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在学习圆锥曲线时，教师一般都会向学生介绍它们的光学性质，学生对这一内容也很感兴趣。有一次下课后，学生问我：老师，这些性质怎样证明呢？我当时随口回答说：当然能，但这要用到圆锥曲线的切线知识，而圆锥曲线的切线教材不作要求，所以我们也就不学这些性质的证明。听完我的回答，学生感到很失望，默默地走了。看到学生的这一表情，我的心为之一震，一个强烈的好奇心和求知欲，竟被我的一句话破坏了。
之后这个学生的表情时时在我的头脑中闪现，我很难过，我开始想：难道真的不能解决这个问题吗？圆锥曲线的光学性质除了运用它们的切线就没有别的方法可以解决了吗？我苦苦思考着……
就在我不断思考的过程中，一个小题给我带来了重大启发：
问题：已知椭圆的焦点为A(-3,0)，B(3,0)，且与直线x-y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程。
对于这道题，教师并不陌生，然而当我从不同的角度、用几种不同的方法去解这个题时，却意外地发现它与我日思夜想的问题有着密切的联系，于是我进一步对这个问题进行分析、挖掘、引申，终于发现了一条可以绕过圆锥曲线的切线而学习圆锥曲线光学性质的路线。我把它设计成一堂数学探索课，实践表明，学生可以比较轻松地“证明”圆锥曲线的光学性质。现将主要步骤整理如下，以求同行赐教。
步骤一 与学生一同解答此题
解法一 代数法
注 等号的几何意义是：恰好当直线与椭圆相切时，a取得最小值。
解法二 几何法（如图1）
图1
题意即要我们在直线l上求一点P，使PA+PB最小，由平面几何知识可知，只需先求出点A(-3,0)关于直线L:x-y+9=0的对称点A'(-9,6)，则线段BA'的长即为PA+PB的最小值，也即是椭圆的长轴的长，此时BA'与直线l的交点P正是所求。
解法三 用运动的观点（如图2）
以A、B为焦点的椭圆有无数多个，设想椭圆从小到大逐渐增大（长轴变长），易知当且仅当椭圆紧挨着直线（即相切）时，椭圆既与直线有公共点，又是长轴最短。
图2
注 解法三赋予解法一以鲜活的形象。
步骤二 揭示以上解法给我们带来的成果
把图1与图2结合起来，不难得到图3：
图3
此时直线l是椭圆的切线且上∠1=∠2。即：椭圆上任一点和两个焦点所连线段与椭圆在该点的切线构成相等的角。这个性质在数学上称之为椭圆的焦点切线性质。
而在物理上正好就是椭圆的光学性质：如果把反射镜做成椭圆面（用一个椭圆绕它的长轴旋转而成的曲面），我们把光源放在一个焦点处，则所有的光线经过镜面反射后，都聚集在另一个焦点处。
步骤三 解后反思
思考1 点A、B与直线l的位置关系是什么？（同侧）
思考2 若A、B在直线l的异侧，这样的P点能找到吗？（此时直线与椭圆相交，题中问题已没有意义）
思考3 以上问题可不可以以更简单的形式表现出来？（已知A、B是直线l同侧的两点，求以A、B为焦点，且与z有公共点，长轴最短的椭圆方程）
（以上内容10分钟内完成）
步骤四 进行类比联想，猜测并证明双曲线的类似
性质
（这是这节课的难点）
思考 双曲线中的类似问题应该如何提出？（解决难点的关键）
猜测1 已知定点A、B位于直线l的同侧，求以A、B为焦点，且与直线l有公共点P，实轴最短的双曲线。
猜测2 已知定点A、B位于直线l的同侧，求以A、B为焦点，且与直线l有公共点P，实轴最长的双曲线。
猜测3 已知定点A、B位于直线l的异侧，求以A、B为焦点，且与直线l有公共点P，实轴最短的双曲线。
猜测4 已知定点A、B位于直线l的异侧，求以A、B为焦点，且与直线l有公共点P，实轴最长的双曲线。
（由于双曲线的定义要求的是|PA-PB|=2a（定值），结合平面几何知识，易知实轴最短的情况不存在，于是否定猜测1、猜测3。又若A、B在l的同侧，则直线l必与双曲线相交，此时问题已无意义，从而淘汰猜测2，于是转向研究猜测2）
欲求|PA-PB|=2a最大值，为研究问题的方便，不妨设A到直线l的距离更大。此时问题变成PA-PB=2a最大。于是问题就进一步变成了：
探究1 已知定点A、B位于直线l的异侧，且A到直线l的距离比B到直线l的距离大，求以A、B为焦点，且与直线有公共点，实轴最长的双曲线。
由平面几何知，当A、B位于直线l的异侧时，作出点A关于直线l的对称点A'（如图4），连接A'B，则直线A'B与l的交点即为所求点P。易知此时直线l是∠APA'的平分线。
图4
仿照椭圆中的研究方法，现用轨迹和运动的观点来分析和解决探究1。
由于以定点A、B为焦点的双曲线有无数条，若双曲线开口小，则实轴长；双曲线开口大，则实轴短。因此，既要与直线l有公共点又要实轴最长，当且仅当双曲线紧挨着直线（即相切）时符合。
图5
由图4、图5不难得到图6，类似图3即得：双曲线上任一点和两个焦点所连线段与双曲线在该点的，切线构成相等的角。在数学上称之为双曲线的焦点切线性质。
图6
图7
在物理上这个性质也就是双曲线的光学性质：如果反射镜面做成双曲面（用一条双曲线绕它的实轴旋转而成的曲面），我们把光源放在一个焦点B处（如图7），则经过镜面反射后的光线，就如同是从另一个焦点A发出的一样。
（步骤四大约20分钟内完成）
步骤五 穷追猛打，探究抛物线的类似性质
抛物线是到焦点的距离等于到准线的距离的点的轨迹，如图8，设F是抛物线的焦点，直线a是准线，N是抛物线上的一点，NP⊥a于P，连FP并作线段PF的垂直平分线MN，现证明，在直线MN上，点N是抛物线上唯一的点。
若MN上的另一点S是抛物线上的点，过S作SQ⊥a于Q，则SF=SQ，SF=SP，即SQ=SP，这是不可能的（SP与SQ斜边与直角边的关系）。所以点N是既在直线MN上又在抛物线上的唯一的点，所以直线MN是抛物线上过点N的切线。如图9。
图8
图9
由于MN是线段PF的垂直平分线，所以∠PNM=∠FNM，而∠PNM=∠2，所以∠1=∠2。由此即得抛物线的焦点切线性质：抛物线的焦点和抛物线上任一点所连线段，以及过该点平行于对称轴的直线，与抛物线在该点处的切线构成相等的角。
这个性质也正是抛物线的光学性质：将反射镜面做成抛物面（用一条抛物线绕它的对称轴旋转而成的曲面），若将光源放在它的焦点处，则所有的光线经过镜面反射后，将变成一束平行光线。探照灯就是利用这个原理制成的。反之，平行光线经镜面反射后，将聚集在焦点。太阳灶正是利用这一原理制成的。
除此之外，一些天文望远镜更是利用椭圆、双曲线、抛物线光学性质的杰作。
（步骤五在10分钟内完成）
步骤六 简要介绍椭圆、双曲线、抛物线光学性质的应用
后记
学生在课堂上一直保持着极大的兴趣，在教师的引导下不断地、不停地思考着、回答着问题，下课后个个脸上都洋溢着满意而快乐的笑容。
这是一堂生动活泼、兴趣盎然、轻松愉快，又富有挑战性，充满智力活动的探究性、研究性活动课。它的生动性主要是由几何直观带来的，虽然没有严格的代数演算，但也同样不失严密性，由于几何直观的鲜活性，所以它能给学生的思维产生活力。
由于整个研究过程中没有用上坐标系，完全由综合几何的方法解决，使问题的解决更加接近问题的本质，体现了问题解决的几何回归，一方面可以让学生进一步认识到圆锥曲线的性质是不依赖坐标系而独立存在的、固有的，另一方面可以让学生在感叹几何推理简明、高效、有力的同时，又一次感悟几何推理的美，从而体会到人类智慧的博大、丰富与深邃。