2009年高考数学创新型试题赏析，本文主要内容关键词为：试题论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
创新意识是人类意识活动中的一种积极的、富有成果性的表现形式，是人们进行创造活动的出发点和内在动力，是创造性思维和创造力的前提。因此，高考数学非常重视对创新意识的检测，常常会命制一些具有创新性的试题来考查学生对数学问题的理解、观察、探究、猜测、抽象、概括、证明、表述的能力和创新意识，有助于真正实施素质教育和创新教育。2009年高考数学的创新试题体现了“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的特点，有利于反映各个层次学生的数学学习水平和人才的选拔，是实现能力立意的平台与介质。下面分别对2009年部分高考数学探究意识型、归纳推理型、思想方法型、实际应用型、高数背景型、信息迁移型等创新型试题进行分析。
二、高考数学创新型试题赏析
1.探究意识型试题赏析
《全日制普通高中数学课程标准（实验）》倡导积极主动、勇于探索的学习方式。因而，在高考数学试题中相应的会出现一些富有探究意识型的试题，考查学生的探究意识和探究能力。这类试题牵涉的数学知识较为广泛，考查方式较为灵活，可能出现在各种题型中，立体几何中也不乏探究意识型试题。
例1 （2009年四川卷（理）第19题）如图1，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°。
图1
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
(3)求二面角F-BD-A的大小。
问题分析
(1)(3)分析从略，下面对(2)进行探讨。
思路1 本小题探索能否找到一条过点P和直线AE相交于M的直线，使得PM和平面BCE中一条直线平行。问题就在于所涉及的两条直线的不确定性。较为明显的是取AB的中点Q，则直线PQ∥CB，PQ虽不是所需的直线，但也找到了与平面BCE平行的直线，下面只需在直线AE上找到点M，使得QM∥平面BCE。实际上，点M即取AE的中点，然后论证PM∥平面BCE。
上边过程是一种“顺藤摸瓜”的探索过程，其实，由点P是线段CD的中点，凭借直觉思维可以判断，使得PM∥平面BCE的直线AE上的点M可能为线段的中点，这样将问题转化为在平面BCE中寻找一条直线，使得它与直线PM平行。如图2，分别取AE、BE的中点M、N，连接M、N，则易证四边形MPCN为平行四边形，由线面平行的判定定理可证得PM∥BCE。
图2
图3
思路2 向量是解决立体几何问题的得力工具。本题可以建立直角坐标系，利用向量来探索。因为直线EF⊥平面BCE（上问已证），且点P不在平面BCE内，所以，要判断是否存在点M，使得PM∥平面BCE，只需考查直线PM是否能垂直直线EF。易知，直线AD、AB、AE是两两互相垂直的位置关系，可建立如图3所示的直角坐标系A-xyz，由已知可得AD=AB=AE（长度设为1），则点P、E，F的坐标分别为
，E(0，0，1)，
，设点M的坐标为（0，0，λ），λ∈R，要使PM⊥EF，则利用
得到关系式，从而解得λ的值。
试题赏析 本题题干以线段、三角形（含等腰直角三角形）、平面四边形（含正方形）等几何图形构成的“线线”平行、“线线”垂直、“面面”垂直等空间形式和线段相等、角度定值的数量关系勾勒出空间模型，反映了点、线、面的“空间形式与数量关系”的一个静态立体场景。外观奇特，非同一般立体结构，有数学的奇异美；而三个小问要求探讨“线面”问题和二面角问题，其中既有定性探究问题（证明“线面”垂直）和定量探究问题（求二面角大小），也有非定性和非定量的存在性探究问题（第2小问）。三问的设计精巧，从“线面”问题到“面面”问题，由易到难，动静结合。试题既考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，也考查空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，还考查应用向量知识解决数学问题的能力，反映了考生理性思维的广度和深度，体现了自主学习和主动探究的精神，呈现出研究性学习的特点，是立体几何中不可多得的好题。
2.归纳推理型试题赏析
归纳法虽然是一种“似然”的“合情推理”，但这并不意味着归纳法的作用不大，实际上对于数学的发展和创新而言，归纳推理的巨大作用，是论证推理所无法代替的。牛顿说过：“没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。”在高考中通过给定特定的数学背景或若干个数学命题，要求通过观察、联想、类比、试验、统计等方法，捕捉它们的本质属性，从而大胆猜测，得出归纳判断，在这个基础上再设法加以论证。而对给定的数学背景时，又常以“链式图形”或“链式法则”的形式出现，即给出的模型从一个基本图形或基本式子开始按照某种规律演变，呈现环环相扣、层层渐变的形式。
例2 （湖北卷（理）第10题）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：
图4
他们研究过图4中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图5中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是
图5
试题赏析 此题选C。本题是以“链式图形”方式呈现试题情境，巧妙将数列问题融于其中，要求考生充分挖掘信息，根据图形规律归纳推理出数理关系。通过对图形的观察，经历尝试、判断、归纳、猜想与推证过程，考查了学生从特殊到一般的合情推理能力和数学形象思维与抽象思维，有效地检验了学生对数学问题的理解水平和数学素养。另外，本题堪称为一道“优美”试题，有深刻的背景和一些“优美”的推广，见文[1]。
例3 （2009年浙江卷（理）第15题）观察下列等式：
试题赏析 本题是以“链式法则”方式呈现试题情境，要求考生经历“观察——判断——尝试——归纳——验证”的思维过程，是考查归纳推理能力的典型题。
3.思想方法型试题赏析
数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，包含化归思想、分类思想、模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想等。而数学方法则是指从数学角度提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中所采用的各种方式、手段、途径等[2]。二者是紧密联系的，一般来说强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称为数学方法，因此，二者常常合称为数学思想方法。高考中对数学思想方法的考查占据了一个非常重要的地位，这类考查数学思想方法的试题称为思想方法型试题。
问题分析 从抛物线的定义可知：动点P到直线
的距离等于动点P到抛物线焦点的距离，因而将动点P到直线
和直线的距离之和转化为动点P到直线与到抛物线焦点的距离之和，使问题立即变得非常简单，避免了大量的计算。说明立足于教材，从定义入手，运用基本的思想方法也能解决一些灵活的问题。解略。
试题赏析 本题是将圆锥曲线、直线知识融于一体的好题，条件简单，题意分明，形数结合，动静相依，既考查学生基础知识，又检测学生数学思想方法的运用能力。
这种思想方法型试题可说较为普遍，解题过程中数学思想方法的使用至关重要，具有较强的灵活性，因而，常考常新，体现数学永不褪色的魅力。如四川卷（理）第16题考查了数形结合的数学思想和赋值法、代入法、特殊值法、反证法等数学基本方法。
4.实际应用型试题赏析
数学应用问题已成为每年高考数学的重头戏，试题背景一般是贴近生活、贴近学生实际、贴近课本等的素材，让考生真实感受数学应用的广泛性、工具性和实用性，促使教学上重视数学内涵和数学的教育功能。
例5 （2009年宁夏卷（理）第17题）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M，N在同一个铅垂平面内（如示意图6），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤。
图6
试题解析：
方案1 ①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角
；B点到M、N的俯角
；A、B的距离d（如图7所示）。
图7
②第一步：计算AM。由正弦定理
方案2 与方案一类似，测量数据相同，三步计算的量分别改为计算BM、BN、MN。
试题赏析 本题以测量两山顶间距离为背景，开放性的设问，有一定的新颖性。考查学生三角基础知识的灵活应用、动手实践能力，以及创造性思维和创新意识水平。这类试题在各年高考中都有出现，今后仍有增加趋势。
5.高数背景型试题赏析
高考数学试题中有一些以高等数学为背景的问题（高数背景型试题）。它不仅实现了高等数学与初等数学的接轨，还间接渗透新课程改革的理念。这对学生能力的要求较高，能有效地考查学生的思维能力和进入高校继续学习数学的潜能，有利于高校公平地选拔人才，完全符合考纲“背景公平”的原则。
在解决以高等数学为背景的问题中，需要具备一定的阅读理解能力，而学生的这种能力相对较弱。会做题而不会读书是目前数学教育中存在的一个突出问题。数学阅读理解能力将为学生终身学习奠定基础[3]。这种能力包括提炼、加工信息，对内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后运用新的知识通过分析、演算、归纳、猜想、类比或论证等方法解决一些新的数学问题，包括以高等数学为背景的试题。
例6 （2009年广东卷（文）第10题）广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是
ABCDE
A05456
B50762
C4709
8.6
D56905
E62
8.6
50
A.20.6B.21C.22D.23.
试题解析 由题意知，所有可能路线有6种：
①M→B→C→D→E，②A→B→D→C→E，
③A→C→B→D→E，④A→C→D→B→E，
⑤A→D→B→C→E，⑥A→D→C→B→E。
其中，路线④的距离最短，最短路线距离等于4+9+6+2=21，故选B。
试题赏析 本题把广州2010年亚运会火炬传递这一身边实际联系起来，富有趣味性，以类似矩阵问题为背景，考查排列组合知识、直觉观察意识和优化思想。解决这类问题虽没有现成的套路和招式，但也不用新奇的方法，只要牢牢把握试题意图，运用所学知识从三个方面入手可以解决问题：
(1)从给出的定义出发进行求解；
(2)对于所有可能的现象进行列举；
(3)充分运用题中的条件进行转化化简，即对所求解的问题进行转化。
6.信息迁移型试题赏析
信息迁移题通常以自定义某些信息，要求考生根据信息解决某种问题，这些信息通常包括新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等[4]，而定义的形式通常有：自定义新函数型，自定义新运算型，自定义新概念型，拓展推广型等[5]。解决这类试题需要考生对知识有迁移能力，具备一定的创新
(1)如果函数f(x)在x=1处有极值
，试确定b、c的值；
(2)求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
(3)记g(x)=｜f′(x)｜(-1≤x≤1)的最大值为M。若M≥k对任意的b、c恒成立，试示k的最大值。
试题解析略。
试题赏析 本题属于自定义新运算型的信息迁移型创新试题，具有立意新、形式新、设问巧的特点，考查学生阅读理解能力、抽象与具体转化能力和综合利用数学思想方法解决问题的能力，是一道能有效考查学生创新能力和进一步学习数学的潜质的好题。这类题还有，比如上海卷（理）第22题是自定义新概念型试题。今后高考题中也还会出现这类题。
高考数学是对一个学生数学水平的全方位考查，涉及的知识面广，教师不可能在教学中把所有题型逐个介绍。因此，注重对学生数学素养的培养非常有必要，以此提高学生解决问题的能力。教师在教学过程中应该注意重视思想方法的培养、重视阅读材料的学习、倡导探究性学习方式、研究教材和考试大纲，充分培养学生学习能力和创新意识。