冯远福[1]2004年在《非线性波动系统解的不稳定性质》文中认为本文讨论了几类非线性波动系统的单个方程与非线性方程组的初值问题，在方程及方程组局部解存在的情况下给出了其解的一些不稳定条件。 首先，对于单个的Klein-Gordon方程，采用能量和微分、积分不等式技巧讨论一类调和势的非线性Klein-Gordon方程的初值问题：其中，u=u(t，x)：R~+×R~N→C。得到了在一定条件下解的不稳定性质。 其次，采用能量和微分、积分不等式技巧讨论一类描述电磁波相互作用的非线性Schr(?)dinger方程耦合系统的初值问题： 其中，Ψ(x,t)和θ(x，t)分别为复值和实值函数。给出了在一定条件下解的不稳定性质。 在此基础之上，本文讨论这两类方程的重要耦合方程组Klein-Gordon-Schr(?)dinger方程组初值问题：非线性波动系统解的不稳定性质、.2、J产一6t了J了、Z、、i。+告△梦一，梦，碑，一△必+mZ必一}班「t任R，x任R3t任R，x任R3 拼(0，x)=残(x)，沪(0，x)=九(x)，碑(0，x)=喊(x)(8)其中，m是参数，m oR，梦(x，t)是复值函数，护(x，O是实值函数。得到了在一定条件下解的不稳定性质。 最后，将以上情况加以推广到更广泛的光滑函数F(u，v):R+xR峥R(汽(u，v)二(即/加)(u，v)，凡(u，v)=(朗/加)(u，v))，运用能量和微分、积分不等式技巧，讨论以下具有广泛性的非线性祸合Klein一Gordon一schr6dinger方程组的初值问题:i叭+△梦+月(l梦I，，尹)笋=0，toR，xoR，(9)汽+(l一△)尹+凡(}俨}，，势)一0，，。R，xoR，(一。)少(0，x)=叽(x)，尹(0，x)=%(x)，妈(0，x)=妈(x)(11)其中梦(x，O和沪(x，O分别为复值和实值函数。我们得到了在一定条件下解的不稳定性质。
张明有[2]2017年在《基于位势井理论的几类非线性波动系统的适定性研究》文中进行了进一步梳理在自然科学中,非线性动力学在众多领域中有着极其广泛的应用,为合理解决实际遇到的各种相关问题提供了强有力的理论依据.在对各类非线性动力系统的研究中,非线性波动系统是最基本且重要的研究对象之一,因为其强调解关于时间性质的考察而具有十分重要的工程应用意义,所以它一直是众多学者研究的热点.本文的目的是在位势井框架下深入研究几类非线性波动系统解的动力学形态.基于系统的初始能量在不同的能级(次临界、临界和任意正初始)下全面研究系统解的整体存在,长时间行为和有限时间爆破的性质,揭示了初值对解的性质的影响机制.针对具强阻尼和非线性弱阻尼的弹性梁系统的整体解适定性进行了全面研究.首先通过应用Banach压缩映射原理分析了系统局部解的存在性和唯一性.然后在叁种能级状态下,应用位势井理论全面研究了具有复杂耗散项的非线性波动系统解的行为.对于次临界和临界能级状态,详细分析了什么样的初值会影响系统解关于时间是整体存在的还是在有限时间内爆破的,同时通过应用能量扰动方法,进一步分析了整体解的长时间行为,发现耗散使系统能量以指数形式衰减.对于任意正初始能级状态,考察了线性阻尼代替非线性弱阻尼的情况,分析关于具有线性弱阻尼和强阻尼的弹性梁整体解的适定性是否依然存在.考虑实际情况下梁在振动过程中不仅进行平移运动,而且还进行旋转运动,因而为进一步探究非平面旋转梁系统(即耦合弹性梁系统)解的动力学行为,针对具有复杂耗散项和耦合外力源项的耦合弹性梁系统的初边值问题,在叁个不同初始能量状态下,对系统解的整体适定性进行了全面的研究.利用位势井方法,Clerkin方法,有界性原理,改进的凹函数方法并结合能量估计等手段进行相关分析研究.为克服复杂耗散、色散、非线性项和耦合项对控制位势井结构下各类泛函带来的困难,引入了适当的辅助函数并进行适当的放缩估计来讨论满足不同条件的初值对解性质的影响机制.在分析与模拟弹性圆柱杆内部的纵向非线性应力波的传播问题时,引入具强耗散和双色散项的非线性波动系统的初值问题,对其解的整体存在和有限时间爆破进行了统一的研究.讨论了次临界与临界能级状态下整体解存在与非存在成立的最佳条件,以及任意正初始能级下解的有限时间爆破.众所周知负能量容易导致解的有限时间爆破,将负定初始能量推广到正初始能量时,发现系统阻尼系数范围缩小.然后我们采用控制函数法得到了保证系统任意正初始能级整体解非存在的初始条件,并推广已有文献在次临界和临界能级下的结果.具高阶色散的非线性波系统的初边值问题可以用于描述在非线性外力源项作用下的弹塑性杆上的齐次波的横向传播现象.针对具有高阶色散和更一般的非线性源的该系统,应用位势井理论深入研究了整体解的适定性.发现在次临界能级状态下,通过应用Calerkin方法结合有界性原理,证明系统初值落入位势井井内空间时,其整体解存在;利用凹函数方法,证明系统初值落入位势井井外空间时,解会在有限时间内爆破.接下来,将次临界能级状态下的所有结果平行地推广到临界能级状态下.最后对于任意正初始能级情形,利用引入可控的辅助函数,同时借助微分控制不等式,得到了系统整体解的存在.利用凹函数方法给出了初值满足什么样的条件整体解非存在.基于位势井理论,在不同能量状态下分析具高阶色散的应力波系统解的动力学行为.
彭解华[3]2003年在《非线性振动和波动系统的分岔及混沌研究》文中指出本文在全面分析和总结非线性微分动力系统分岔和混沌研究的现状的基础上，运用广大力学和振动理论研究者熟悉的数学理论对非线性微分动力系统的分岔和混沌的基础理论和应用控制进行了较为系统和深入的研究，取得了较为显着的研究成果。 全文共分七章。第一章为绪论，阐述了分岔和混沌研究的理论价值和工程实际意义，分析和总结了国内外在分岔和混沌领域研究发展历史和研究现状，简要介绍了本文研究的目的意义和主要内容。第二章研究分岔的基本理论和方法，推导了一般一维非线性微分动力系统发生鞍—结分岔、叉式分岔和跨临界分岔等基本静态分岔的条件，改进和简化了高维非线性微分动力系统的降维方法。第叁章以多项式理论为基础，创建了计算普适开折的多项式计算法。第四章对非线性振动中最常见的Van der Pol-Duffing-Mathieu复合非线性振子的分岔性质进行了系统的研究，发现了该复合系统在非共振、主共振、超谐共振和非1／2阶次谐共振情况下具有相同的分岔特性。研究了在强非线性情况下该复合振子的分岔情况。第五章用正规摄动法给出了一维非线性微分方程的通解，并以此为基础解析地证明了混沌运动对初值的敏感依赖性和对扰动的敏感依赖性，并以杜芬振子为例子以验证，研究了杜芬振子的混沌运动控制的多谐扰动法。第六章总结归纳了将非线性偏微分方程转化为常微分方程的变换法，研究了一维无界区域上非线性薛定谔方程的分岔和混沌性质，解析地研究了用参数周期扰动法控制屈曲梁的混沌运动的效果。在第七章中，总结了全文的研究工作，展望了分岔、混沌研究的前景。
刘志芳[4]2006年在《弹性杆波导中几类非线性演化方程及其孤波解和冲击波解》文中指出二十世纪六十年代，自然科学的许多科学分支几乎不约而同地出现了非线性问题的研究热潮，诸方面的研究汇成了非线性的洪流，孤子、湍流、混沌、分形及复杂系统等新的物理现象被揭示，大大扩展了人们的视野，并导致了自然科学认识论和发展观的一场大革命。非线性科学已成为近代科学发展的一个重要标志，它是自然科学各科学分支共同关心的真正的基础性研究。非线性科学涉及到自然界诸多复杂现象，具有广阔应用前景。特别是非线性动力学和非线性波动的研究对于解决物理学、化学、生物学和地球物理学中遇到的复杂现象和问题有着极其重要的意义。 非线性科学发展中一个重要成就就是孤立子理论的建立。在许多非线性物理领域，已经发现一大批非线性演化方程具有孤立子解。这些方程的共同特征是具有无穷个守恒律、可用散射反演法解析求解、存在B(?)cklund变换、完全可积分等。孤立子典型的特征是在其传播过程中伴随有能量集聚，且孤立子间相互作用时表现出犹如粒子弹性碰撞一样的行为。这些特性已在流体力学、等离子体、光纤通讯等技术领域获得广泛应用。 固体力学在线性波的研究方面曾取得过辉煌的成就，为推动物理学中波动理论的发展做出过巨大贡献。近年来固体结构中非线性波的研究已开始受到关注。本文在综述了其它非线性物理领域孤立子理论的研究基础上，以弹性细杆波导为对象，考虑了固体结构中常出现的非线性源及粘性耗散效应、几何弥散性质等，研究了固体中几类非线性波的传播问题，取得了以下一些主要结果： 1．利用Hamilton变分原理，导出了计及有限变形和横向剪切及横向惯
徐润章[5]2008年在《非线性动力系统若干理论问题研究》文中研究指明本题目来源于国家自然科学基金项目课题“几类非线性数学物理模型方程与抛物方程”(No．10271034)与“高阶发展方程与Schr(?)dinger方程的动力学性态”(No．10871055)．本文利用位势井族方法定性研究几类非线性动力系统，得到相应数学物理模型方程定解问题解的不变集合和真空隔离．并研究了系统的整体适定性和有限时间爆破．特别是得到了整体解存在的最佳条件(门槛结果)．对于特殊问题，得到解的长时间行为．首先，文章研究一类具有多个非线性源项的波动方程的初边值问题．该问题来源于量子力学中的Klein-Gordon方程．文章研究的非线性情形是考虑若干同性外源影响下系统的整体适定性问题，但并不限定外源的数量．通过建立变分问题的一般结构，得出整体解存在与不存在的充要条件，并在临界情况下讨论了解的存在性条件．对于此问题进一步讨论了若干异性外源项影响下系统的适定问题．文章对于非正定能量通过建立位势井族理论克服能量估计的困难．阐述了位势井族相应泛函的性质，并得到了其与系统内某特殊球的关系．同时对于具有若干异号源项的波动方程讨论了位势井深度函数的性质．文章得到了其整体解存在与不存在的充分必要条件和真空隔离，并讨论了临界条件下的整体解存在性．利用反应扩散方程与波动方程在势能表达式上的相似性，对于非线性反应扩散方程文章得到了与波动方程平行的结论．接着，文章讨论了具有复杂结构的系统方程．首先研究从粘性塑性微结构模型的弱非线性分析中提出的一类具耗散和应变的四阶波动方程的初边值问题．在系统能量正定条件下系统的坍塌和临界条件下系统的适定性问题一直是热点问题．本文从变分法的基本理论出发针对此类高阶复杂的非线性模型用积分估计，等价模和积分变换等技巧构造了新的位势井．并得到了相应位势井族的性质．同时还得到了位势井族泛函和H_0~2(Ω)空间中球的对应关系．文章首次对正定导数构成的空间建立变分问题，并研究了其与原变分问题的关系．通过正负导数空间的划分，本文指出最小化算子属于正定导数空间的Nehari流形．同时给出了单个位势井深度的精确估计．在此基础上文章得到了此问题解的不变集合与真空隔离．并在正定能量条件下得到整体解存在与有限时间爆破的最佳条件，即门槛结果．而这些结果可以和H_0~2(Ω)空间中球的内部和外部直接对应．对于初始能量大于零，等于零和小于零的情形，文章均证明了系统的爆破．对于临界初始能量，文章全面讨论了整体解的存在性和不存在性，并得到了适合于临界能量的最佳条件，且并不要求初值的正定内积．由此结论可推知对于反应扩散系统和具耗散的波动系统可不要求初值的正定内积．最后对假设条件进行了叙述上的简化和具体化，使得相关结论可以方便地应用于工程实践．同时也给出了具体工程问题的一些具体函数适用于本模型的例子．最后，利用乘子法，对于具有色散耗散项的四阶波动方程的初边值问题和强阻尼非线性波动方程的初边值问题分别得到了其整体解的长时间行为．进一步，文章研究了一类广义Boussineq方程．Boussineq方程用以描述具有小扰动的长波水波运动，并频繁地被用于浅海或海港区水波运动的模拟中，对于一类广义Boussineq方程的柯西问题，本文针对f(u)=±|u|~p和f(u)=-|u|~(p-1)(p＞1)讨论整体解存在性与不存在性．首先使用Fourier变换得到系统的能量守恒．对于正定能量和非正定能量的情形得到所对应的位势井的相关性质和解的真空隔离现象．而后基于这些性质，文章证明了上述问题整体解存在与有限时间爆破的门槛结果．对于临界初始能量，文章也得到了上述问题整体解存在与有限时间爆破的门槛结果．但不同于具有耗散的波动系统，该门槛结果要求初值具有正定内积．最后，本文模拟分析了势能控制函数的性质和初值的性态，并且模拟了位势井族深度函数的形态，分析了复杂源项对上述问题的影响．
张正娣[6]2008年在《非线性波动方程分岔中的若干问题分析》文中研究指明非线性动力学是非线性科学的一个重要分支,非线性波动方程的精确求解及其解法研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题之一,极具挑战性。由于非线性波动方程的复杂性,求解它并无统一的方法,不过针对非线性波动方程的孤立波解,人们在研究过程中,已经发展了一些有效的研究方法,比如各种求精确解的方法、数值模拟的方法及实验研究的方法,但这些方法大都针对所研究方程的特定类型的解,而无法了解非线性方程解的全局渐近行为。本论文研究几类重要的非线性波动方程的行波解,用动力系统的分岔理论对其进行定性分析,研究系统所有可能的有界行波解,分析系统参数及奇异线对系统解的结构的影响,给出各种有界解的存在条件及解的表达式,讨论各种行波解之间的演化过程及相互作用模式,探讨其动力学行为,主要内容如下:论文在第一章回顾了非线性波动方程研究的历史背景和研究方法。第二章讨论非线性波动方程的分岔行为,以广义KdV方程、Camassa-Holm方程和耦合Bousinesq方程为例,结合相平面分析系统的所有行波解的情况,分析参数的变化对系统解的结构的影响,讨论其在转迁集上的各种分岔模式,给出不同性质的波解及其存在条件。论文的第叁章考虑奇异性对非线性波动方程解的结构的影响,针对相空间上出现奇异线的广义KdV方程,详细讨论了奇异线的存在对解的结构的影响,分析系统中非光滑行波解产生的原因。在对系统进行定性分析、了解了系统所有可能解的大致形态的基础上,论文第四章给出了WBK方程的精确有界解,应用动力系统理论,利用连接平衡点的闭轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系来研究非线性波方程行波解的有界性及精确的显式表达式。另外,在同一个参数区域中,当不同类型的波解相互共存时,分析这些解相互之间的演化机制。然后,论文考虑不同波解之间的相互作用,目前对非线性波动方程的理论研究大都集中在单模态解上,论文第五章提出了一个新的方法,设想由方程的单模态解的非线性迭加,给出非线性波动方程的复合模态解。这些单模态解可以具有不同的性质,可以具有不同的波速,也可以是不同形式的波解,论文将作理论推导并借助Maple计算工具在具体的几个非线性方程中找到了这种复合模态解。目前对非线性波动方程的研究一般都仅限于静态波解,即所考虑的波解的波速、振幅、波宽都是不变的,本论文考虑动态的波解,探讨非线性波动方程的动力学行为,通过能量积分式和选择适当的示性函数,将复数形式的Ginzburg-Landau方程化成为叁阶常微分方程,数值模拟波解的动态行为。本论文丰富和发展了非线性波动方程解法研究的内容,得到了许多新的结果,论文最后对所做的研究工作进行了总结,并对今后的研究方向作了展望。
邱孝童[7]2014年在《两类广义非线性波动方程的适定性研究》文中指出本文研究了一类具线性拟微分算子的广义弱色散Boussinesq系统和一类具线性拟微分算子的广义非局部波动系统的Cauchy问题.基于初始能量,全面分析了不同能级情况下解的适定性,旨在找出解决这两类问题的通用方法,揭示解的适定性与算子阶数的关系.第二部分针对一类具线性拟微分算子的广义弱色散Boussinesq系统在叁种不同能级情况下解的适定性进行了全面研究.本部分在位势井理论框架下,应用Galerkin方法和凹函数方法证明了在低初始能量情况下解的整体存在性与有限时间爆破.应用尺度变换的方法,将此结论平行推广到了临界情形.通过定义一个新的稳定集合,借助于函数的连续性及有界性估计原理,得到了整体解存在性的充分条件.进一步地,通过引入新的辅助函数,证明了在任意高初始能量情况下解在有限时间内爆破.第叁部分就一类具线性拟微分算子的广义非局部波动系统在全能级情况下的整体解存在性与有限时间爆破进行了深入的研究.利用位势井理论和凹函数的方法,给出了整体解存在与不存在的最佳条件.通过构造一系列近似解得到了在临界能级情况下整体解的存在性.结合低初始能量情况下引入的辅助函数得到了临界能级情况下整体解的不存在性.本部分首次针对具广义的非线性源项非局部波动系统得到了在任意高初始能级状态下整体解的存在性.
杨延冰[8]2012年在《几类非线性波动方程的高能爆破问题》文中研究表明本题目来源于国家自然科学基金青年科学基金项目课题“高阶非线性发展方程的高能问题（11101102）”.本文分别研究了一类具有广义源项的非线性波动方程,一类具有多个异源项的非线性波动方程,一类四阶非线性色散耗散波动方程,一维六阶非线性波动方程的初边值问题.应用位势井理论凹函数方法和反耗散技术,本文分别证明了这些问题的某些具有任意正初始能量的解在有限时间内爆破.为了得到这些问题解的高能爆破结果,需要证明在这些问题的流之下不稳定集合的不变性.在低初始能量E(0)
刘冲[9]2016年在《光学局域波态转换和相互作用的理论研究》文中研究指明非线性局域波动力学已成为当下非线性物理研究的热点课题之一。常见的非线性局域波按其性质不同主要分为孤子、怪波和呼吸子叁类。在本文中,我们立足于已有的实验事实和理论模型,借助实验上易操作的非线性光学系统,利用解析(达布变换和相似变换方法)和扰动理论(调制不稳定性分析)相结合的研究方法,设计光学系统中光怪波在高斯背景光束上激发的理论方案,分析实际物理参数对激发性质的影响,着重探究高阶效应诱发的光怪波与孤子、呼吸子与孤子、呼吸子与周期波问的态转换,分析态转换特征,解释态转换的物理机制,揭示多模光纤系统中矢量局域波问的共存和非弹性相互作用。具体内容如下：1.高斯背景光束上光怪波的激发及其性质基于实际物理系统中并不存在理想的无限宽的平面波背景的事实,我们首次解析地研究了光怪波在有限宽背景光束上的激发可能。我们证实了光怪波在高斯背景光束上的激发,精确给出了描述相关激发性质的一阶和二阶怪波解的解析表达式,设计了实验上制备该激发初态的密度调制和相位调制的理论方案。这些结果为实验上光怪波在局域背景上实现提供了理论参考。2.单模光纤中高阶效应诱发的局域波态转换及其机制如何建立不同种类局域波间的精确关系是非线性局域波研究中的一个公开命题。利用达布变换和线性稳定性分析相结合的理论方法,在单模光纤中我们首次系统地研究了多种不同种类局域波的态转换以及相应的物理机制,给出了描述态转换的解析解以及相应的精确条件。我们证实了一阶怪波与W型孤子的态转换严格出现在由高阶效应诱发的调制稳定区,揭示了该态转换的局域化特征与零频扰动增长率的严格关系,讨论了相应的非线性迭加态的动力学性质。之后我们详尽地考察了Akhmediev乎吸子与周期波、Kuznetsov-Ma呼吸子与非零背景上单峰孤子、一般呼吸子与非零背景上多峰孤子的态转换。这些解析结果将会丰富人们对多种不同种类的非线性局域波转换关系的理解,也为实验上的实现提供了理论依据。3.多模光纤中高阶效应诱发的矢量局域波态转换及相互作用鉴于大多数实际的复杂非线性物理系统需要考虑矢量局域波的耦合效应,我们考察了多模光纤中高阶效应下矢量局域波丰富的态转换和相互作用性质。我们揭示了矢量单怪波与矢量单孤子以及矢量双怪波与矢量双W型孤子间的态转换,并严格证明了矢量局域波的态转换过程恰好对应着调制不稳定性增长率在零频扰动区域衰减至零的过程。同时,基于矢量局域波的共存条件表征了一个包含有调制不稳定和调制稳定的混合区域,我们发现矢量孤子与呼吸子共存和融合的非弹性相互作用。上述解析结果与高阶效应紧密相关,不存在于无高阶效应的退化情形。4.多模光纤中矢量呼吸子特征和非弹性相互作用基于标量呼吸子的弹性碰撞已在单模光纤中实现,利用局域波精确解我们系统地研究了多模(叁模)光纤中矢量呼吸子的结构特征、相互碰撞性质以及呼吸子与其他种类局域波(孤子和怪波)的相互作用特性。我们发现叁类不同结构的矢量呼吸子,分别为：亮、暗以及四花瓣呼吸子,并揭示了它们之间“Y型”的非弹性相互作用。此外,我们给出了呼吸子与孤子以及呼吸子与怪波的共存条件,揭示了相应的非弹性碰撞结构,并首次证实了矢量单呼吸子与双怪波的共存和相互吸引的非弹性相互作用。
高强[10]2017年在《非线性期望理论及金融市场不确定性》文中研究指明本文主要研究了非线性期望理论及金融市场中的不确定性问题。文章共有四章,前两章主要是理论性研究,第一章深入研究了非线性期望乘积空间理论,研究了非线性期望下乘积空间的正则性问题以及非线性期望下独立增量过程的乘积空间问题,是对非线性期望理论的完善和补充。第二章研究了倒向随机微分方程最优控制问题及资产定价问题。后两章主要是应用性研究,深入研究了金融市场中的不确定性及非线性期望在金融市场中的应用。第叁章介绍了非线性期望资产定价理论,并利用非线性期望理论改进了目前国际上最通用的SPAN保证金系统,改进SPAN计算原理,得到了均值-方差不确定性下的SPAN保证金系统,可以更为快捷、准确、稳健的度量风险。并用S&P500指数期权数据进行了实证检验。第四章深入探讨了金融市场中的不确定性,说明了金融数据的分布不确定性和描述参数不确定性在金融市场中客观存在。深入研究了均值不确定性和方差不确定性在金融市场中的具体表现、估计方法,并利用均值不确定性构建了投资策略。各章节主要内容如下:(一)非线性期望下的乘积空间本章研究非线性期望下的乘积空间理论,主要针对非线性(resp.次线性)期望下乘积空间的正则性及独立增量过程的乘积空间问题进行深入探讨,完善了非线性期望乘积空间理论并弥补了之前理论中的不足。本章的结果主要出自:Gao Q,Hu M,Ji X,Liu G.Product space for two processes with indepen-dent increments under nonlinear expectations.Electronic Communications in Probability 22(2017).本章主要有以下两部分内容:1.非线性(resp.次线性)期望下乘积空间的正则性:正则性是概率论中很重要的概念,一般情况下,次线性期望空间并不满足正则性,而G期望空间满足正则性([2]),彭实戈院士在[10]中给出了乘积空间的定义,但是在定义中并未提及正则性,因此一个自然而然的问题就是,对于给定的正则次线性期望空间,其乘积空间是否依然满足正则性。为解决这个问题,首先研究两个正则次线性期望乘积空间的正则性,通过将经典的有限乘积概率空间构造推广到次线性期望情形,可以得知两个正则次线性期望空间的乘积空间仍保持正则性,并进一步推广到有限维的情形,得到如下结论:给定有限个正则次线性期望空间(Ωi,Hi,(?)_i),i = 1,2,...n,则其乘积空间()也是正则次线性期望空间。再通过反证法,可将结论推广到可列次线性期望空间。进一步研究次线性期望下完备乘积空间是否保持正则性,这种情况下问题较为复杂,本文在完备可分的距离空间下,证明了概率表示族是弱紧的及随机变量的逼近性质,最终得到了次线性期望下的完备乘积空间仍保持正则性,整体思路如下:给定正则次线性期望空间(Ωi,Hi,(?)_i),i=1,2,...,n其乘积空间记为(),记()为()的完备化空间。则可以证明()也是正则次线性期望空间,)且存在()上的一族弱紧概率族Pi使得由此可给出有限个正则次线性期望空间的完备乘积空间问题的证明。基于有限个情形的结论和随机变量的逼近性质,进一步可得如下结论:给定一列正则次线性期望空间(Ωi,Hi,(?)_i),i≥1,其中(Ωi,ρi为完备可分距离空间,Hi=Cb.Lip(Ωi)。记Ω=,则(Ω,L'(Ω),E为正则次线性期望空间,且满足Cb(Ω)(?)L'(Ω),其中(Ω,L'/(Ω),1)为(Ω,H,E)的完备化空间。2.非线性(resp.次线性)期望下独立增量过程的乘积空间接下来研究非线性(resp.次线性)期望空间中独立增量过程的乘积空间问题,即对于给定的两个d-维独立增量过程,是否存在一个非线性期望空间,及一个定义在空间上的2d-维的独立增量过程,使得其前d-维与后d-维过程分别同分布于先前给定的两个独立增量过程。这是彭院士[10]中的乘积空间方法无法解决的。本文通过离散化的方法,利用胎紧的性质,提出一种全新的构建思路,研究有限维、可列维和不可列维独立增量过程的乘积空间问题。有限维独立增量过程的乘积空间的主要定理如下:定理0.1.令(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是两个分别定义在非线性(resp.次线性)空间(Ω1,H1,E1)和(Ω2,H2,E2)上的d-维独立增量过程,满足假设(A)。则存在定义在非线性(resp.次线性)空间(Ω,H,E)上的2d-维独立增量过程(Mt,Nt)t≥0满足:(?)进一步,如果(Mt)t≥0和(Nt)t≥0是两个平稳独立增量过程,则(Mt,Nt)t≥0也是一个平稳独立增量过程。非线性情形与次线性情形相似,因此本文只讨论次线性情形,非线性情形同理可证。进一步可知,只需要证明t∈[0,1]的情形即可。在稠密的有限点集Dn={i2-n:0≤i ≤2n上构造符合要求的次线性期望空间(Ω,Hn,En):如下定义Hn:记δn = 2-n,(?)如下定义En:Hn→R:Step 1.对于给定的φ∈Cb.Lip(R2d),满足对i≤2n，φ(Xiδn-X(i-1)δn)=φ(Miδn-M(i-1)δn,Niδn-N(i-1)δn)∈Hn定义En[φ(Xiδn-X(i-1)δn)]=E1[ψ(Miδn-M(i-1)δn)],其中ψ(x)=E2[φ(x,Niδn-N(i-1)δn)],(?)x∈Rd Step 2.对给定的φ(Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X(2n-1)δn)∈Hn,φ∈Cb.Lip(R2n×2d),定义En[φ(Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X(2n-1)δn)]=φ0,其中φ0=En[φ1(Xδn)].引理0.1.按上述方法定义(Ω,Hn,En),那么(1)(Ω Hn,En)构成一次线性期望空间;(2)对每个1≤i≤2n,Xiδn-X(i-1)δn独立于(Xδn,...,X(i-1)δn-X(i-2)δn);(3)(?)(?)由此可知在稠密的有限点集Dn= {i2-n:0 ≤ i≤2n}上,(Ω,Hn,En)即为满足定理0.1的次线性期望空间,故在有限点上结论成立。下面将其延拓到连续点上。易知对每个n ≥ 1,有Hn(?)Hn+1.令(?),易见(?)为H的—个子空间,使得对每一个φ∈Cb.Lip(Rm)满足:若Y1,...,ym ∈(?),则有φ(Y1,...,Ym)∈(?)。下面,我们希望定义一个次线性期望E:(?)→R。然而,在Hn上En+1[·]≠En[·],这是因为在次线性期望下独立性的顺序是不可交换的。不过,通过下面的胎紧性引理,仍可以构造E:引理0.2.对每一个固定的n ≥ 1,令Fkn,κ ≥ n,为(?)在Eκ下的分布.从而{Fkn:k≥ n}是胎紧的.用这一引理来构造次线性期望E:(?)→ R.可得如下引理:引理0.3.设P = {i2-n:n≥1,0 ≤ i ≤ 2n}.那么存在一个次线性期望E:(?)->R满足如下条件:(1)对每一列(?);(2)对每一列(?)且(?).通过以上引理,最终完成了定理0.1的证明。进一步研究无穷个独立增量过程的乘积空间问题。首先,利用相容性构造非线性(resp.次线性)期望,结合对角线法则,将结论推广到可列个独立增量过程的乘积空间中,主要定理如下:定理0.2.令(Mti)t≥0,i≥ 1是定义在非线性(resp.次线性)期望空间(Ωi,Hi,(?)_i),i≥>1上满足假设的至多可列维独立增量过程,则存在非线性(resp.次线性)期望空间(Ω,H,E)及定义在其上的可列维独立增量过程(Mt1,Mt2,...,Mti,…)t≥0满足:(?)进一步,如果(Mti)t≥0,i ≥ 1是至多可列维平稳独立增量过程,则同理可得(Mt1,Mt2…,Mii,…)t≥0也是可列维平稳独立增量过程。进一步推广到不可列个独立增量过程的乘积空间问题,注意到对角线法则方法在不可列个独立增量过程的乘积空间问题上并不适用,因此无法利用之前的方法得到想用的结论。因此我们定义上独立增量过程,并进一步给出不可列维上独立增量过程的定义:给定非线性(resp.次线性)期望空间(Ω,H,E),X,y分别是其上的m-维和n-维随机向量,称Y上独立于X,若对任给的(?)φ∈Cb.Lip(Rm×n),都有给定非线性(resp.次线性)期望空间(Ω,H,E),(Xt)t≥0为此空间上的d-维随机过程,若对(?),都有Xt+s-Xt上独立于(Xt1,...,Xtm),则称(X不)t≥0为上独立增量过程。进一步的,若对(?)t≥ 0还有(?),则称(Xt)t≥0为平稳上独立增量过程。设(Mtλ)t≥0,λ ∈I是非线性(resp.次线性)期望空间(Ω,H,E)上的一族随机过程,其中,I为不可列集。如果对(?)都有(Mtλ1,Mtλ2,…,Mtλn)t≥0..,是n-维上独立增量过程,则称(Mtλ)t≥,λ ∈ 为不可列上独立增量过程。进一步的,若对(?),n,都有(Mtλ1,Mtλ2,...,Mtλn...,)t≥0是n-维平稳上独立增量过程,则称(Mtλ)t≥0 ∈ J为不可列平稳上独立增量过程。给出不可列个独立增量过程的乘积空间的主要定理:定理0.3.令(Mtλ)t≥0,λ∈I(其中I为不可列集)是一族定义在非线性(resp.次线性)空间(Ωλ,Hλ,Eλ)上的不可列个1-维独立增量过程,满足:(C1)存在次线性期望Eλ:Hλ →R分别控制Eλ,λ ∈I;(C2)对每个t ≥ 0,Mtλ的分布在Eλ下是胎紧的;对每个 t≥ 0,λ ∈I,有(?)则存在一个非线性(resp.次线性)期望空间(Ω,H,E),及定义在其上的不可列维上独立增量过程(Mtλ,λ∈I)t≥0满足:进一步,如果(Atλ)t≥0,λ ∈I是1-维平稳独立增量过程,则(Mtλ)t≥0,λ ∈I是不可列维平稳上独立增量过程。(二)BSDE随机控制及不完备市场资产定价本章主要研究带有广义效用泛函的FBSDE随机控制最大值原理问题及不完备市场定价问题。本章的结果主要出自:1)Gao Q,Yang S.Maximum principle for forward-backward SDEs with a general cost functional.International journal of control(2016):1-7.2)Gao Q,Yang S.Pricing of contingent claims in an incomplete market with finite state stochastic processes in discrete time,Completed Manuscript,1-10.本章主要有以下两部分内容:1.带有广义效用泛函的FBSDE随机控制最大值原理彭实戈院士([53],[29])第一次介绍了由倒向随机微分方程或正倒向随机微分方程驱动的最优控制问题,并得到了很多研究者的进一步推广,如Xu[57],Lim and Zhou[24],Shi and Wu[54]等。在[29]中,彭院士首次研究了如下正倒向随机微分方程系统的随机最优控制问题:其效用泛函为:事实上,上述效用泛函中的h(·)和γ(.)可能不仅仅依赖于终端条件(t=T)和起始条件(t = 0),通常情况下,还会依赖于全局时间条件(t ∈[0,T]).也就是说,效用泛函中h(·)和γ(.)不仅由起始和终端这两个特殊时间点决定,还依赖于更一般的全局时间条件。在本文中,我们会研究带有如下依赖于全局时间条件的广义效用泛函的正倒向随机系统的随机最大值原理,其中,注意到效用泛函(0.2)是上述广义效用泛函(0.3)的一个特殊形式,也就是说,广义效用泛函(0.3)考虑到了更一般的情况,是对经典随机控制问题的十分有意义的推广,而在本文之前,带有(0.3)形式广义效用泛函的控制系统的最大值原理问题还未被认真研究。利用Frechet导数的框架,可以构建一系列需要逐步求解的伴随方程,从而推导出相应的最大值原理。最大的难点在于如何得到对应的伴随方程。本文利用Riesz表示定理与Frechet导数的框架相结合,使Frechet导数Dxh(x[0,引)和Dxγ(y[0,T])可以被相对应的有限测度μ和β描述。将测度μ和β分解为连续部分和跳跃部分,可以构建一系列的伴随方程,并通过逐步解这些伴随方程得到相对应的最大值原理。并且为了更直观的展示本文研究的带有广义效用泛函的随机控制系统与经典情况的不同,本章最后通过简单的例子进行直观的展示。本章简要过程如下:令U为R上的非空凸子集.记u = {u(·)∈M2(R)|u(t)∈U,a.e.,a.s.}。令u(·)是一个最优控制,(x(·),y(·),z(·))为对应的轨道,记= u(·)+ρu(·),0 ≤ ρ ≤ 1,u(·)+ w(·)∈ u,.因为u是凸的,因此up∈u。引入变分方程,易知变分方程存在唯一解(∈(·),η(·),ζ<(·)),记(xρ(·),yρ(·),zρ(·))为所对应的轨道,并进一步可证明其收敛性质。进而在C([0,r])中给出Frehet导数的概念,并在Frechet导数的框架下,对于h(x[0,T]和γ(y[0,T),利用Riesz表示定理,在[0,T]上分别对应存在唯一有限 Borel 测度μ和 使得(?)η[0,T]∈C([0,T])因为μ和β是[0,T]上的有限测度,至多存在可数的正测度。将其记作为了得到最大值原理,引入下列形式的伴随方程,需要注意的是,在这种情况下,需要引入一系列伴随方程:其中μ'(t)是μ(t）的导数,li+是li的右极限,定义p(l1+)= 0,其中β'(t)是β(t)的导数,si是si的左极限,定义q(s1)= 0.可证存在一组(p(·),k(·),q(·))是伴随方程的解。又因为u(·)是一个最优控制,因此,可得如下变分不等式成立:如下定义汉密尔顿方程H:R×R×R×R×[0,r]->R:H(x,y,z,u,p,k,q,t)= pb(x,u,t)+ kσ(x,u,t)+ qg(x,y,z,u,t)+ f(x,y,z,u,t)相应的可以利用汉密尔顿方程改写伴随方程:因此可以得到主要定理,定理0.4.假设条件(i)-(iii)成立,今u(·)是一个最优控制并令(x(·),y(·),z(·))是相对应的轨道,则有2.不完备市场资产组合定价当市场完备时,每一个衍生品收益都可以被市场中的一个投资组合复制,其价格可以由完备市场无套利理论得出。而在不完备的市场中的定价问题较为复杂,本文运用随机控制的方式来研究最高价与最低价,利用有限时间有限状态过程下的广义Girsanov变换对未定权益或期权定价。本文的研究是对[35]中研究的进一步扩展。任一概率测度被称为一个P-鞅测度,如果在FT上等价于P并且其折现价格过程为鞅。我们将所有的P-鞅测度记作P。需要注意的是,在完备市场中,P = {Q},其折现过程唯一,存在唯一的自融资策略,定价可以通过无套利原则得出,衍生产品价格可以被基础产品的投资组合复制。而在不完备市场中,存在多个P-鞅测度,因此并不存在唯一的自融资策略,定价也难以通过无套利推导得出,市场存在多种报价(卖方报价,买方报价),需要关注的是市场的最大价格和最小价格。在完备市场中,对于给定的未定权益U,存在y≥0和投资组合策略ω满足如下方程其中y是t = 0的无套利价格。记M(t)=θ(t)+ M(t),则在不完备市场中U存在多种价格,t = 0,U的最小价格(下价格)为infP∈PEP(Ud),U的最大价格(上价格)为 suP∈PEP(Ud).利用最优控制方法我们可以对最小最大价格进行动态研究。U在时刻t的最大可能价格为J(t)=esssupλ∈(?)EPλ[Ud|Ft],其中Pλ表示所有满足如下形式的关于P的Girsanov变换的概率测度:其中,其具有以下性质:定义过程f(t):f(t)=A(t)-j(t),则f(t)是一个增过程,可得特别的,t=T时,有U在时刻的最小可能价格为K(t)= essin fv(?)Epv)[Ud|Ft],类似最大价格的推导可知,存在一个投资组合过程φ(t)和一个右连续减过程g(t,g(0)=0满足(叁)非线性期望下的SPAN保证金本章研究非线性期望理论在保证金计算中的应用。本部分结果出自:高强,杨淑振等.基于市场复杂性的新型保证金计算工具,第四届全国金融期货与期权研究大赛获奖论文(全国一等奖),1-46,2014.首先介绍了保证金制度和国际主流的保证金计算系统,并对国际上最成熟通用的保证金管理系统SPAN进行了深入分析,介绍了 SPAN保证金的计算原理:其最核心的价格侦测风险模块基于情景模拟法,预估未来标的价格和波动率的变化,将未来市场划分为16种可能情形,分别计算16种情形中的可能损失,取其中的最大值作为最大预期损失,以此制定相应的保证金标准。此外,SPAN保证金还包括跨月价差风险、交割月风险值、商品间价差折抵、空头期权最低风险值等。分析SPAN保证金的优缺点,指出其只计算了 16种情形,无法涵盖未来市场的多种可能性,并且理论基础是Black-Scholes公式,其假设波动率是一个常数,因此不能估计波动率不确定下的风险。进一步分析了国际上其他SPAN改进系统的改进原理并利用S&P500股指期权数据对标准SPAN系统(SPAN16)和改进SPAN系统(SPAN-44和SPAN-93)进行了实证分析比较,发现改进的SPAN保证金系统划分了更多种可能情形,在一定程度上更为准确的度量了风险,但是同时也加大了计算量,并且无法解决真实市场中波动率不确定性带来的风险。接下来介绍非线性期望理论中的叁个重要分布:最大分布,G-正态分布和G-分布,以及对应的叁个重要的随机过程:G-布朗运动,有界变差G-布朗运动和广义G-布朗运动,其增量过程分别服从之前的叁种分布,例如G-布朗运动的增量过程服从G-正态分布。其与金融市场不确定性有着直接的对应关系,G-正态分布、G-布朗运动与方差不确定性(波动率不确定性)直接相关,G-正态分布随机变量可表示为(?),Λ描述了X的方差不确定性,在一维情形下,(?),其中,(?),则方差(波动率)不确定性区间为[σ2,σ2]。最大分布、有界变差G-布朗运动与均值(收益率)不确定性直接相关,最大分布随机变量可记为(?)Θ描述了Y的均值不确定性程度,在一维情形下,(?),其中,μ=E[X],μ=-E[-X],均值不确定性区间为[μ,μ]。上面的两个分布可以非平凡地组合为一个新的分布,即G-分布,其对应广义G-布朗运动,与均值-方差不确定性(收益率-波动率不确定性)直接相关。由此,可以给出如下形式的几何G-布朗运动:dXs =uXsdηs + σXsdBs,Xt = x,其中ηt,≥ 0服从最大分布,Bt,t ≥ 0服从G-正态分布,且其终端支付函数为Φ(Xr)。定义风险为u(t,Xt):=E[-Φ(XT),其中u(t,Xt)为下面偏微分方程的解探讨其计算原理,考虑有界边值问题,通过标准的离散格式离散化上述方程给出上述方程的数值解法,并可以证明牛顿迭代的收敛性及全隐格式的收敛性。利用非线性期望理论改进SPAN保证金系统,给出波动率不确定性下的SPAN保证金计算方法:假设标的物(股票或者期货)Xt满足G-期望下的几何布朗运动:其中Bt,t≥ 0服从G-正态分布,且E[σ21]=σ2,E[-σ21]=-σ2.其终端支付函数为Φ(Xr)。定义风险u(t,Xt):=E[-Φ(XT)],其中u(t,Xt)为下面偏微分方程的解其中σ2=((σ+Δσ)2,σ2=(σ2=Δσ)2。则针对SPAN对于标的价格的可能变化情形:给出9种可能的变化,其中,波动率的可能变动范围在区间[σt-Δσ,σt+Δσ]内连续取值。取9种情况的最大值作为最大预期风险,将加入波动率不确定性的SPAN保证金称为G-SPAN-9。G-SPAN-9下收取保证金为:其中Pt是t时期的期权价格。同理,可以给出均值不确定性下的SPAN保证金计算方法和均值-波动率不确定性下的SPAN保证金。由于篇幅原因,这里只给出均值-波动率不确定性下的SPAN保证金计算方法:假设股票价格满足下面的随机微分方程dXs = uXsdηs + σXsdBs,X= x,其中ηt满足最大分布,Bt满足G-正态分布,且(?)(?)其终端支付函数为Φ(Xr)。定义风险:u(t,Xt):=E[-Φ(XT)],其中u(t,Xt)为下面偏微分方程的解(?)(?)其中(?)(?)因此,同时引入均值不确定性和波动率不确定性,只需计算一种情形,即可得到全面涵盖标的价格和波动率连续变化的风险值:价格变动 波动率变动 计算比例(?)其中 Δx = PSR,Δσ = VSR。此时G-期望下收取保证金为:ρt,T(Φ(XT))=Pt+E[-Φ(XT)]其中Pt是t时期的期权价格。只需进行一次运算,即可得到涵盖更全面风险的运算结果。利用S&P500期权数据进行实证分析,可知,利用非线性期望理论改进的G-SPAN保证金不仅运算次数更少,还更全面的考虑了价格和波动率不确定导致的风险,是一种准确快捷稳健的保证金计算方式。(四)金融市场的不确定性金融市场中的不确定性主要体现有:金融数据分布的不确定性;金融数据特征描述参数的不确定性;金融数据的模型不确定性。首先验证金融数据分布的不确定性,正态分布是金融市场中最重要的分布之一,很多金融研究都以正态分布假设为基石。金融数据分析中,常假设某个时间段内的金融数据服从同一分布,比如最常见的,假设资产收益率服从正态分布,现在我们选取最能代表金融市场数据特征的沪深300股指和相对应的沪深300股指期货数据进行实证检验。经过实际分析,按一天作为窗口长度进行正态检验,服从正态性假设的天数较少,股指只有不到20%,股指期货只有不到10%。若按一周为窗口长度进行验证,则服从正态分布的周数少于1%,由此可知,正态分布假设在金融市场中存在较大问题。实际上,不仅是正态分布假设难以成立,在实际的金融市场中,很难找出一种或者几种不同的分布,来准确描述经济、金融数据的分布。不同金融数据展现出不同的数据特征,即便是同一金融数据的背后,也可能来源于不同的经济、金融、社会原理的共同作用。因此,分布不确定性在金融中客观存在。除了分布的不确定性,描述数据特征的重要参数,比如均值(一阶矩)和方差(波动率、二阶矩),也存在不确定性,收益率和波动率亦存在相应的不确定性。分析沪深300股指和沪深300股指期货日收益率的均值和方差,可知其均值方差均存在不确定性,股指期货的变动幅度相较股指的变化更为剧烈,具有更大的不确定性。均值、方差的不确定性亦客观存在,一段时间内,均值和方差在一个范围内变化,当数据量足够大时,可以认为均值、方差在一个区间内连续变动。由此可知,金融数据存在分布不确定性和特征参数的不确定性,同一时间段内,同一经济现象所产生的数据,并不来自于同一分布,而是来自于不同分布,或者说,来自于一个不确定的分布族;其特征参数,比如均值和方差,也并不是确定的数值,而是在一个区间内连续变动。对均值不确定性进行深入研究,计算均值不确定性的变动区间。针对金融市场中重要的均值回归现象,研究均值不确定性下的均值回归模型。即均值并不是确定的定值,而是在一个区间内变动。因此,真正的均值回归,并不是围绕一条均线进行回归,而是围绕均值,在一个均值不确定性区间进行回归。这个均值不确定性区间,可以看作是合理价格区间,价格在这个区间内波动时,被认为是合理的,当价格偏离上界或下界时,价格会有向合理价格区间回归的趋势。设资产价格为X,其均值为μ,均值不确定性区间为[μ,μ],在经典均值回归模型中,当X<μ或X>μ时,价格会向μ回归。然而此时只有μ一个参数,无法确定具体的回归折点。而在均值不确定性框架下,价格围绕均值μ变动,在区间[μ,μ]中震荡都被认为未偏离均值,是合理的。当X<μ或X>μ时,认为价[μ,μ]偏离了均值,会向均值回归。由此构建投资策略,选用沪深300股指期货的次月和当月合约进行跨期套利。投资策略为:价差超过μ,卖近买远,空头开仓,价差回归到μ时平仓。当价格低于μ时,买近卖远,多头开仓,价差回归均值μ时平仓。此外,每笔损失超过止损线时提前平仓,每日结束时强行平仓。用2015年1月1日-2016年12月31日数据进行实证分析,用五个指标对策略进行评价:累计收益率、年化收益率、波动率、最大回撤及夏普率。深入研究金融市场实际情况,充分考虑金融市场流动性以及政策性限仓问题、交易手续费问题、交易延迟问题、止损问题和保证金问题。在比较接近实际金融市场的参数设置下(手续费为万分之1,每笔交易限制10手,每笔止损线10%),策略的累计收益为4倍左右,最大回撤仅为4%左右,夏普率接近6,表现亦十分优异。进一步分析我国沪深300股指期货金融市场的主要发展阶段,针对不同阶段的市场情况分析策略的可行性、适用性和稳定性,可知,该策略在大多数市场阶段均有良好表现。实证回测结果明显优于常见的其他均值回归策略。综上所述,均值不确定性下的均值回归策略在理论上更为合理,在实际模拟中收益较高,回撤较低,夏普率较高,策略表现优异,且在不同市场阶段均有不错的适应性。并且为投资者提供了更多种投资策略供其选择,是一种较为合理、稳定、灵活的优秀交易策略。
参考文献：
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