与数学中等生的一次解题对话，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
俄国教育家乌申斯基曾说过：“如果教育家希望从一切方面去教育人，那么就必须首先从一切方面去了解人.”要教育学生就得先了解学生，只有了解和熟悉学生的情况，才能从实际出发采取有效的教育措施对学生进行教育.不久前，有一名数学成绩中等（满分160分的试卷得分在110分左右）的学生（高三）利用晚自习的时间，问我一道填空题的解法.这次解题对话，使笔者对中等生的数学学习现状有了更深入的了解，也提醒笔者在教学中要关注中等生的数学思维差异，多让这些学生暴露思维的全过程，耐心地帮助中等生寻找思维的起点，发现思维的缺陷.以下是这次对话的实录和思考，与同仁一起商榷. 一、对话实录 问题：椭圆
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________. 师：你是怎么想的？ 生：设P（
，
），想求出AP的垂直平分线方程，再根据平分线过点F，点的坐标是方程的解，建立方程求解.可是AP的垂直平分线方程太复杂，我不会做，是不是这种想法错了？ 师：没错呀，这是最“正常”的想法，你写出来让我看看.
老师，我做到这里就不敢往下算了. （显然该生的代数式变形能力是比较薄弱的，笔者给出了适当的提示.）
要求离心率的取值范围，我得到这个关系式有什么用？ 师：再理解一下题意，是不是我们遗漏了关键词？还有哪个条件在解题中没有使用？ （这实际上是很多学生解题的通病：解题过程缺少必要的文字说明，只知道进行数式运算，忽视数式存在的前提.对于同一个等式，是解方程，还是方程有解，或是等式恒成立，不同的处理要求，解题的差异是巨大的.） 生：我知道了，“存在”是说这个方程有解！
（学生又一次陷入了困境，向笔者投来求助的目光.） 师：只需要判别式Δ≥0吗？
（其中不等式的求解过程得到了教师的指导.） 师：现在回过头来，看这道题的解题过程，你觉得你的解题能力在哪些方面需要提高？ 生：运算能力，特别是字母运算，见了就烦！再有就是审题不清，忽略了是存在性问题. 师：对于解析几何问题，最常见的解题方法就是“直译法”：题目说什么，我们就做什么，只要根据题中所给信息，逐字逐句将条件转化为代数式，进行求解即可.你正是从这个角度出发思考问题的.但有时用“直译法”解题，过程会略显复杂、晦涩.就此题而言，我们还可以考虑转换问题的视角，取问题之意，用“意译法”求解问题 回到解题之初，我们知道解题的切入点是“线段AP的垂直平分线过焦点F”，而你的解题困难正是由对这个条件的理解不充分造成的.能否重新认识这个条件，将这个条件换一个等价的说法？比如，以线段AB为直径的圆过点C，是不是一定要先求出圆的方程，再说点C的坐标是这个方程的解？实际上，我们可以不求圆的方程，用CA⊥CB，或者
说明同一个事实.换一个角度，就会发现一个崭新的世界！ 生：我明白了，不需要求垂直平分线方程，直接用PF=FA即可.
师：这显然比刚才的计算要简单些，但我们必须要利用两点间距离公式计算PF吗？ 生：对了，PF是椭圆上点P到焦点F的距离，应该用椭圆的第二定义简化计算.
师：很好，把握问题特征，选择合理的运算途径，原来问题如此简单！不过我们的精简之旅还没有结束. 再回顾此题的求解过程，我们求离心率的取值范围，这个不等关系从何而来？是基于点P的存在性.在以上两种解法中，我们是通过点P的横坐标
的存在性来求得范围的：一是转化为关于
的二次方程在[-a，a]上有解，用函数零点存在性定理；二是转化为关于
的一次方程，只要求得
，解不等式
即可. 实际上，我们根本不需要把PF用
来表示，也可以直接将PF作为研究对象，通过PF的存在性建立不等关系，从而求出离心率的取值范围. （学生一脸茫然，无所适从.） 师：依题意，PF=FA，即
，什么情况下该等式成立？PF有范围吗？
师：我们经历了一次由繁到简的解题过程.从形式看，解题的切入点不同，其过程的繁简程度确有很大的区别，但它们的本质却是一致的，只是由于出发点不同，让问题的表象掩盖了真相. 首先是①式与②式，复杂的字母运算“欺骗”了我们的眼睛.如果对这两个式子进行“配方”，就会有新的发现.比如①式，可作如下变形：
（考虑到该生代数式变形能力较差，笔者作一个解题示范，由该生完成②的变形.） 由此可见，①、②两式与③式本质上是一致的. 再看③与④式，如果我们不由③式求出
，而是直接考虑该一次方程有解呢？ 生：因为
.由③式也可直接推导出④式.老师我理解了，谢谢你. 二、几点思考 看似一次很平常的晚辅导活动，可是与该生的对话一直在迫使我去思考：一道简单的数学填空题（原题是2010年全国高考四川卷理科第9题，为一道选择题），为什么会在一位中等生面前变成一道难题？试想我们的课堂教学，课堂的主体不正是占班级大多数的中等生吗？为了提高课堂效率，提升教学质量，我们是不是应该为这些中等生多做些什么？特别是高三数学教学，应该针对中等生的数学学习现状，选择适当的教学方式，帮助他们完善认知结构、强化运算技能、激活思维潜能，为他们的数学学习助力. 1.完善认知结构 数学知识是数学问题的载体，高三数学教学的首要任务就是帮助学生全面梳理知识要点，理解知识内涵，形成知识网络.对于中等生而言，他们对知识的认知往往是片断的、零碎的，处于被动记忆的阶段，很难建立起知识间的联系，将知识内化为解题的工具.比如，在本次对话中，该生对垂直平分线的性质，判别式与一元二次方程解的关系，椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点距离的范围等知识点的掌握是没有问题的，但如何将这些知识运用到解题中去，明显出现了知识与运用的断裂，不能活学活用.解题之初，该生只能看到垂直平分线的定义，而想不到垂直平分线的性质，这是解题误入“歧途”的表层原因.如果没有这次解题对话，相信很多教师是不会想到学生在这个“知识结点”上发生问题的.实际上，这个“知识结点”是问题产生的根源.作为解析几何的基本解题策略，解析法的实质就是几何特征代数化，但这种转化绝不是形与数的简单转化，它还要求学生对几何特征有本质上的理解.不能合理选择恰当的转化角度解决问题，这才是该生的深层认知缺陷.如果在高三数学复习中，我们能切准中等生的认知脉络，顺应他们的认知起点，引领他们从不同角度去思考问题，帮助他们建构知识间的内在联系，那么中等生的认知结构必将得到充分的完善，知识与能力间必会架设起通畅的桥梁. 2.强化运算技能
3.激活思维潜能 数学是思维的体操，数学思维的训练始终是数学教学的核心目标，提升学生的思维品质是提高高三数学课堂教学效益的关键.而中等生的思维比较单一、僵化，数学学习往往是被动地接受现成的知识，对教师讲授的解题方法亦步亦趋，缺少对问题本质的思考，缺乏思维的积极性与求异性，数学学习处于题型识记与模仿的阶段.诚然，模式识别是必要的，但一味地固化解题模式则是可怕的. 解题之初，该生不能灵活地对已知条件进行转化，是解题思维被程式化的突出表现.“直译法”固然是求解解析几何问题的常用方法，但我们也要教会学生具体问题具体分析，针对不同的数学对象学会创造性地使用已知条件.在此题求解过程中，多角度引导学生认识线段PF的特殊性，从而寻求问题的不同解决方案，可以较好地激活学生的思维潜能.而问题解决后，帮助学生重新认识不同解法的差异与联系，则可以解开学生的“困惑”，内化学生的思维认知，使其对问题的认识更有高度，对问题的理解更有深度. 在高三数学教学过程中，我们要提倡师生对话，自主展示，不要用教师精彩的讲解去扼杀学生的思维萌动，要通过对话与展示，不断点燃学生的思维火花，暴露学生的思维过程，展示学生的思维成果，把原本属于学生的时间还给学生.对于同一个问题，不同的学生会有不同的思考角度，也就有可能产生不同的思考结果.不同的解题思路对开启学生的智慧有不同的价值，一种好的解法不但可以帮助学生减少运算量、优化解题过程，而且还能迅速提升学生的思维水平和解题能力，同时，比较不同的解法也可以展示学生不同思维的发生、发展、形成过程，防止学生解题思路狭隘、单一. 数学教学，不仅是让学生获得知识，更重要的是让学生拥有智慧.在教学过程中，我们要密切关注中等生的学习动态，并不失时机地提出问题，通过引导、启发、点拨、评价、矫正，帮助他们拓展思路、开阔视野、提炼精要、升华情感，让师生对话得以持续，使学生单一的思维多元化.唯其如此，中等生的数学学习才有可能从懵懂走向顿悟，最终“破茧成蝶”.
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