡是自然语言可以表达的人工语言都可以表达，而且由于人工语言是精确定义的，用人工语言表达的语句其意义是精确的。人工语言的语句都可以翻译成自然语言和语句，但往往会变得极其烦琐并很难理解。如“
”，用汉语来表达就是：如果A成立或B成立，且B成立可以得到C成立，又且A成立可以得到C成立的话，那么，如果C成立可以得到D成立，且D成立可以得到A不成立的话，B成立。这里，我们已经使用了ABCD等符号来表达这个并不太复杂的命题，但还是感到很难精确表达出来，如此的表达也很难被理解。
辩证逻辑是关于辩证思维的形式、规律和方法的科学（[2]167页），与标准逻辑相比，它们具有不同的研究对象。辩证逻辑研究辩证思维，标准逻辑研究普通思维，二者的差别是使用了不同的逻辑常项，即“是”、“非”、“等于”等词的辩证逻辑中与在标准逻辑中分别代表不同的概念。因此辩证逻辑实际上是一种非标准逻辑，虽然使用与标准逻辑同样的词汇但表达的意义不一样，并不构成矛盾。辩证逻辑从其逻辑常项的定义出发所进行的辩证推理自然就与经典形式推理不大一样。
辩证逻辑最受攻击的地方是关于：“A是F且A不是F”的论断，用符号来表示就是“F(A)
F(A)”。当F(A)表示A=A时就变成“A=A∧A≠A”。在辩证逻辑对这个论断的理解中，并不是A的几次出现都代表同一个体且F的两次出现都代表同一谓词的，因此这句话并不导致矛盾，但终究有偷换概念之嫌，不如干脆把表达成(1)
更为清楚，并不会引起误会。如“帝国主义既是真老虎又是纸老虎”中的两个“老虎”实际上是两个不同的概念，前者是指军事和经济实力，后者是指其对抗的决心和力量。在被称为“典型的辩证判断”的“从实践最终能够鉴别出认识的真理性上说，它是确定的；从实践的社会和历史局限性上说，它又是不确定的”一句中，很明确地定义了其中“确定”一词的两次出现代表的两个不同的含义，即属于类型(1)的。当F(A)和G(A)是一致的时候，这句话不仅不是自相矛盾的，而且还是有其明确意义的。[5]对这个问题作了一个比较详尽的分析。该文使用了条件算子，使得同一符号出现可以代表不同的含义，实际上相当于用不同的符号来代表不同的含义。
[6]对建立一个公理化的辩证逻辑系统提供了有益的帮助。由于目前对辩证思维的规律还存在数十种不同的看法，尚不能在此提供具体的公理化系统，每个研究辩证逻辑的学者都可以提出自己的公理化系统。我相信，在把辩证逻辑精确化、公理化的过程中可以帮助自己理清思路，并可以基本上避免由一时疏忽所造成的失误，取得象19世纪末20世纪初对数学进行的公理化运动那样的效果。
进一步，我们还可以把辩证逻辑形式化，创建一个辩证演算系统，使该系统可以被解释到辩证逻辑中去。形式化的好处是可以轻易地保证辩证推理的正确性。如果有人不喜欢前面那种精确表述“A是A且A不是A”的方法的话，他可以把“A=A∧A≠A”作为一条公理加进系统中去，这样的话我们还得规定在一个公式中，同一符号的不同出现并不代表同一个体，一些命题演算中的公理（如矛盾律、同一律）在辩证演算中也不再是公理了。辩证演算系统并不一定是不协调的，我们可以证明只含有以上公理的演算系统是协调的。具体做法略。
从以上分析中可以得出，辩证逻辑作为一种非标准逻辑不是谬误。由于以前用于表述辩证逻辑的语言具有巨大的模糊性和歧义性，使得人们没能对辩证逻辑进行更深的研究，所以辩证逻辑还显得非常粗糙和不成熟。在经过精确化、符号化、公理化和形式化整理后，我们可以更好地发展辩证逻辑。
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