排列组合应用题解法研究，本文主要内容关键词为：应用题论文,解法论文,排列组合论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1.特征分析法
所谓特征分析法，就是以事物的本质属性为突破口，寻找解题思路的方法，当问题比较复杂时，还要注意分类和分步。
例1 由1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字可以组成多少个数字不重复并且是6的倍数的七位数？
解 一个数是6的倍数，它既是2的倍数，又是3的倍数， 一个数是2的倍数必须满足：个位数是偶数；一个数是3的倍数必须满足：各位数字之和是3的倍数。因为1＋2＋4＋5＋6＋7＋8＝33，1＋2＋3＋4＋5＋7＋8＝30，这个七位数可分以下两类：
第一类：选取1、2、4、5、6、7、8组成的七位数， 先考虑个位数从2、4、6、8中选取，再将其余六个数做全排列，则共有排法：
。
第二类：选取1、2、3、4、5、7、8组成的七位数， 先考虑个位数从2、4、8中选取，再将其余六个数做全排列，则共有排法：
。因此，满足题意要求的七位数共有：
2.基本原理法
一些简单的排列组合应用题，可直接运用加法原理和乘法原理获得解答。
例2 有4名学生参加三项竞赛，设每项都没有并列冠军，问有多少种获得冠军的可能情况？
解 本题从每个冠军被争取的情形进行分步讨论。第一步，第一项冠军被4名学生争取，它一定被其中一名且只能是一名学生争取， 共有4种不同的获奖情况；第二步、第三步，其余两项冠军分别被4名学生争取，各有4种不同情况。根据乘法原理可各，共有4×4×4＝64（种）获得冠军的可能情况。
3.组合数法
有些排列组合应用题，因所取元素与顺序无关，可直接运用组合数公式分步完成。
例3 （1998年全国高考题）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）。
A.90种
B.180种
C.270种
D.540种
解 3名医生分别被分配到3所学校的分配方法为：
4.捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的排列组合应用问题，可采用捆绑法，即把这几个元素看成一个元素（把这几个元素捆绑起来），再与其余元素一起先排列，同时注意捆绑成的元素内部也可作排列。
例4 （1996年全国高考题）有6名学生排成一排，甲、乙两个必须排在一起的不同排法有（ ）。
A.720种
B.360种
C.240种
D.120种
解 本题中甲、乙两人必须排在一起，可先将甲、乙两人看作一个元素，与其余4人看作5个元素进行全排列，然后考虑甲、乙两人还有顺序问题。所以不同的排法总数共有：A[5][,5]·A[2][,2]＝240（种）。故选C。
5.插入法
某两个或两个以上元素要求不相邻的排列组合应用题，可采用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入已经排好的元素之间。
例5 晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求3个舞蹈节目彼此分开排列，问一共可排出多少种不同的节目单？
解 本题要求3个舞蹈节目彼此分开排列，可采用插入法，先将5个不同的歌唱节目进行全排列，有A[5][,5]（种）不同的排法； 然后将3个舞蹈节目分别插入5个不同的歌唱节目之间（既可插在最前面， 也可插在最后面），有A[3][,6]（种）不同的插法。因此，一共可排出A[5][,5]·A[3][,6]＝14400（种）不同的节目单。
6.概率法
有些排列组合应用题，限制条件的肯定和否定是有一定比例的，这时解题可采用概率法。
例6 （1990年全国高考题）A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）。
A.24种
B.60种
C.90种
D.120种
解 先不考虑限制条件，A、B、C、D、E 五人并排站成一排的排列数为A[5][,5]（种），而限制条件B站在A的右边的概率与A站在B的右边的概率是相等的，因此，B必须站在A的右边的不同的排法共有：（1／2）A[5][,5]＝60（种）。故选B。
7.排除法
有些排列组合应用题，正面求解比较困难，但反面却比较简单，可以采用先求出反面情况，再从整体中排除的方法。
例7 （1997年全国高考题）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A.150种
B.147种
C.144种
D.141种
解 从10个点中任取4个点有C[4][,10]种取法，其中4 点共面的情况有三类。第一类：取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4C[4][,6]种；第二类：取任一棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4个点共面，有6种； 第三类：由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况均不符合要求，应减去，所以不同的取法共有：C[4][,10]－4C[4][,6]－6－3＝141（种）。故选D。
8.优先法
有些排列组合应用题，某些元素或某些位置有特殊的作用，解题时必须对这些特殊元素或特殊位置优先考虑。
例8 （2002年京（春）高考题）从6名志愿者中选出4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）。
A.280种
B.240种
C.180种
D.96种
解 方法1 元素优先分析法（以志愿者为主）
本题中甲、乙两名志愿者，是两个特殊元素，必须优先考虑。下面以是否取到甲、乙两名志愿者分类讨论。
第一类：甲、乙两人都被选取，但由于甲、乙两人都不能从事翻译工作，只能从事其它三项工作，这时选派方案为：A[2][,3]·C[2][,4]·A[2][,2]（种）；
第二类：甲被选取但乙没有被选取，这时选派方案为：A[1][,3]·C[3][,4]·A[3][,3]（种）；
第三类：乙被选取但甲没有被选取，这时选派方案为：A[1][,3]·C[3][,4]·A[3][,3]（种）；
第四类：甲、乙都没有被选取，这时选派方案为：A[4][,4]（种）。
因此，选派方案共有：A[2][,3]·C[2][,4]·A[2][,2]＋A[1][,3]·C[3][,4]·A[3][,3]＋A[1][,3]·C[3][,4]·A[3][,3]＋A[4][,4]＝240（种）。故选B。
方法2 位置优先分析法（以工作为主）
本题中将四种不同工作看作四个不同位置，从6人中选取4人来坐这四个不同的“位置”，但因甲、乙两人不能从事翻译工作，因此“翻译”这个位置只能从其它四人中选取一人来坐，因此，选派方案共有：C[1][,4]·A[3][,5]＝240（种）。故选B。
9.二分法
有些排列组合应用题，对于某个元素存在“取与不取”，“含与不含”的可能，在解题时，将问题划分为两个互相的对立的事件来考虑，这就是二分法。
例9 从1、3、5、7、9这五个数字中任取两个，从2、4、6、8、 0这五个数字中任取三个，可以组成多少个没有重复数字的五位数？
解 本题的解题难点是数字“0”，故可采用二分法， 将问题分解为“取0”和“不取0”两类。
第一类：取0，有C[2][,5].C[2][,4]（种）不同取法，每一种取法组成A[1][,4]·A[4][,4]（个）没有重复数字的五位数。这时组成C[2][,5]·C[2][,4]·A[1][,4]·A[4][,4] （个）没有重复数字的五位数。
第二类：不取0，有C[2][,5]·C[3][,4]（种）不同取法， 每一种取法可组成A[5][,5]（个）没有重复数字的五位数。这时可组成C[5][,3]·C[3][,4]·A[5][,5]（个）没有重复数字的五位数。
因此，满足题意的五位数共有
C[2][,5]·C[2][,4]·A[1][,4]·A[4][,4]＋C[2][,5]·C[3][,4]·A[5][,5]＝10560（个）。
10.构造模型法
有些排列组合应用题，直接求解比较困难，可以采用构造数学模型的办法来解决。
例10 某校准备组建一支18人的足球队，这18人由高二年级的12个班级中的学生组成，每个班级至少挑选1名学生参加， 问有多少种不同的名额分配方案？
解 本题采用构造模型法。现有18枚相同棋子要求分成12组，每组至少1枚，先将这18枚棋子排成一列，在相邻的两枚棋子形成的17 个间隙中选取11个插入隔板，将这18枚棋子分隔成12个区间，第i（1≤i≤12）个区间的棋子数对应第i个班级学生的分配名额，因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相同。而隔板插入数为C[11][,17]，故满足题意的不同的名额分配方案有：C[11][,17]＝12376（种）。
11.先分组后排列法
有些排列组合应用题，需要考虑“先分组，后排列”，分两步完成。
例11 （1995年全国高考题）四个不同的小球放入编号1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_____种（用数字回答）。
解 先将4个球分成3组，每组至少1个，只要将4个球中的两个并成一组，共有C[2][,4]种方法，再将3组球放入4个盒子中，每个盒子最多放一组，不同的放法有A[3][,4]种。则恰有一个空盒的放法共有：
C[2][,4]·A[3][,4]＝144（种）。
12.先组合后排列法
有些比较复杂的排列组合应用问题，需要考虑“先组合、后排列”分两步完成。
例12 某校在举行庆祝元旦文艺晚会时，学生准备了10个节目，只能演出7个，教师准备了5个节目，只能演出3个， 要求教师节目不排头，不排尾，也不连排，问有多少种不同的安排顺序？
解 本题采用“先组合， 后排列”的解题方法， 先在学生准备的10个中选取7个，在教师准备的5个中选取3个，共有C[7][,10]·C[3][,5]（种）不同的取法；然后将学生的7个先全排列，教师的3个插入学生的7个之间（不插第一，也不插最后），有A[7][,7]·A[3][,6] （种）不同的排法。因此，满足题意要求的不同的安排顺序共有
C[7][,1]0·C[3][,5]·A[7][,7]·A[3][,6]＝725760000（种）。
13.等价命题法
对于某些比较复杂、抽象，初看难以入手的排列组合应用题，可采取等价命题法，即利用等价转换的思想，将其化归为比较简单、具体的问题来求解。
例13 已知圆上有12个点，每两点连一线段，求所有线段在圆内最多有几个交点。
解 任取4点顺次记为A、B、C、D，设线段AC、BD 在圆内交于一点，连AB、BC、CD、DA，得到一个四边形ABCD，于是问题转化为12个点可以组成多少个四边形。因此，所有线段在圆内最多有交点：
C[4][,12]＝495（个）。
14 列式法
有些排列组合应用题，无法直接用排列数或组合数公式求解，需先由题意列方程或不等式来解。
例14 （1999年全国高考题）某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不同的选购方式有（ ）。
A.5种
B.6种
C.7种
D.8种
解 设需要购买软件x片，磁盘y盒。根据题意，列出不等式：
综上所述，满足不等式：60x＋70y≤500，其中x≥3，y≥2 的正整数解共有7组，故选C。
15.分组分配法
分组分配问题是一种比较常见的排列组合应用题，这类问题主要包括平均分组分配问题，不平均分组分配问题和混合分组分配问题三类情况。
例15 有8人按下列要求分组，问各有多少种分配方法：
（1）分成人数为4，4的两组；
（2）分成人数为3，5的两组；
（3）分成人数为3，3，2的三组去参加植树、扫地和浇水劳动。
解 （1）不同的分配方法有：
C[4][,8]·C[4][,4]／A[2][,2]＝35（种）；
（2）不同的分配方法有：C[3][,8]·C[5][,5]＝56（种）；
（3）不同的分配方法有：
（C[3][,8]·C[3][,5]·C[2][,2]／A[2][,2]）·A[3][,3]＝1680（种）。
16.穷举法
例16 （1993年全国高考题）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）。
A.6种
B.9种
C.11种
D.23种
解 对4人分别编1，2，3，4四个号，对四张贺年卡也编上1，2，3，4四个号，那么1，2，3，4四个数字填入1，2，3，4四个方格的一种填法就对应贺年卡的一种分配方式。本题用排列数或组合数公式考虑比较复杂，不容易求解。但由于本题数目4比较小， 可用穷举法进行具体填写，得：
四张贺年卡不同的分配方式有9种，故选B。