巴坎公式和自由逻辑，本文主要内容关键词为：公式论文,逻辑论文,自由论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B815 文献标识码：A 文章编号：1672-7835(2010)04-0027-05
一 著名的巴坎公式
探讨模态词和量词之间的交互影响问题，有形形色色的处理方案和处理原则。其中最为著名的方案是美国著名的女性逻辑学家巴坎(Ruth.Barcan.Marcus)在1946年给出的[1]，巴坎给出的两个公式被看作是解释这两类范畴之间交互影响的基本原则。因此，这两个公式也就命名为巴坎公式。
被称为巴坎公式的这两个公式，实际上是两个互逆的公式，一个称作Barcan Formula，缩写为BF，另一个称作Converse Barcan Formula，缩写为CBF。
(BF)
x□Ax→□xAx
(CBF)□xAx→x□Ax
巴坎公式最早是以可能模态和存在量词的形式在刘易斯的S2系统中出现的，那时候还没有可能世界语义学。从模态逻辑，特别是模态谓词逻辑的观点看，巴坎1946年在符号逻辑杂志上发表的论文，是最早认真地讨论模态谓词逻辑的论文之一。正是在这篇论文中，巴坎给出了有关量词和模态词之间的一些关系，原初的巴坎公式最先用以下的语句形式出现：
(BF)*◇
xAx→x◇Ax
(CBF)*x◇Ax→◇xAx
根据BF公式，可以看到，模态词和量词的位置是可以互换的。在巴坎给出这两个公式的年代，获得这个结果的证明方式只有公理化的方法。早期的公理化模态系统，也称传统的模态系统中，比qB系统弱的qS系统，例如qT，qS4等，BF公式不可证，但CBF公式可证。这在当时，曾引起一些逻辑学家对巴坎公式提出异议，认为这对公式并没有揭示出量词和模态词之间的互换关系。
CBF公式获得公理化证明的事实，以及该公式在根岑(Gentzen)序列演算中获得证明的事实，导致了CBF和BF公式相对重要性的一个误判。这个误判，直到克里普克用其可能世界语义学澄清其不同作用之前，一直都是不清楚的[2]。所以，对于巴坎公式的理解，需要我们使用语义学的方法。
这里需要解释的一点是，巴坎两个公式的引入，一个在弱于qB的系统中可证，一个则是在更强的qS中可证。这表明在使用经典规则集合来证明巴坎公式时，两个公式间有一种奇怪的反对称。这种反对称的奇怪现象，反映了模态谓词逻辑不同于模态命题逻辑的一个特异之处。
在命题逻辑的层次上，传统的模态命题逻辑等价于自然推演的命题逻辑，然而，一旦引入了量词，则这两种等价的逻辑系统就产生了差异，它们变得不等价了。仅仅CBF在两种系统中均可证，BF则在比qB系统弱的qS系统，例如qT，qS4等系统中不可证。所以，在谓词逻辑的条件下，自然推演的规则比经典量词的规则更强，在巴坎公式的证明中，如果使用自然推演的模态规则，它可以同时证明两个巴坎公式。
巴坎公式为模态谓词逻辑带来某种奇异，在模态谓词逻辑的语义学中，我们将看到，这个建立在公理化模态系统基础上的奇异公式，让我们产生了一种十分混淆的感觉。这种混淆导致人们不断地去想办法澄清，从而促成模态谓词逻辑一些十分有趣的进展。如果没有这对巴坎公式，可以说这一进展几乎是不可能的。澄清巴坎公式谜团的一个思路，就是用不同于经典逻辑的自由逻辑观念来对巴坎公式予以解释。
二 自由逻辑的构想
自由逻辑，简称FL，最早的自由逻辑概念来自于喜好逻辑的心理学家拉贝特(Lambert)[3]48。但自由逻辑的产生背景则是应对美国逻辑学家奎因(Quine)本体论承诺的结果。如果我们同意奎因的观点，存在就是约束变元的值[4]中译本序言6，那么，量词的域就必定是，并且仅仅是在一个给定情境中存在的那些对象。对于单称词项而言，每一个单称词项就要指谓一个存在的对象。
很多逻辑学家对奎因的这一本体论的承诺做出了回应，自由逻辑是这些回应中的一个结果。逻辑作为一个技术性很强的工具性理论，因为有奎因的存在预设而得到看似合理的解释。但这个存在预设使得经典逻辑仿佛戴上了孙悟空的紧捆咒，对其表达力的发挥是个障碍，而且也影响到逻辑作为一门科学工具的纯粹性。所以，去掉逻辑的意识形态的束缚，给逻辑一个更为宽松的发展空间，就成为逻辑学家的重要任务。
正是在这样的背景下，自由逻辑得以产生。并且出现各种不同类别的自由逻辑系统，本文仅给出自由逻辑中间一个一般的定义，
自由逻辑是量词理论的形式系统，该系统带有等词或者不带等词。自由逻辑在某些情境下允许单称词项指谓非存在对象，并且，在这类情境下，量词被恒定地看作为具有存在的特性[3]148。
自由逻辑如同模态逻辑一样，如今也是根深叶茂，有种令人惊异的逻辑成果和哲学意蕴[5]。本文仅就在自由逻辑基础上建构的模态谓词逻辑，如何处理巴坎公式做一简要的分析和评论。
三 自由逻辑基础上的模态谓词逻辑
20世纪下半叶逐渐成熟起来的自由逻辑理论和模态逻辑理论，在20世纪的末叶，合在一起受到逻辑学家的关注，由此而出现一种将两者结合起来的模态逻辑。这一逻辑以自由逻辑为基础来刻画模态谓词逻辑，其基本思路是，将量化内涵逻辑的系统建立在自由逻辑的基础之上。美国逻辑学家加森(J.W.Garson)在1991年提出这一设想[6]111-142，并发展成一个一般性的内涵逻辑系统，这个逻辑系统可以做以下简略地描述。
如果我们已经有一个经典逻辑CL的自然推演系统，在CL基础上增加量词规则，就获得谓词逻辑系统QL-，再增加等词规则，进而获得QL系统。自由逻辑系统FL的基本构成，则是给这个QL继续增加新规则和公式的结果，但对量词规则做了一些改造。
1.系统FL的构成公式
基础系统的构成：
2.系统FL中的量词规则
从3)中可知，它和2)的量词规则是有区别的，应用(Qout)规则，我们从xAx可推知Ac，反过来当c满足条件时又可根据(Qin)从Ac推知xAx。但在FL中，我们对Q规则的全称特例增加了条件Ec→，对其存在概括规则增加了推导的条件Ec→Ac。对经典量词规则的这个改造，虽然看起来是小小的改造，却使得FL逻辑的表达力超越了QL。
从以上对量词规则所作的简单说明中可知，自由逻辑其实只有一点小小的发明，那就是给QL增加了一个新概念E，存在再也不是量的含义，它仅仅只是起到一个特殊谓词的作用，它表达的是个体变元或者个体常元的一个性质。
这个改造看起来微不足道，但可带来很多意想不到的结果。一个结果是，FL可以非常自然地包含QL，如果我们给FL增加一个公理(Q)，FL实际上就是一个和QL等价的系统。这个(Q)公理就是对任意词项t的存在性规定，它可以表述为：
(Q)Et
正因为FL系统的这种包容性，加森有以下一段有关FL的评论值得一提，我们在FL基础上建立模态谓词逻辑也就相当自然。
因为使用这个Q公理，经典逻辑原则可以很容易地存留下来，我们就不必要为是否采用经典逻辑或者自由逻辑规则而烦恼。但最普遍的选择是使用自由逻辑，那些相信经典量词是较好选择的人也可以加上Q给FL。在这方面，FL将起到类似于K在命题模态逻辑中起到的作用。K是较弱的，但是，出于各种目标，通过那些附加公理的正确选择，可接受的模态逻辑就可以构造出来。那么，本书的方法将集中于这个FL，并且发展一些特殊的公理或者规则以便捕获住有关量词的一些其他假定[7]244。
3.在自由逻辑基础上的模态谓词逻辑
设S为模态命题逻辑，则以经典谓词逻辑QL为基础的模态谓词逻辑为qS，以自由逻辑FL为基础的模态谓词逻辑我们简称为fS。
构造qS和fS最简单的方式，是为给定的模态命题逻辑S加上经典逻辑QL和自由逻辑FL的规则，由此而形成的逻辑系统分别为qS和fS。
1)fS系统的命名
形成一个新的fS系统的方法，几乎完全类似于形成不同的模态命题逻辑的方法。如果一个给定的模态命题逻辑，我们称作为S，在S上增加FL的相关规则，就形成了新的fS。例如，fK，fB等等。我们在讨论巴坎公式时使用的逻辑系统名称即来源于此。qS系统的命名方式完全相同于fS的命名方式。
2)经典量词规则q和模态命题逻辑系统S
qS=经典量词规则q+模态命题逻辑系统S
qK=CL+N必然规则+分配公理+(Qout)+(Qin)
=CL+□in+□out+(Qout)+(Qin)；
将经典谓词规则(Qout)+(Qin)缩写为(Q)，则有：
qD=K+(D)+(Q)；
qT=K+(T)+(Q)；
qB=K+(B)+(Q)；
qE=K+(E)+(Q)；
qS4=K+(S4)+(Q)。
2)自由逻辑规则f和模态命题逻辑系统S
fS=自由逻辑规则f+模态命题逻辑系统S；
fK=CL+N必然规则+分配公理+(out)+(in)+(≈in)+(out)
=CL+□in+□out+(out)+(in)+(≈in)+(≈out)；
将自由逻辑规则(out)+(in)缩写为(f)，自由逻辑中特有的等同规则(≈in)+(≈out)缩写为(f≈)，则有：
fD=K+(D)+(f)+(f≈)；
fT=K+(T)+(f)+(f≈)；
fB=K+(B)+(f)+(f≈)；
fE=K+(E)+(f)+(f≈)；
fS4=K+(S4)+(f)+(f≈)。
四 自由逻辑中的巴坎公式
从第一部分对巴坎公式的讨论可以得知，它们在经典谓词模态逻辑qK中是可证的。那么，巴坎公式在自由逻辑系统中是不是有同样的结果呢？答案是令人失望的，自由逻辑系统拒绝这两个公式，它们在fK中都得不到证明。因为自由逻辑的(f)规则，无法运用到巴坎公式的证明过程中去。那么，这是巴坎公式的问题，还是自由逻辑的不完善？还是模态逻辑有某些特有的性质没有被我们关注到？当我们把视角投向模态的内涵解释，即命题相关的可能世界的时候，经典谓词逻辑中的量词域的考虑就注入了新的因素，这个新的因素就是量词的单域和多域的问题。因为有了世界相关的问题，那么量词域是单一的还是可变的？就成了考虑量词域的必要选择。就模态的语义考量而言，我们对量词域的思考，自然最少有两种选择，一个选择是常域的选择，一个选择是变域的选择。
显然常域的选择是符合经典量词规则的一个选择，它预设了量词仅有一个单一的域。在这个选择下，巴坎公式没有被拒绝的理由。当所有可能世界的个体域全都相同，巴坎公式就和这个选择相容，它就是可证的。
但是，还有另外一种变域的选择，它预设了量词的域因世界的不同而不同，并且量词的一个域仅仅含有在一个给定世界中存在的对象，在另外的世界中是否还在，那是不确定的。
量词的常域选择是很多逻辑学家的偏好，因为这样的选择和经典逻辑的量词规则高度吻合。但是，这个选择显然有许多难堪之处，它和我们的语言直观是相当不吻合的，尤其是与人类智能中体现的潜在想象力相背离。而量词的变域解释倒是符合人们对语言，对人类想象力的常识理解。人类所能设想的可能世界真是太丰富，太神奇，太变幻莫测了。
量词的变域选择虽然离奇，但人在发挥想象力的同时，也会设想一些永恒的东西。比如上帝就被很多人看作是一个永恒的东西，他相当广泛地被认可为是一种必然地存在，尽管实际上是不是必然存在还是高度可争辩的。而且，人们既在设想有形形色色的可能世界，人们也在设想，这无数的可能世界之中，是不是至少有一个对象被这无限多的可能世界共有呢？这个想象如同伦理学家经常想象的金规则一样，尽管这个世界有无数的伦理规则，是不是有一个管辖一切规则的金规则呢？这当然也是不清楚的。然而常域和变域的选择虽各有千秋，但常域的理解简洁，对称，容易处理，变域的选择复杂，纷繁，难以处理。人们似乎更容易接受简洁的常域量词，容易认同在一个世界中存在的东西，那它就会在所有其他的可能世界中也存在。
把这两种选择和对巴坎公式的考虑结合起来，这是一件非常有趣味的事情。量词域的两种选择是否和两种不同的巴坎公式有联系呢？自由逻辑的柔韧性为这种联系提供了空间。当我们探索巴坎公式和表达量词域条件的语句之间的关系的时候，我们会发现，自由逻辑的(f)规则，由条件Ec→Ac可推知xAx；或者由xAx，可推知Ec→Ac，这两个规则实际上是相关于量词域的不同选择的，特别是相关于量词的常域选择。既然Ec在一个世界的真，它表达的就是c的指称在那个世界中存在，那么，如果我们坚持常域的选择，就可以给fK增加一个规则(ED)。
(ED)Ec→□Ec。
这个规则表达的是，当c的指称在一个世界上存在的时候，则它在其所有可通达的世界中皆存在。这称为fK中的扩张公理，当我们从一个世界通向另一个世界的时候，量词域绝不收缩，它只会扩张。和这个公理相对应的语义条件于是可以描述为：
(ED)如果wRv，那么在w域中的任意东西，也在v域之中。
这个公理实际上是巴坎逆公式(CBF)的特例，接受(ED)等于是接受了(CBF)，所以，在fK中接受(CBF)就等于是接受了关于量词的常域选择。
从对(CBF)的理解，自然就要讨论到(BF)公式，常域选择的一个好处是容易找到对称。当我们设想到域的扩张的时候，(ED)的对称物就是(CD)，它也被称为(ED)的镜像[7]253。既然我们有扩张，当然也就有收缩，(CD)公理告诉我们的是，如果一个常元c不在一个世界上存在的时候，则它在其所有可通达的世界中皆不存在。这称为fK中的收缩公理，当我们从一个世界通向另一个世界的时候，量词域绝不扩张，它只会收缩。这个公理和公理对应的语义条件可以描述为：
(ED)
Ec→□Ec。
(ED)如果wRv，那么在v域中的任意东西，也在w域之中。
尽管(ED)和(CD)我们用对称性来形容它，但奇怪的是，(CD)并不等价于巴坎公式(BF)，它们只是在有些系统中是等价的，但在有些系统中却不是等价的。
五 自由逻辑的谜团
对巴坎公式和自由逻辑的以上讨论，可以瞥见现代逻辑的思考趣味，它既是逻辑的也是哲学的，在逻辑技术的层面上有哲学，但在哲学思考的层面上又产生技术处理。我们一方面要设法排除一个逻辑的哲学包袱，尽量使它具有纯逻辑的味道。但是，每一个逻辑处理的背后实在是逃离不了它的哲学背景。
但有一点似乎是可以体味到，每一个哲学背景下，也许都可以讨论出某种逻辑。反过来，当我们建立起某种逻辑的时候，这个逻辑又总要体现某种哲学。逻辑学就是这样不断地进行着逻辑和哲学的博弈。经典逻辑产生了，有经典逻辑的问题，我们意图修正经典的东西，于是我们构造了非经典的自由逻辑，模态逻辑等等。这些非经典的东西逐渐获得了新的经典，但又在展示新的问题。巴坎公式和自由逻辑都用自己的成果诠释着经典，它自己也在变成经典。但是自由逻辑还有谜团，它的量词常域选择显然获得的是一个反直观的结论。因为，当我们把(ED)和(CD)都作为fK的公理的时候，显然要接受巴坎公式。由此可以推出的一个结论是，如果某东西存在，则这个东西的存在是必然的。上帝存在的本体论证明仍然体现在这样的逻辑之中，只不过必然存在的范围扩展了而已。有没有另外的量词域选择呢？可能有，但需要我们对巴坎公式和自由逻辑有新的体悟新的视角。