运动带电粒子临界量的查找与解析，本文主要内容关键词为：临界论文,粒子论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
回眸历年高考，带电粒子运动的临界问题颇受“青睐”。带电粒子的运动纷繁复杂，使不少考生束手无策。笔者认为：只要抓住潜在的临界量，就定能“柳暗花明”左右逢源。
一、带电粒子飞出电场存在临界电压
例1 如图1所示，质量为m的带电微粒以速度v从水平放置的平行金属板A、B的中央飞入板间。已知板长为L，板间距离为d，当电压为U时，带电粒子恰好沿直线穿过板间，则A、B间所加电压在什么范围内，带电粒子偏离直线从板间飞出？
解析 当带电粒子沿直线穿过板间时，其受力平衡而作匀速直线运动，当其偏离直线时，带电粒子将作类似平抛运动。即有朝上偏飞出与朝下偏出两种情况。朝上偏飞出时带电粒子的加速度朝上，即
朝下偏飞出时，带电粒子的加速度朝下，即
例2 A、B表示真空中相距为d的平行金属板，长为L，加上电压后，其间电场可认为是匀强电场，在t=0时，将图2中的方形波的交变电压加在AB土，U[,A]=U[,0],U[,B]=0，此时恰有一带电微粒沿两板中央飞入电场，如图2所示。微粒质量为m，带电量为q，速度大小为v，离开电场时恰能平行于金属板飞出，求所加交变电压U[,0]的取值范围（重力不计）。
解析 若要微粒恰能平行金属板飞出，就要使微粒在离开金属板的瞬间只有平行于金属板的速度。微粒进入电场后，参与两方向的运动，水平方向匀速直线，竖直方向（沿电场方向）每个周期内的前半周加速，后半周减速。由对称性可知，当t=nT时，微粒仅有平行于金属板的入射速度v。于是应满足 t=nT(n=1,2…) ①
解析 (1)由题意可知，电子重力不计，由于电子穿过平行极板的时间
小得多，因而在电子穿过平行极板时间内，电场可近似为恒定电场。这样电子将作类似平抛运动，即满足侧向位移。
S=d/2（电子刚好不能通过的临界条件） ①
小结 这类问题涉及一个共同特性，即带电粒子能否飞出电场，关键是存在临界电压。而求解临界电压是根据粒子的侧向位移（在场强方向上或其反方向上的位移）存在临界值。
二、带电粒子飞出磁场存在临界速度或临界磁感应强度
例4 如图4所示，存在一宽为d，方向垂直纸面向里的匀强磁场B，一带电量为+q，质量为m的粒子按图示方向入射，求要使粒子飞出磁场边界CD所存在的速度范围？（不计重力）。
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，要使粒子飞出磁场边界CD，必须找到粒子作圆周运动且相切于边界对应的半径r[,0]，如图4所示，于是有
例5 如图5所示，长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，但大小不定，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点垂直磁力线以确定的速度v[,0]水平射入磁场，欲使粒子不打在极板而飞出，则磁感应强度B的取值范围如何？
解析 在磁场中，粒子做匀速圆周运动，要使粒子飞出磁场必须找出粒子沿界飞出时对应的半径，如图5示，显然粒子做圆运动从极板a端飞出磁场有最小半径r[,2]，从入射端飞出有最大半径r[,1]。由公式：
例6 质量为m，电量为q的正离子以速度从A点正对着圆心进入半径为R的金属圆筒中，筒内有一匀强磁场，方向垂直纸面向里，欲使该离子与圆筒壁发生多次碰撞且经一圈仍能从A点射
出，求磁感应强度至少为多少？（假设碰撞时无电荷迁移，无能量损失，不计重力）。
解析 离子进入磁场后受洛仑兹力作用发生偏转，当与筒壁碰撞时产生弹性碰撞，入射速度与反弹速度遵从光的反射定律，且按照对称性的轨迹一直碰撞下去，直到从A点射出。设离子与筒壁碰撞n次，每次碰撞后运动的轨迹都相同，均作半径为r的匀速圆周运动，设每相邻两次碰撞所对应的圆心角为θ，离子经一圈碰撞n次后出射于A点，见图6示，则有
例7 如图7(a)所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板（间距为d）两板中央各有一个小孔O、O′正对。在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间变化如图7(b)所示，有一群正离子从t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m，带电量为q，离子在磁场中作匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T[,0]，不考虑由于磁场变化而产生的电场影响，不计离子重力，要使离子从O′垂直于N板射出磁场，离子射入磁场时的速度至少多大？
解析 假设垂直纸面向外的磁场为正（不失一般性），离子在磁场中作匀速圆周运动时每次半径相同设为R，则离子须经4n个1/4圆周方可从O′点射出磁场，由几何关系得
小结，这类问题涉及一个共同特性，即带电粒子能否飞出磁场，关键是存在临界速度（已知B求υ）或临界磁感应强度（已知υ求B）。而求解临界速度或临界磁感应强度都是根据粒子作圆周运动的半径存在临界值。
三、带电粒子穿过电场，飞出磁场存在临界时刻
例8 如图8(a)所示，两竖直放置的平行金属板C、D相距很近，中央开有小孔OO′，水平放置的平行金属导轨与C、D接触良好，且导轨在磁感应强度B[,1]=10T的匀强磁场中，导轨间距L=0.5m，金属棒AB紧贴着导轨沿平行导轨方向在磁场中作往复运动，其运动的速度图象如图8(b)所示，若定向右运动速度为正，t=0时刻开始，从C板的小孔O处连续不断以垂直C板方向飘入质量M=3.2×10[-21]kg，电量q=1.6×10[-19]的带正电粒子，（假设飘入速度很小很小可视为零），在D板外侧有以MN为边界的匀强磁场B[,2]=10T，MN与D板相距d=10cm，B[,1]、B[,2]方向如图所示，则在0到4s时间内，哪些时刻发射的粒子能够穿过电场，飞出磁场边界MN？粒子从边界出来的位置之间最大距离为多少？（粒子重力与其相互作用不计）。
解析 粒子进入磁场之后做匀速圆周运动，要使粒子飞出边界MN，则须满足
R＞d（临界条件）①
而粒子在磁场B[,2]中有
由于粒子穿过CD的速率很大，而CD间距又很近，故可认为粒子穿过CD是瞬间发生的，且在0～2秒内，CD间电场对粒子加速，2秒～4秒内，C、D间电场对粒子减速，故在0～2秒内的某一段时间内粒子进入B[,2]的初动能大于25eV可从边界飞出，由图8(c)可知，存在飞出的临界加速电压，U[,CD]＞25V，可见从时刻(1/4)～(7/4)S之间飘入的粒子能从边界MN飞出。
小结 这类问题涉及带电粒子能否穿过电场飞出磁场，关键是存在临界时刻，而求解临界时刻是根据粒子做圆周运动的半径存在临界值以及粒子穿过电场的加速电压存在临界值。
四、带电粒子在竖直平面内做圆周运动存在临界速度
例9 如图9所示，在竖直平面内有一场强为E=10[4]N/C的水平匀强电场，一质量为m=0.04kg，带电量为e=3×10[5]C的小球，用长l=0.4m细绳拴住悬于电场中O点，当小球平衡时，问在平衡位置以多大的速度释放小球，刚能使之在电场中作竖直平面内的圆周运动？
解析 小球受重力mg、电场力Eq，线的拉T之力作用，简化处理，将电场等效为重力场，则小球在等效合重力场中所受重力为mg′，见图示，故有
不难分析，小球在A点处于平衡状态，若设小球在A点的速度V[,A]被释放，绕O点在竖直平面内作圆周运动。显然小球若能通过AO的延长线上的B点（为等效最高点），就能做圆周运动。在B点：
例10 如图10所示，在水平方向与纸面垂直的足够大的匀强磁场中有一足够长的匚型金属框架abcd以v[,1]=2m/s的速度向左做切割磁感线运动并在框架abcd上下两金属板间产生一匀强电场。有一带电油滴以水平速度v[,2]从p点向右射入框架中，ap=0.2m，结果油滴恰好在框架内做匀速圆周运动，（取g=10m/s[2]），求：为使油滴不离开电场，能够在框架中完整做圆周运动一周，油滴速度v[,2]应满足什么条件？
解析 框架因bc切割磁感线产生感应电动势，即上正下负，于是板间电压
U=BL[,bc]v[,1] ①
板间场强 E=U/L[,bc]②
当油滴做匀速圆周运动有 mg=qE③
不难判知粒子带负电，要使之在框架中做完整的圆周运动一周必须同时满足两点。一是油滴不与框架上壁相碰，即有
小结 这类问题涉及带电粒子在竖直平面内能否做圆周运动，关键是存在临界速度。而求解临界速度是根据粒子的圆周运动的“等效”最高点，绳的拉力或其它物的弹力存在临界值为零，甚至于圆周运动的半径存在临界值。
五、带电粒子“飘起”存在临界速度
例11 在相互垂直的匀强磁场和匀强电场中，有一倾角为θ，足够长的光滑绝缘斜面。磁感应强度为B，方向水平向外，电场方向竖直向上，有一质量为m，带电量为+q的小球静止在斜面顶端，这时小球对斜面的正压力恰好为零，如图11所示，若迅速把电场方向变成竖直向下，则小球从斜面上“飘起”的最小速度为多大？
解析 依题意可知重力与电场力大小相等即
mg=Eq①
当电场迅速反向时，小球受重力、电场力、弹力而使小球开始起动沿斜面运动，从而又受洛仑兹力作用，在斜面上作匀加速运动，于是速度不断增大，斜面作用的弹力不断减小。当N=0时，小球即将“飘起”，此时速度为飘起最小速度设为υ即
N+f-(Eq+mg)cosθ=0②
N=0 （临界条件） ③
f=qvB ④
解①②③④得 v=(2mgcosθ)/qB
小结 这类问题涉及带电粒子在支承物上是否能“飘起”。关键是存在临界速度。求临界速度是根据粒子在支承物上所受的弹力存在临界值为零。
六、带电粒子在一定制约条件下的运动存在临界磁场面积或临界频率
例12 如图12所示，在xOy平面内，有许多电子（质量为m，电量为e）从坐标原点O不断地以相同大小的速度v[,0]沿不同的方向射入第I象限，现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过该磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，试求出符合该条件的磁场的最小面积。
解析 电子在磁场作用后都要平行于x轴向x轴正方向运动，由左手定则判知应加一个重直于xOy平面向里的B，设有一个电子以速度v[,0]，方向与x轴成角θ飞入，见图12所示，当其水平飞出磁场时对应的坐标设为P(x,y)则有
x=Rsinθ ①
y=R-Rcosθ②（其中θ(0,(π/2))）
由①②消去θ得所有平行x轴飞出磁场的电子的集合应为在x[2]+(y-R)[2]=R[2]
的圆周上（临界条件之一），但当电子沿y轴飞入平行x轴飞出B时，其行走的轨迹又在
(x-R)[2]+y[2]=R[2]④
的圆周上（临界条件之二），故符合条件的磁场的最小面积应为圆③与圆④的交集部分即图中阴影部分面积S[,min]。
例13 如图13(a)所示，A、B是表示真空中相距为d的两平行金属板，在t=0时加上如图13(b)所示的交变电压，开始时使A板的电势高于B板，这时在紧靠板B处有一初速为零的电子（质量为m，电量为e），在电场力作用下开始运动，欲使电子到达板A的动能最大则所加交变电压频率最大值不能超过多少？
提示 电子由B向A运动过程中，A板电势高于B板时电子做加速运动，动能增大，A板电势低于B板时电子做减速运动，动能减少。因此，要让电子到达A板时具有最大动能，则在电子从B到A运动时间内一直要处于加速状态，即须满足
小结 这类问题涉及带电粒子能否“履行”一定制约条件下的运动，关键是存在临界磁场面积（如例12）或临界频率（如例13）。而求解临界磁场面积或临界频率是根据给定的制约关系，找出相应的潜在的临界条件。