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证券投资风险评估方法研究主要以Von Neumann-Morganstern
的期望效用理论为基础，以期望效用最大化为基本决策准则，围绕证券回报风险测量方法及投资选择展开的，先后提出了一般风险金测算模型、方差测算模型、下方矩测算模型以及一些特殊构造的效用函数（期望值）最大化模型。各种计算方法的假设条件和理论完善程度均不同，但从不同角度解释了投资者的风险证券投资决策行为。下面分别对上述风险测量方法进行评述。
1 基于效用函数的风险金测量模型
投资者对待风险的态度不同，其效用函数的形式不同。以经济学中常用的效用函数—财富效用函数U（W）为例，如果效用函数为凹性函数，则财富期望值的效用大于财富效用的期望值，即U[E（W）]＞E[ U（W）]，称这些投资者是风险避免型的（risk-averse）；如果效用函数是凸性函数，财富期望值的效用小于财富效用的期望值，即U[E（W ）]＜E[U（W）]，称这些投资者是风险追求型的（risk-loving）；如果效用函数是线性函数，财富期望值的效用等于财富效用的期望值，即U[E（W）]＝E[U（W）]，称这些投资者是风险中性的（risk-ne-utral）。经济学家认为现实的投资者都是风险避免型的。 风险避免型的投资者为了避免风险（不确定性）而愿意放弃的最大财富量，称为风险金，或者称为这类投资者进行风险投资愿意支付的最大财富量。这种风险金的测量有两种方法：
一种是Markowitz风险金π[,m]模型，他的公式是：
π[,m]＝E（W+
）U[-1][U（W+）]
（1）
式中：为风险证券回报，是随机变量。
上述模型无法分析效用函数特性（表示投资者的风险态度）对风险金的影响，计算较为复杂。另一种计算风险金的模型是Pratt-Arrow 风险金π模型，他的公式是：
1 1
π＝——σ[2]（-U[″]（W）/U[′]（W））——σ[2] （ARA）
2 2
（2）
式中ARA＝-U″（W）/U′（W）为绝对风险避免； σ为风险证券回报标准差。
（2）式是给定财富效用U下的风险金测算模型，利用ARA 可以分析不同效用函数对风险金的影响。
Pratt-Arrow风险金模型的假设前提是证券回报的风险很小， 且均值为零，而Markowitz风险金模型不受这些假设的限制。 也适合较大风险和均值不为零的情形。然而，求出证券市场每种证券回报的风险金是很困难的，难以用来进行投资决策。
2 随机优势选择模型
事实上，无论投资者是那种类型，都是寻求期望效用最大，所以可以用期望效用最大化原则来进行不确定条件下的投资选择。
如果一个投资者在每个自然状态都能从证券A得到比证券B多的财富，则证券A优势于证券B，这是一阶随机优势。他适用于所有递增的效用函数，并使期望效用最大。用概率分布表示如下：
若 F[,A]（Z）≤F[,B]（Z） 对所有的Z （3）
F[,A]（Z[,i]）＜F[,B]（Z[,i]）
对某些Z[,i]则证券A一阶优势于证券B。
所以在每一状态收益点，证券B比证券A有更大的风险。
如果投资者的效用函数是非减的，且是严格凹的，根据Hanoch 和Levy（1969）证明，二阶随机优势使风险避免型投资者的期望效用最大化。二阶随机优势的数学模型如下：
若∫[Z[,i][,-∞][F[,B]（Z）－F[,A]（Z）]dZ≥0 对所有的Z（4）
F[,B]（Z[,i]）≠F[,A]（Z[,i]）
对某一个Z[,i]则证券A二阶优势于证券B。
随机优势理论建立在期望效用最大化基础上，适用于任何的概率分布，因此具有十分重要的意义。但当证券很多时，计算量很大。
3 均值－方差选择理论
Markowitz（1952）提出组合证券理论以减少投资总量风险。 他考察了多种风险测量方法后，认为半方差（semivariance）是理论上最完美的风险测量方法。但由于半方差在统计计算上的困难，Markowitz 在他的分析中采用方差作为风险测量工具，构造了均值方差有效集，提出均值方差组合证券选择理论。
证券组合理论的一般假设条件为：
（1）证券市场是有效的，即对于每一种风险、 收益的变动及其产生的因素，每个投资者是知道的，或者说是可以得知的。
（2）投资者都是风险避免型的，他们不喜欢风险。 如果承受较大的风险，必须得到较高的预期收益以资补偿。
（3）投资者的目标是：在给定风险水平上收益最高， 在给定收益水平上风险最低。
（4）每种证券收益是关联的。
Markowitz的风险分散原理是：n种证券组合的总收益等于个别证券收益的加权平均；而它的总风险不等于这些个别证券风险的加权平均，并且可以比它小。因为一个组合证券的风险不仅决定于构成组合的各证券的风险，而且也决定于他们之间的关联程度。
Markowitz利用方差度量风险， 利用相关系数表示证券之间的关联情况，应用二次规划方法，建立了证券选择模式。均值方差有效集是组合理论的核心，有效集上全局最小方差点是通过分散原理在现有各种证券基础上所能达到的最小风险组合。均值方差有效集为证券组合投资提供了理论依据。
Baron（1977）证明， 在投资者的效用函数是二次凹性递增函数的情况下，如果所有证券回报分布是正态分布，均值方差分析和期望效用函数最大的结果是一致的。
表1 证券A和证券B在不同状态下的回报
自然状态极坏 坏 一般 好 很好
概率0.2 0.2
0.2 0.2
0.2
证券A回报3
4 5
6 7
证券B回报3
5 7
911
然而，证券回报是正态分布的假设和投资者风险避免的假设不完全和实际相符。
下面提供一个均值方差分析失效的反例。如表1所示，证券A的回报均值为Z[,1]＝5，回报标准差σ[,1]＝1.4，方差为σ[,11]＝2； 证券B的回报均值为Z[,2]＝7，回报标准差σ[,1]＝2.82，方差为σ[,22]＝8；两种证券回报的协方差为零，相关系数为零。
按上述数据求得的最小方差组合证券集均值方差轨迹为：
2σ[2][,p]＝5Z[2][,p]－54Z[,p]+149（5）
最小方差为σ[2][,min]＝1.6，最小标准差为σ[,min]＝1.26，最小方差（风险）证券组合Wg为证券A80%和证券B20%，这是均值方差有效集上风险最小的组合证券，他的回报为Z[,min]＝5.4。在不允许卖空的条件下，最大回报均值和方差的组合证券为证券B100%。在上述均值方差有效集上的所有证券组合都是风险避免型投资者能接受的证券集。
然而，我们分析证券A与证券B的回报分布以后可以发现，证券B 的回报在每个状态都大于或等于证券A的回报，按一阶随机优势理论， 证券B优于证券A，证券B是投资者的最佳选择。因此， 均值方差理论不能解决这类投资的选择问题。这一现象的理论解释是，均值方差分析要求所有证券的回报服从正态分布，正态分布的加权平均仍然是正态分布。正态分布变量可以完全用均值方差表示，由这些具有正态分布回报的证券组成的组合证券才可以完全用均值方差表示。而本例的两证券回报分布是矩形分布，所以用均值方差分析得出了错误的结论。
Markowitz 组合证券投资理论的思想和定量分析方法是现代证券投资理论的一个里程碑。他的组合投资思想被投资者广泛接受，但他的定量模型由于假设的严格和计算的复杂性在实际应用中受到限制。
4 均值－下方风险选择理论（Asset Allocation in aDown-side Risk Framework）
虽然下方风险（down-side risk）的概念的提出比现代证券组合理论还早，但是关于它的评估理论到最近才得到发展。Harlow（1991）认为既然用方差作为风险评估来进行风险证券的投资选择有时失效，就必须寻求更适合的风险定义和评估方法。在实际中低于某一基准回报的亏损概率和预期的损失量是组合证券投资者所关心的，与证券回报的方差相比，组合证券投资者更关心下方风险。半方差和下方风险方差一致，是投资者关心的比目标回报低的投资损失的测量，而且是理论上最完美的方法。半方差不随证券回报增长潜力的增加而增加，向上增长的潜力用证券回报分布的均值表示。
下方风险测量涉及低于目标回报所有可能的回报，这种风险测量称为低位部分距（lower partial moments，简作LPMs）， 只有回报分布中低于目标回报的部分列入LPMs的计算中。
对证券回报分布是离散的情形，Harlow（1991）将LPMs定义为：
τ
LPM[,n]＝∑ q[,j]（τ－Z[,j]）[n] （6）
x[,j]＝-∞
式中τ是投资者的目标回报，q[,j]是证券回报为Z[,j]时的概率。n 由效用函数的类型所决定。LPM[,0]适合财富边际效用为正的投资者（U′＞0），而LPM适合风险避免型的投资者，（U′＞0，U″＜0），LPM[,2]适合具有偏斜偏好（skewness preference）的所有风险避免型的投资者（U′＞0，U″＜0，U
＞0）。LPM[,2]与方差类似， 称为目标半方差。
用LPM[,n]测量风险具有明显的优点。首先，风险的LPM测量不需要均值方差方法所作的严格假设，只需要投资者效用函数的某些假设（风险避免，偏斜偏好）；第二，现有许多风险测量方法是它的特例。 当n＝0和τ＝0时，LPM[,0]只是简单的损失概率；对于n＝2 和目标回报等于回报分布均值的情形，LPM[,2]是半方差， 用它作为风险测量等价于方差测量。
风险避免型投资者用LPM[,n] 作为风险测量所进行的证券选择模型为：
τ
min LPM[,n]＝∑ q[,j]（τ－Z[,j]）[n]（7a）
n＝1,2
┌∑x[,i]E（Z[,ij]）＝Z[,j]
s.t.│∑x[,i]＝1 x[,i]＞0 没有卖空
（7b）
└或∑x[,i]＝1 存在卖空
式中，x[,i]是证券i的投资份额，X＝（x[,1]，x[,2]，…，x[,m]）[τ]，q[,i]是组合证券回报Z[,j]的概率。
上述最优化模型包含回报的整个分布。虽然高于目标回报的分布与风险无关，但与分布的均值有关。因此，LPM[,n] 相同而均值不同的两个分布是不同的，在这种情况下，具有较高均值的分布具有较大正偏差。
均值-LPM[,n]分析表明，随着目标回报的提高，均值-LPM[,1]和均值-LPM[,2]有效集右移。这是因为更多的均值分布位于目标回报下方，增加了风险量，同时风险资产（如股票）投资份额随之增加。
对于相同的目标回报和回报均值，用LPM[,1] 所要求的风险投资要高于用LPM[,2]所要求的风险投资。 这进一步说明了风险测量对证券投资选择的重要性。例如，只要把风险目标从目标亏损量变为目标标准差，就会引起证券投资组合的较大变化。
从均值方差有效边界和均值-LPM[,2]有效边界的比较来看，均值方差有效边界位于均值-LPM[,2]有效边界的下方，因此，对相同的期望收益，均值-LPM[,2]组合证券更有效，能提供更多的保护。如果回报是正态分布，则两个有效边界是一致的。可见，风险的方差测量没有考虑相对于目标回报的不对称性。与均值方差证券选择相比，均值-LPM[,2]证券选择要求较少的风险证券投资份额。
总之，用LPM[,n]方法进行投资选择能降低风险，改善预期回报。
5 基于下方概率的风险金模型
所谓下方概率（downside probability）是指所能忍受的低于预期无风险证券回报的风险证券回报最大概率。在给定的可忍受的下方概率下，投资者所要求的高于无风险证券回报的超额回报，称为下方概率补偿风险金。
Yamaguchi（1994 ）提出的这种基于下方概率的风险金测算模型为：
式中y是给定回报低于Z[,0]的下方概率的标准正态变量，σ[,n]是风险证券总体回报的标准差，N是年份。
上式风险金实际上是风险价格y和风险量（年标准差）的乘积。
投资者在给定的预期无风险收益下，根据接受的下方概率来选择证券。在总体市场上应有一个所有投资者所要求的风险金，并代表了一种市场均衡。
风险证券回报的易变性和下方概率对单个投资者和整个市场风险金的影响是：
给定无风险回报，个体风险金和市场风险金随风险证券回报易变性的增加而增加，随可接受的下方概率的减少而增加。
在宏观情况下，风险金由无风险收益和股票红利的动态调整来决定。当投资者的风险偏好（下方概率）不变，较高的易变性使投资者出售股票，购买无风险证券。结果对无风险证券的需求增加，其收益下降，或股票价格下跌，股票收益上升。这种调整直到市场风险金在较低的无风险证券收益或较高的股票收益的新水平上达成新的平衡。
不同投资者的风险偏好不同，其下方概率也不同，较低可接受下方概率导致较高的风险金。当股票回报波动水平一定时，若投资者对下方概率的要求较低时（容忍较低的下方概率），所要求的风险金较高。
从整个市场来看， 若投资者对待风险的态度变得保守， 他们会减少可接受的下方概率，共同将资金由股票转向无风险证券，则股票回报增加，无风险证券回报减少，使股票市场风险金上升到一个较高的水平，使市场达到新的平衡。虽然在微观上无风险证券（如国债）收益是一个给定的参数，但宏观上这是可变的，股票期望收益和国债期望收益不断地评估和调整，当两种预期回报处于平衡时，必然存在一个被市场所有投资者所接受的下方概率。
基于下方概率的风险金模型可以较好地解释利率和宏观经济形势对证券市场价格的影响。如利率提高，国债收益增加，投资者变得保守，股票投资回报的下方概率下降，所要求的股票投资风险金上升，股票预期收益上升，股票价格下降。然而，下方概率的实际测量却不容易。
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