联合生存概率准则下最优变损再保险研究

王淑敏 房 莹

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

摘要 本文综合考虑保险人和再保险人的利益，在期望值保费原则下以两方的联合生存概率最大作为最优准则，研究了最优的变损再保险策略.通过研究他们的联合生存概率，给出了最优变损再保险策略存在的充分必要条件，并且得到了最优的自留额与比率.

关键词 最优再保险； 联合生存概率； 变损再保险； 期望值保费原则

1 引 言

从二十世纪六十年代开始，最优再保险的研究已经经历了半个多世纪的历史，最优再保险也成为近年来越来越流行的课题之一.在精算文献中，关于最优再保险研究的文献已有许多，例如Centeno(1991)^[1]，Sung(2011)^[2]，Chi和Weng(2013)^[3]，Kaluszka(2005)^[4]，Promislow和Young(2005)^[5]以及Cai和Tan(2007)^[6]等人的文献.这些文献的一个共同特征是最优性考虑的是一方的利益，即保险人的利益.通过采取再保险策略，保险人能控制他们的全部风险.出于不同的目的，保险人可以通过不同的方式来设计再保险策略.例如Sung等人(2011)通过最大化保险人财富的期望效用函数来研究最优再保险策略，而Chi和Weng(2013)则是通过最小化保险人的风险损失(VaR)来研究最优再保险策略.从风险管理的角度来看，最小化保险人损失的风险价值(VaR)是一种流行的再保险模式，例如Kaluszka (2005),Promislow和Young(2005)以及Cai和Tan(2007)等人的文献中都采取了这种模式.

以上我们将《唐风》的十二首诗歌从“勤” “正” “忠” “预” “朴”五个方面进行了论述。 它们之间和晋国的关系则是： “勤”为富国之本源； “正”为走向成功的保证； “忠”为事业的纽带； “预”为成功的前瞻性； “朴”为前进中的校正器。 晋国之所以天下莫强焉，和这密不可分。 从《唐风》反映出来的晋国文化，具有规范的、质朴的、务实的、稳重的、厚重的特征。 他倾向于冷静的、分析的娓娓道来，而不是太热情的、浪漫的、轻佻的描述。 季札之所以用思深、忧远、有传统和历史感来评论之，道理也在这里。

一份再保险合同涉及保险人和再保险人两方，并且双方有利益冲突.因此，如果我们只考虑保险人的利益，对于再保险人来说可能并不公平.Borch(1969)^[7]指出对于保险人的最优再保险合同对于再保险人来说可能不是最优的，也可能是不可接受的.关于最优再保险，一个有趣的问题是设计一种再保险，使其兼顾保险人和再保险人两方的利益.Borch(1960)^[8]首先考虑了这个问题，他研究了使双方财富的期望效用函数的乘积最大化的最优比例保留额和最优止损自留额.Cai等人(2013)^[9]研究了比例再保险和止损再保险在期望值保费原则下，保险人和再保险人的联合生存概率函数以及联合盈利概率函数的最大化问题.

本文是在Cai等人(2013)最优准则的基础上，研究了最优的变损再保险策略.通过研究他们的联合生存概率函数，给出了最优变损再保险策略存在的充分必要条件，并且得到了最优的自留额与比率.

2 变损再保险

假设X 是保险人总的风险损失，我们假定X 是一个非负随机变量，并且有分布函数F (x )=Pr{X ≤x }，生存函数S (x )=1-F (x )以及均值EX =μ >0.

变损再保险是一种简单的分保形式，是指当损失X <d 时，再保险人此时不承担损失，当损失X ≥d 时，再保险人按比率c 分担损失，其中d 为变损再保险的自留额，故保险人的分出损失为X _R =c (X -d )₊，自留损失为X _I =X -X _R =X -c (X -d )₊.其中当c =0 时，意味着不再进行再保险，此时研究没有意义；当c =1时，此时变损再保险即为止损再保险；当d =0 时，此时变损再保险即为成数再保险，其中止损再保险和成数再保险的最优问题已经在Cai等人(2013)这篇文章中研究过.因此，在本文中，我们只考虑0<c <1以及d >0的情况.

因再保险人分担保险人的部分风险，故保险人应以保费的形式向再保险人支付费用.我们假设保险人和再保险人的保费按照期望值原则计算，那么再保险人和保险人的保费收入分别为

P _R (c ,d )=(1+θ _R )E [c (X -d )₊]=c (1+θ _R )S (x )dx ,

(1)

P _I (c ,d )=(1+θ _I )EX -P _R (c ,d )=(1+θ _I )μ -c (1+θ _R )S (x )dx ,

(2)

其中θ _I ,θ _R 分别为保险人和再保险人的安全负荷因子，u _I >0,u _R >0分别为保险人和再保险人的初始财富.

在实务中，保险人会将风险更大的损失转移给再保险人，不失一般性，我们假定θ _I <θ _R ，另外，从收益角度来看，保险人获得的保费收入P _I (c ,d )必须是正的，因此有

从印度食素主义人群城市分布数据可得出印度素食主义人群的是由印度西南部向印度东北部递减的分布趋势。印度西南部与印度东北部从宗教、经济、种姓、政治、气候等各方面有很大的差异，其中宗教的影响最为明显。

(3)

3 保险人和再保险人的联合生存概率

当c →0,d >0时，由(7)和(8)得;

江阴水利信息化一期工程共建设电信和移动4～10 M光纤专线45条、100 M光纤专线7条，并实现与原有省、市防汛专网及江阴市政务网的安全融合。

在变损再保险中，保险人和再保险人的联合生存概率函数为

J _s (c ,d )=Pr{X _R ≤u _R +P _R (c ,d ),X _I ≤u _I +P _I (c ,d )}

(4)

为了得到保险人和再保险人的联合生存概率函数表达式，我们需要比较与d 以及与的大小关系.与d 的大小关系由以下定理1得出.

定理 1 在D 区域内，以下集合均是非空的：

(5)

证 显然，

证明同定理2，故在此省略.

定理 3 当时，

又因为G ₁(c ,d )关于c ,d 是连续的，所以集合(5)均是非空的.定理即证.

试验组45例患者中，关节疼痛2例（4.4%），水肿1例（2.2%），头晕1例（2.2%），不良反应发生率为8.9%（4/45）；对照组45例患者中，关节疼痛1例（2.2%），水肿2例（4.4%），头晕1例（2.2%），潮红1例（2.2%），不良反应发生率为11.1%（5/45），两组比较，差异无统计学意义（χ2=0.123 4，P=0.725 3＞0.05）。

与的大小关系由以下定理2得出.为了简化符号，我们记

定理 2 当时，

(i) 如果u _I ≤-(1+θ _I )μ +d _R +(1+θ _R )S (x )dx ,那么恒成立;

2.1.2 急性心梗致心脏破裂 男性5名，女性4名；年龄50.9±9.3岁；心脏质量392.8±31.4 g，明显大于钝性暴力致心脏破裂（P＜0.05）；心包积液量380.0±144.4 mL，均伴有多量凝血块，心包积液量明显大于心肺复苏致心脏破裂组（P＜0.01）和钝性暴力致心脏破裂组（P＜0.05，表1，表3，图1）。

(ii) 如果u _I >-(1+θ _I )μ +d _R +(1+θ _R )S (x )dx ,那么以下集合均是非空的：

新能源指的是非常规能源，与传统能源相比，新能源储量庞大，同时污染比较小。常规能源主要包括石油、水、煤炭、天然气等，而新能源则指的是海洋能、太阳能、风能、生物质能等。在我国各类能源类型中，生物质能源储量丰富。

(6)

证

(7)

(8)

(i) 如果u _I ≤-(1+θ _I )μ +d _R +(1+θ _R )S (x )dx ，由(7)和(8)知，我们仅需比较它们的最后一项即可，因为

(i) 如果u _I ≤(θ _R -θ _I )μ ,那么恒成立;

(ii) 如果u _I >-(1+θ _I )μ +d _R +(1+θ _R )S (x )dx ,当d →d _R 时，则

u _I +(1+θ _I )μ -(1+θ _R )S (x )dx -d >0,

又因为(1,d _R )∈D ,所以，当c →1,d →d _R 时，由(7)和(8)得

目前我国对PBL教学效果的评价尚无统一标准，大多选择主观评价或主观评价法与考核法相结合方式，大致从以下几方面进行评价：

;

(9)

在变损再保险中,比率c 与自留额d 组成参数组合(c ,d ),设D 为可行的比率与自留额区域，故有

(10)

又因为与关于c ,d 均是连续的，由(9)和(10)知(6)是非空的.

令G ₁(c ,d )=d +c (1+θ _R )S (x )dx ,则,

所以，如果u _I ≤-(1+θ _I )μ +d _R +(1+θ _R )S (x )dx ,那么恒成立.

(ii) 如果u _I >(θ _R -θ _I )μ ,那么以下集合均是非空的：

(11)

得到累加平均后的基带信号后，采用一阶拟合方法计算每个伪码码片的上升沿和下降沿过零点，将各过零点依次相减得到伪码码片的时间宽度，数字失真量即为接收信号和理想信号时间宽度之差，取其均值可得到数字失真的最佳估计量.如表1所示，从图中可以的得到2个结论：(1)北斗系统所有卫星B1I信号均存在数字失真现象；(2)数字失真最大的卫星为IGSO类卫星，最大失真数值为3.97ns；北斗区域系统的数字失真量均小于5ns，属于正常的标称失真范围.

最后，我们得出保险人和再保险人的联合生存概率函数.

定理 4 (i) 如果或者那么保险人和再保险人的联合生存概率函数为

2.涉及油田的行政事业性收费被取消。2011年12月财政部、发改委发布《关于公布取消253项涉及企业行政事业性收费的通知》（财综〔2011〕127号）。其中，如山东省财政厅、物价局转发了该文件，取消了19项涉企行政事业性收费，其中取消了涉及胜利油田的落地原油管理费、工农工作协调费、水工程占用补偿费、石油勘探开发排污费等有12项费用，进一步缓解了油田生产经营压力。

(12)

(ii) 如果或者那么保险人和再保险人的联合生存概率函数为

(13)

其中

(14)

4 最优再保险参数

在这里，所谓的最优参数是指存在(c ^*,d ^*)∈D 使得联合生存概率函数达到最大，即

“当时我不知道有侍酒师这个行业，但我有好几个室友当了很久侍酒师以后想回去学酿酒，酿一款自己喜欢的酒。然后我就开始查侍酒师是什么，也查了关于葡萄酒行业一些最高的证书。”当时他查得很仔细，不但知道经过努力和学习可以达到的最顶端的证书或知识到哪里，也搞清楚了如今葡萄酒圈非常盛行的WSET从一级到四级的区别，甚至连“葡萄酒大师和侍酒师大师”都去查过一遍，知道那是葡萄酒领域殿堂级的存在……“我从2005年开始学葡萄酒，很快就去查了这些，当时我就知道，这是应该要做到的。”

定理 5 当或者时，不存在(c ^*,d ^*)∈D ,使得

证 由定理4(i)知保险人和再保险人的联合生存概率函数为(12)，如果d ≤u _I +P _I ,那么

令因为G ₂(c ,d )关于c 在D 区域内单调减，所以，又因为c 在D 区域内取不到0，所以G ₂(c ,d )在D 区域内只有上确界而无最大值，所以不存在(c ^*,d ^*)∈D ,使得

5 来稿一律文责自负。依照《著作权法》规定，本刊可对来稿做文字修改、删节，凡有涉及原意的修改，则提请作者考虑。请作者修改的稿件逾3个月不修回者，视作自动撤稿。

定理 6 当或者时，存在(c ^*,d ^*)∈D ,使得并且最优参数组合为

其中

证 由定理4(ii)知保险人和再保险人的联合生存概率函数为(13)，当d ≤u _I +P _I 时，

如果即cd >c (u _I +u _R +(1+θ _I )μ )-u _R -P _R ,则

如果即cd <c (u _I +u _R +(1+θ _I )μ )-u _R -P _R ,则

因此，何斌期待，未来省医院在推进好本地区内医院间医疗装备招标维保联动的同时，也希望该举措还能在全国各地医疗机构中得到共同推动和支持。

如果此时J _s (c ,d )=F (u _I +u _R +(1+θ _I )μ );

又因为u _I +P _I <u _I +u _R +(1+θ _I )μ ,所以定理即证.

例 1 令θ _I =0.2,θ _R =0.4,u _R =50,u _I =20,假设X 有指数型分布的生存函数S (x )=e^-0.01x ,μ =100,

汉口镇的龙王庙每年都会有祭拜盛事，三年前黑旗会强占庙宇建了分坛后方圆一里人迹罕至。萧飞羽一行听到悬挂在龙王庙殿角铜铃在习习轻风中的叮当声，接着看到雕饰精美的殿角飞檐、金瓦红墙和九级宽大石阶上的四个灰衣人，所有人的热血顿时沸腾起来。

又因为u _I >-(1+θ _I )μ +d _R +(1+θ _R )S (x )dx ,所以由定理6知，存在(c ^*,d ^*)∈D ,使得并且最优参数组合为{(c ^*,d ^*)}={(c ,d )∈C :c (190-140e^-0.01×d -d )=50},其中图1中粗线部分即为所求的最优参数组合.

图1 例1的最优参数组合

图2 例2的最优参数组合

例 2 令θ _I =0.2,θ _R =0.3,u _R =10,u _I =8,X 有帕累托型分布的生存函数

又因为u _I >(θ _R -θ _I )μ ,所以由定理6知，存在(c ^*,d ^*)∈D ,使得并且最优参数组合为其中图2中粗线部分即为所求的最优参数组合.

5 结 语

在本文中，我们研究了联合生存概率准则下变损再保险的最优策略.首先，给出了在变损再保险下保险人和再保险人的联合生存概率；其次，在期望值保费原则下，最大化双方的联合生存概率函数，得到了变损再保险最优的自留额与比例；最后，给出了变损再保险最优自留额与比例的数值分析.我们还指出了需要做进一步研究的问题.首先，多重最优条件的存在通常成立，因此，需要第二个标准来选择唯一的最优再保险参数(c ,d )；其次变损再保险可以推广到其他形式的再保险.对于这两个问题，我们希望在未来能做更进一步地研究.

6 参考文献

[1] Centeno M L.An insight into the excess of loss retention limit[J].Scandinavian Actuarial Journal,1991,11(2):97-102.

[2] Sung K C J, Yam S C P, Yung S P,et al.Behavioral optimal insurance[J].Insurance:Mathematics and Economics,2011,49(3):418-428.

[3] Chi Y, Weng C.Optimal reinsurance subject to Vajda condition[J].Insurance:Mathematics and Economics,2013,53(1):179-189.

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[7] Borch K.The Optimal reinsurance treaties[J].Astin Bulletin,1969,11(2):293-297.

[8] Borch K.Reciprocal reinsurance treaties[J].Astin Bulletin,1960,2(4):170-191.

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OPTIMAL CHANGE -LOSS REINSURANCE UNDER THE JOINT SURVIVAL PROBABILITY

Wang Shumin Fang Ying

( School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University,250358,Jinan,China )

Abstract The paper considers the interests of both insurer and reinsurer and studies the optimal reinsurance strategies that maximize the joint survival probability under the principle of expected premium.By studying their joint survival probability, we give the sufficient and necessary conditions for the existence of the optimal reinsurance strategy and obtained the optimal retention and ratio.

Key words optimal reinsurance; joint survival probability; optimal retention and ratio; the principle of expected premium principle

收稿日期： 2019-01-15

基金项目： 国家自然科学基金资助项目(11201271)；山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项目(BS2013SP003).

通讯作者： 房 莹，女，副教授，博士，硕士生导师.

中图分类号 O 211.9

文献标识码 A

doi： 10.3969/j.issn.1001-4748.2019.03.003

标签：最优再保险论文;  联合生存概率论文;  变损再保险论文;  期望值保费原则论文;  山东师范大学数学与统计学院论文;