直观色彩的抽象：小学数学教学的重要途径，本文主要内容关键词为：直观论文,抽象论文,重要途径论文,色彩论文,小学数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
不久前，网络上流传着一段“母亲帮女儿背诵‘5的乘法口诀’”的视频.视频中家长粗暴的声音，孩子流泪的小脸，在我心中挥之不去.作为一名小学生家长、数学教师、教学研究人员，我知道这不是个案，它值得我们每一位教育工作者好好地研究和反思.
（视频开始：小女孩红着眼圈在背“5的乘法口诀”.）
女 一五得五、二五一十、三五四十五.
母 （强作耐心地引导）十下来是几？
女 十下来是五.
母 五、十……三五一十五，记住！
（借助母亲说前半句，女儿答后半句的方式，母女俩“成功”地回忆出了剩下的口诀：三五——十五、四五——二十、五五——二十五、五六——三十.）
母 好，再来一遍！
女 一五得五、二五一十、三五三十五.
母 （有些生气）谁教你三十五的，为什么张口就来着？
女 你老是让我说这句话……
母 （抢）那记不住咋办啊！（愤怒地）三五一十五！
（一旁的父亲忍不住插话：记住！记住！三五一十五！）
女 三五一十五.
母 从头来！
女 一五得五、二五一十、三五……三五……（大哭）我永远也记不住这三五，这三五太难了，太难了，一点也不简单……
母 （大声强调）三五一十五！
女 （弱弱地）三五一十五.
母 三五一十五多背它几遍.
（女儿重复10遍后，母女采用问前半句、答后半句的方式成功回忆出5的所有乘法口诀：一五——得五、二五——一十……）
母 好！再从头说一遍.
女 一五得五、二五一十、三五三十五.
母 （有些不耐烦）从头背！
女 一五得五、二五一十.
母 （不由自主地帮忙）三五……
女 三五（咳嗽、哭）……
母 三五一十五，再背十遍.
（女儿重复10遍后，母亲让她从头背.）
女 一五得五、二五一十、三五三十五，（改口）三五十五……
（母亲说前半句，女儿接后半句：四五——二十、五五——二十五、五六——三十.终于成功了！母亲决定趁热打铁，用“前半句+后半句”的方式让女儿再来一遍：一五——得五、二五——一十、三五——三十五.）
母 （面对反复出现的同一错误，有些黔驴技穷）三五一十五再背10遍！
女 三五一十五、三五一十五、三五三十五.
母 错了，重来！
（女儿将“三五一十五”重复若干遍后，母亲让女儿从头开始背.）
女 一五得五、二五一十、三五三十五，（改口）三五一十五、四五二十、五五……五五……呜……你老是让我背这句三五，我已经将其他都忘了，太难了……
看完视频，我不由陷入思考：是什么原因让孩子觉得“三五十五”真的太难了？年龄太小？问题太难？还是大脑有点小问题？我上小学二年级的儿子否定了我的几个猜想，理由是：视频中小女孩除了“三五十五”回忆困难外，其余的“一五得五”、“二五一十”等都没有问题.这说明小女孩大脑好使，记住“三五十五”，对她来说不应该是很难的事情.
鞋子穿在脚上合适不合适，穿鞋的人最知道.孩子的问题出在哪儿，孩子最能够理解.受儿子的启发，我豁然开朗，其实小女孩总是将口诀背成“三五十五”，问题就是出在那个教师、家长都知道，却一直没能找到出路的“老面孔”——死记硬背上.同时，也可能因为记忆中的干扰导致学生记住了后面几句5的口诀，而忘记了“三五十五”.
实录开头，在孩子把口诀错背为“三五四十五”后，母亲是想耐下心来尝试引导孩子的，她问：“十下来是几？”当女儿回答：“十下来是五”后，母亲感觉方法不管用，又没有其他的方法，于是在后面孩子反复出现“三五三十五”这个错误时，采用得更多的是“记住”、“重来”、“多背它几遍”等机械重复的记忆形式.
机械重复产生记忆，其心理学原理是“纯刺激反应”.而“纯刺激反应”产生的记忆，其致命弱点是：对误记的“免疫”功能缺失——孩子记忆中一旦存入了“三五三十五”这个信息，那么即便后来她的大脑中重新“存”入了正确信息“三五十五”，原来的印记依旧存在.在后面回忆、调用时，伴随刺激“三五”会随机“反应”出“三十五”和“一十五”两种可能.如此时还存在紧张、疲劳等其他因素，又会繁衍出“五五得五”等新的错误，存入新的信号源.
机械记忆对误记免疫功能的缺失，一方面容易让学生掉进对错随“机”不随“己”的泥塘，使得学生对“刺激反应”出的答案无法辨别、不能自救；另一方面，又使得学生对自己的错误找不到原因，自欺欺人地将错误归因为所谓的“粗心”，导致错误无法得到彻底的解决.于是，在屡屡受挫后产生了“习得性无助”.他们越“恐惧错误”，越想人为地“屏蔽错误”，错误越是黏黏糊糊、反反复复.“一错再错”，轻则让他们产生学习的心理阴影，重则导致学习的心理障碍.想想视频中小女孩那两句话“三五……三五……（大哭）我永远也记不住这三五，这三五太难了，太难了，一点也不简单……”“你老是让我背这句三五，我已经将其他都忘了，太难了……”给我留下的除了直觉上的揪心，还有理性的担心.因为这种在理念上人人批判的现象，在现实中已经屡见不鲜得让人麻木不仁；因为这种心口不一的“闹剧”，时不时地就在我们身边甚至我们自己身上上演.为人父母，我们为之困惑、苦恼、烦躁，却无可奈何.
蔡宏圣先生认为，“如果数学不深入到直观层面，学生学习数学便在死记硬背”.李士锜先生认为，“在定义与图形这两者中，（学生）他们更倾向于利用一些图形作为代表，并用它们表示概念”.现代认知心理学认为，长时记忆中的信息不能提取，原因在于孩子在储存信息时没有进行适当的编码，或者在回忆时失去了有助于回忆的编码线索.
笔者以为，在学生学习“5的乘法口诀”时，应该经历直观的、形成口诀的过程，让他们在习得的知识遗忘之后，能够凭借过程中的一些画面恢复、生长出来，学到“带得走”的知识.
对此，我设计了如下三个环节：
1.此情此景的“活动”创设
课前让学生每人准备一把黄豆.课上让学生动手操作，在摆一摆、数一数等活动中，尝试创造、“数”出关于5的所有乘法口诀.
2.直观形象的“图式”编码
在学生自己创造、“数”出关于5的所有乘法口诀，并稍稍熟悉后，出示手掌图.让学生结合手掌图，五个五个地“算”5的所有乘法口诀.
接下来，用“拳头”代替“手掌”，让学生看着“拳头图”想象手掌的样子，进一步抽象，“想象”出5的乘法口诀.
3.融会贯通的“结构”编织
最后，将5的乘法口诀放进抽象的数表之中.让学生看着表格，想着手掌图、拳头图，记忆5的乘法口诀.
“教学要从直观开始，以抽象结束.”（斯宾塞语）上文设计的三个环节，由“借助蚕豆一个一个地创造‘数’出5的乘法口诀”，到“借助手掌图五个五个地‘算’出口诀”，再到“借助看不到手指的拳头‘想象’5的乘法口诀”，最后到“看着表格，想着手掌图、拳头图，‘记忆’5的乘法口诀”，经历了四个直观的过程.可以想象，学生在经过了由“数出口诀”，到“算出口诀”，再到“联想口诀”等一系列直观可感、由低级到高级、有过程的学习，即使后来将5的乘法口诀忘记了，他们也一定能够借助大脑中蚕豆、手掌、拳头或表格等图像，将5的乘法口诀独立“再生”出来.这就是我们所说的“带得走的、能生长”的知识.
应该说，上述四个过程的“直观”和我后来看到的孔凡哲、史宁中教授所说的几何直观的四个表现形式“实物直观”、“替代物直观”、“图式直观”和“简约符号直观”似有巧合.
顺便提及的是，本文强调借助“直观”对数学知识进行抽象建构，并不意味着轻视练习和记忆的作用.相反，对乘法口诀这一内容，我们十分强调直观理解的基础上的、适当的练习和记忆.
我在发表于《中小学数学》（小学版）2012年第4期的《重视操作之后的理性思辨和抽象概括》一文中，试图借助“直观的抽象”一词概括我小学数学教学的主张之一.后来，因有人提出这种说法有玩文字游戏的嫌疑，暂作放弃.再后来，我发现将两个对立词放在一起组成一个新词并不是我的发明.如，被称为“中国最后一个士大夫”的现当代著名小说家、散文家、京派小说的传人的汪曾祺先生在其散文《自报家门》中写道：“我的小说似乎不讲究结构，我在一篇谈小说的短文中说结构的原则是：随便.一位年龄略低于我的，每谈小说必谈结构重要的作家质疑：‘我讲了一辈子结构，汪先生为什么却总是说：随便！’后来，我在‘随便’的前面加了一个词，变成‘苦心经营的随便’.他同意了我的观点.”
将“苦心经营”和“随便”放在一起，我想没有人怀疑汪老在玩文字游戏.和汪老一样，将“直观”与“抽象”放在一起，是我反复考量、深思熟虑后的结果.为了找一个简短、易记的词语来概括我对小学数学教学的认识，我查阅了很多资料，最终觉得“直观色彩的抽象”能完整且恰如其分地反映我想表达的这样几层意思：
第一，对于学习的对象而言，数学是对客观世界抽象概括的产物，数学的本质是“抽象”的.正如弗赖登塔尔所说：“学生的数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是学习‘数学化’，学习如何去抽象、概括、推理、建模.”
第二，对于学习的主体——小学生而言，他们的思维在很大程度上，与直接的、感性的经验相联系，具有很大成分的直观性.因此他们“抽象数学知识”的形成过程必须建立在大量的事、物和丰富的直观感受基础之上，是一种“直观”地进行抽象的过程.
第三，鉴于小学生的理解能力和思维特征，即便是建立在直观基础上所形成的抽象的数学知识，也应该尽量用小学生能够理解的，直观、可感的形式来表达，是一种带有直观色彩的抽象.
此外，直观色彩的抽象不仅体现在知识形成的过程和结果中，还反映在知识的应用全过程中.学生在运用经由“直观”得出的“抽象”结论时，并不只是在简单地重复结论、套用公式.他们在从记忆中“调”出抽象结论的同时，大脑中还应伴随着当初得出这个结论时的“直观的过程”——这种直观的过程在最初进行尝试应用的时候，一般是有意识的、外显的行为.随着应用的增多，以及学生对结论的逐步熟悉，这种伴随着结论的直观过程就会逐渐地向无意识、内隐过渡，直至最后达到自动化或半自动化的程度——这时候，运用者虽然没有有意识地去思考当初得出这个结论时的“直观的过程”，但只要需要回答，他们随时都能清晰、明确地表达结论产生的过程或依据.
“直观色彩的抽象”分别从小学生学习规律的角度，对数学学习（数学化的、抽象的过程）和数学知识（包括符号、概念、定理等抽象的结论）提出了“直观”这个统一的要求.如果我们将数学学习数学化、抽象化这一过程和数学结论表达的抽象性统括为“抽象”，那么就可以用“直观色彩的抽象”统整上文中指向于过程的“抽象”和指向于结论的“抽象”.
可见，统整后的“直观色彩的抽象”既强调学生提炼、归纳、形成数学知识的过程要在大量、直观事物感知的基础上，也强调抽象的数学结论要用直观、可感的形式来表达.“直观色彩的抽象”是指向于数学知识形成过程和结果的统一，是小学生学习、理解、运用“抽象的数学”的内在需求，是小学生数学学习的重要途径.