邵长英, 黄力人[1]2002年在《变分不等式问题与无约束最优化问题》文中研究说明在Banach空间中研究了变分不等式问题 (VIP) ,得到了变分不等式问题与无约束最优化问题的等价性 ,该结果是 [4 ,Th3.2 ]的推广 .
袁泉[2]2002年在《隐互补问题》文中研究说明首先通过线性规划、二次规划等最优化问题引出了文章要解决的对象。讨论了各种互补问题如何应用于最优化问题中，通过线性互补问题与非线性互补问题，引入了隐互补问题。 在得出隐互补问题的一般形式后，文章讨论了利用各种方法来解决隐互补问题。第一种方法利用互补函数将隐互补问题转化为约束最优化问题和无约束最优化问题，在无约束最优化问题中，讨论了在何种条件下局部极小点成为隐互补问题的解，解决了解的唯一性；在约束最优化问题中，讨论了在何种条件下KKT点是隐互补问题的解。第二种方法利用投影算子与正切投影对隐互补问题进行转化，解决了解的存在性。 在一定的条件下，隐互补问题与广义的变分不等式是等价的，利用KKM定理对广义的变分不等式进行讨论，得到了解的存在性条件，进而得到了新的有关非线性互补问题的结果。
屈彪[3]2002年在《非线性最优化问题中若干重要算法的理论研究》文中研究表明本文主要是对非线性最优化问题中的若干重要算法的理论分析作了探讨，包括约束最优化问题中的梯度投影方法以及求解变分不等式和互补问题的几类算法，主要是集中在这几种算法的收敛性分析上。 第一章是绪论部分，简单介绍了变分不等式与互补问题，本文所研究的内容，以及本文的主要工作。 第二章研究了通过广义D-间隙函数求解变分不等式问题的一种方法的收敛性和误差界估计。我们知道，通过广义D-间隙函数，可以将变分不等式问题转化为一个无约束极小化问题。近来，Peng和Fukushima提出了一种混合Newton类型的方法来极小化一个特殊的广义D-间隙函数，在本章中，我们将这种方法用来极小化一般形式的广义D-间隙函数g_(αβ)。我们证明了算法具有更强的收敛性质。在合适的条件下，证明了算法的全局收敛性和局部二次收敛性。更进一步，当广义D-间隙函数g_(αβ)中的参数β取值于某一区间时，证明了函数g_(αβ)对于强单调变分不等式而言，具有有界的水平集，同时，给出了算法的一个误差界估计，它部分回答了Yamashita等人提出的一个问题。 第叁章对求解互补问题的阻尼Gauss-Newton方法作了研究，这种方法最早是由Subramanian提出的。本章主要研究了阻尼Gauss-Newton方法的全局收敛性，在较弱的条件下，获得了一个更强的全局收敛结果，该结果推广了相应文献中算法的全局收敛性结果。同时，我们给出了一种不需要线性搜索的新的步长选择方法，研究了在此步长规则下的阻尼Gauss-Newton方法，得到了一个更好的全局收敛结果。 第四章对求解互补问题的可微的无约束优化法作了研究。在将互补问题转化为一个无约束优化问题的基础上，给出了一种求解互补问题的混合方法，证明了该算法的全局收敛性。 第五章研究了求解约束最优化问题的梯度投影方法，在步长的选取时采用了一种新的策略，这种策略不需要进行传统的线搜索且包含步长取常数这种特例，在较弱的条件下，证明了梯度投影方法的全局收敛性。进一步给出了目标函数f(x)是凸函数和拟凸函数时的更强的收敛性结果。第六章是结论部分，主要对本论文的内容作了简单的概括和分析。
王海军[4]2012年在《最优化问题的对偶理论与适定性研究》文中研究指明对偶理论是最优化问题研究的重要内容，在讨论最优化问题的最优性条件、设计算法等方面有着重要的作用。本文我们主要研究了分式规划问题和向量优化问题的共轭对偶以及极小极大分式规划问题的二阶对偶。同时我们讨论了拟似变分不等式问题的参数适定性。在第2章中，我们讨论一类目标函数是DC函数（凸函数之差）之比，约束条件是有限多个DC函数的不等式约束的分式规划问题。利用Dinkelbach变换将分式规划问题转化为相应的目标函数是DC函数，约束条件是有限多个DC不等式约束的DC规划问题，然后利用共轭对偶的方法构造了该DC规划问题的Fenchel-Lagrange对偶问题，并且在广义内点的约束规则下证明了弱对偶和强对偶定理。应用对偶定理，我们得到了分式规划问题的Farkas型结论，进一步利用相关共轭函数的上境图给出了Farkas型结论的等价表达。在第3章中，我们研究向量优化问题的共轭对偶。一方面，利用凸标量优化问题的共轭对偶方法，构造多目标双层优化问题的两种对偶模型，并且基于原问题的真有效解和弱有效解的概念分别得到了原问题与对偶问题之间的弱对偶和强对偶定理。另一方面，我们利用集值映射的ε-共轭映射的概念，给出了集值优化问题的共轭对偶模型，证明了原问题与对偶问题之间的弱对偶和强对偶定理，并且引入原问题的新的Lagrange函数，得到了ε-鞍点存在的充分必要条件。在第4章中，我们讨论极小极大分式规划问题的二阶对偶。首先引入一类广义二阶凸函数的概念（即二阶(F,α,ρ,d,p)-univex函数）。通过实例说明它是已有文献中的若干二阶凸函数概念的推广。在第2节中，考虑了可微极小极大分式规划问题的两种对偶问题，在相应函数是广义二阶凸的条件下得到了原问题与对偶问题之间的二阶弱对偶、强对偶和严格逆对偶定理。在第3节中，考虑了不可微极小极大分式规划问题的两种对偶问题，得到了相应的二阶对偶定理。在第5章中，我们在Banach空间中讨论拟似变分不等式问题的参数适定性。引入了拟似变分不等式问题的参数适定性和广义参数适定性的概念，首先建立了拟似变分不等式问题的参数适定性的度量刻画，并且在一定条件下证明了拟似变分不等式问题的参数适定性等价于它的解的存在性和唯一性。然后利用逼近解集的非紧测度给出了拟似变分不等式问题的广义参数适定性的充分必要条件。
赵文玲[5]2007年在《约束优化问题的一类罚函数方法与误差界理论及其应用》文中指出本论文主要研究了约束最优化问题中一类光滑罚算法的收敛性和有限终止性与用信赖域方法和序列二次规划(SQP)方法的子问题定义的价值函数为投影梯度以及可行解至最优解集的距离提供了误差界，进一步，研究了可行解点列的收敛性和有限终止性．取得的主要结果可概括如下：1．第2章对约束最优化问题(NP)给出了一类光滑罚算法．它是基于一类逼近l_1精确罚函数的光滑罚函数而提出的．这个算法的特点是每次迭代求出罚函数的全局精确解或者非精确解，在很弱的条件下算法总是可行的．在不需要任何约束规范的情况下，证明了算法的全局收敛性，即算法产生的点列的任一聚点都是问题(NP)的最优解．进一步，证明了算法的一个摄动定理，即算法产生的问题(NP)目标函数值序列的极限存在且等于(NP)的摄动函数在零点的极限．由这个定理可得出一系列有用的推论．特别是推出了问题(NP)的目标函数值序列收敛于问题(NP)最优值的充分与必要条件是摄动函数在零点下半连续．由于摄动函数仅与问题(NP)有关，因此这个结果可以预先用来有效地判断算法是否收敛．我们不仅证明了在Mangasarian-Fromovitz约束规范成立的假设条件下，经过有限次迭代后所有迭代点是可行解，而且还给出了它的必要条件．最后，分别在问题(NP)的解集是非退化与弱强极小的假设下，证明了算法在有限次迭代后，它的所有迭代点的梯度投影将终止于问题(NP)的最优解，并进行了数值试验，试验结果验证了算法2．1产生的迭代点列{x_k}的全局收敛性与在可行域上的投影梯度(?)_k=P(x_k-▽f(x_k)|S_0)的有限终止性．2．第3章在约束最优化问题(NP)中，分别利用信赖域方法中的两种信赖域子问题定义了两种价值函数Φ(x，△)和(?)(x，△)，这两种价值函数与先前文献中正则间隙函数(也是一种价值函数)有些不同，它们不是在可行解集S上产生，而分别是在给定点x∈S处约束函数和积极约束函数线性化后的多面体的一个信赖域上产生的．并研究了这两种价值函数的性质，这些性质将为下一章讨论的误差界奠定基础．关于价值函数的水平集的有界性的条件，在以往的文献中一般都要求相应的映射是强单调的．最近，某文献引入了比强单调相对弱的条件，即强强制性条件，在此条件下证明了变分不等式中自然剩余函数的水平集是有界的．但是对于本文中的价值函数Φ(x，△)和(?)(x，△)来说，它的水平集的有界性，只需▽f(x)满足弱强制性条件．3．第4章利用第3章所定义的两种价值函数Φ(x，△)和(?)(x，△)，提供了几类误差界．利用价值函数(?)(x，△)分别为投影梯度提供了一个全局误差界和可行解至最优解集距离提供了一个局部误差界；利用价值函数Φ(x，△)分别在强单调和单调的条件下，为可行解至最优解集距离提供了一个全局误差界和一个局部误差界．4．第5章利用第4章给出的误差界，对可行解点列{x_k，△_k}(其中，x_k∈S，△_k是子问题(QP(x_k，△_k))或((?)(x_k，△_k))中在点x_k处的信赖域半径)的收敛性与有限识别进行了分析．具体来讲，从所得误差界中提出了两个特征函数Ψ(x，△)=max{Φ(x，△)~(1/2)，(Φ(x,Δ))/Δ}和(?)(x，△)=max{(?)(x，△)~(1/2)，((?)(x,Δ))/Δ}，分别在几种不同的情况下证明了，当Ψ(x_k，△_k)或(?)(x_k，△_k)收敛于零时，可行解点列{x_k，△_k}的聚点将分别是问题(NP)的稳定点、K-T点与最优解和当K-T点是可行解点列的聚点时，也有Φ(x_k，△_k)收敛于零；对于有限终止性，我们注意到它在凸最优化问题中已经得到广泛的研究，一些文献分别在解集满足弱强极小和非退化的条件下研究了可行解点列的有限终止性，并得到了很好的结果．为了对更一般的最优化问题研究它的可行解点列的有限终止性，我们在本章第叁节中，先对上述两个条件进行了较为详细的分析与比较，并进行了某种推广．最后，分别在广义非退化以及广义弱强极小的条件下，证明了(?)(x_k，△_k)收敛于零是可行解点列有限终止于K-T点的充要条件和有限终止于稳定点的充分条件，它们改进和简化了已有的相应结果．5．第六章，利用序列二次规划(SQP)方法的子问题定义了它的价值函数，给出了类似于信赖域子问题定义的价值函数所具有的性质和应用，并说明这些结果可应用到变分不等式中．
唐国吉[6]2006年在《邻近点算法及其在最优化问题中的应用》文中研究说明本文主要研究用邻近点算法求解集值映射方程，变分不等式问题和最优化化问题。本文具体安排如下： 第一章简要介绍了邻近点算法的基本框架和研究现状，最优化问题和变分不等式问题的背景和研究现状，以及本文需要用到的一些基本概念和引理。 第二章我们在R~n空间中研究求解集值方程0∈T(x)的邻近点算法，其中T：R~b→2~(R~n)是集值伪单调算子。目前尚未发现有文献研究集值伪单调算子零点的算法。我们的算法如下： 算法2．1 步1．x~0∈R~n为初始向量， 步2．给定x~κ及β_κ∈[β，∞)(β＞0)，求于(?)~κ，e~κ满足其中e~κ表示误差，满足 步3．若(?)~κ=x~κ，停止；否则令转第2步。 我们对文[11]的算法进行了修改，文[11]的步3中是令x~(κ+1)=P_K((?)~κ-e~κ)，其中K为T的定义域，P_K(·)表示K上的投影算子。我们不需要取投影，这较大的减少了计算量。且文『11]是研究极大单调算子的零点问题。此外，我们在较弱的生长条件下证明了算法2．1的超线性收敛率。
邵长英[7]2002年在《变分不等式问题与无约束最优化问题》文中进行了进一步梳理我们在Banach空间X上研究变分不等式问题(VIP)，推广了N.Yamashita等作者在[4]中于R~n上的结果，同时在X上构造了—个与变分不等式问题等价的最优化问题，从而使我们可以应用迭代法去求变分不等式的解．最后给出了一个求解的下降法，并考察了最优化问题的误差界问题，以分析迭代法的收敛性．
郑超[8]2013年在《一类F-互补问题的算法设计》文中指出F-互补问题是经典互补问题经函数F扰动后产生的一类问题，它来源于最优化理论与算法且广泛的应用于优化问题以及弹性塑料等领域.由于F-互补问题是经典互补问题的扰动形式，故研究F-互补问题的理论与算法对统一经典互补问题解的存在性与稳定性、构造算法都大有裨益.本文主要设计了F-互补问题的多类算法.首先，利用F-互补问题与混合变分不等式问题在一定条件下的等价性和混合变分不等式问题与最优化问题的等价性，在扰动函数是光滑函数的情况下，分别用极限的定义和Bregman距离证明了F-互补问题与一个经典变分不等式问题的等价性，设计了单调F-互补问题的邻近点算法，证明了该算法的收敛性以及收敛速度，并证明了凸多面体上的这个经典变分不等式问题与经典互补问题的等价性.其次，在扰动函数非光滑的情况下，给出了F-互补问题的一个最优性条件，设计了这类F-互补问题的次梯度算法，证明了该算法的收敛性.最后，设计了一类单调F-互补问题的预测-校正算法，证明了该算法的可行性和收敛性，并通过一个数值试验说明了这种算法的有效性.
许任飞[9]2005年在《具有奇异解的无约束最优化问题和非线性方程组的牛顿法》文中指出本文研究有奇异解的无约束优化问题和非单调非线性方组程的牛顿型混合法。 对有奇异解的无约束优化问题,由于该类问题目标函数的Hessian阵可能奇异,牛顿方程可能无解或有解但解使得目标函数不充分下降。我们在正则化牛顿法的基础上,当由不精确牛顿方程产生的方向不是目标函数的下降方向时,采用最速下降方向取代正则化牛顿方向,提出了一种最速下降—正则化牛顿型混合算法。在较弱的条件下证明算法的全局收敛性。而且,我们证明,经过一定迭代步后,这种混合算法还原为正则化牛顿法。因此,算法具有二次收敛性。 对非单调非线性方程组,我们也提出了一种结合了牛顿法、梯度以及投影等混合算法。该算法首先解牛顿方程,当牛顿方程无解时,采用最速下降方向取代牛顿方向,利用线搜索构造一超平面分离当前点与解集,再利用投影当前点到此超平面产生下一迭代点。在不增加正则性条件的假设下,我们证明算法产生的整个迭代序列收敛于问题的解。并且,在标准假设下,得到算法的超线性收敛性。
朱莉[10]2012年在《广义混合变分不等式和最优化问题的Levitin-Polyak适定性》文中提出本文主要研究广义混合变分不等式的Levitin-Polyak适定性以及向量优化问题Levitin-Polyak适定性的纯量化方法.第一章研究广义混合变分不等式的Levitin-Polyak适定性.通过构建广义混合变分不等式的gap函数,利用gap函数的性质证明了广义混合变分不等式的Levitin-Polyak适定性与其相应的gap函数定义的极小化问题的Levitin-Polyak适定性之间的等价关系.同时探讨了广义混合变分不等式Levitin-Polyak适定性的充分必要条件及Levitin-Polyak适定性的Furi-Vignoli型度量性质.第二章研究广义向量混合变分不等式的Levitin-Polyak适定性.首先构建了广义向量混合变分不等式的Levitin-Polyak-a近似序列及gap函数.接着,证明了广义向量混合变分不等式问题与其相应的gap函数定义的优化问题是同解的,进而推导出广义向量混合变分不等式的Levitin-Polyak适定性与由相应的gap函数定义的优化问题的Levitin-Polyak适定性之间是等价的.最后,获得了广义向量混合变分不等式Levitin-Polyak适定性的充分必要条件及Levitin-Polyak适定性的Furi-Vignoli型度量性质.第叁章,我们探讨了向量优化问题Levitin-Polyak适定性的纯量化方法,运用一类非线性的纯量函数证明了向量优化问题与相应的纯量优化问题Levitin-Polyak适定性的等价关系.
参考文献：
[1]. 变分不等式问题与无约束最优化问题[J]. 邵长英, 黄力人. 海南师范学院学报(自然科学版). 2002
[2]. 隐互补问题[D]. 袁泉. 南京航空航天大学. 2002
[3]. 非线性最优化问题中若干重要算法的理论研究[D]. 屈彪. 大连理工大学. 2002
[4]. 最优化问题的对偶理论与适定性研究[D]. 王海军. 北京工业大学. 2012
[5]. 约束优化问题的一类罚函数方法与误差界理论及其应用[D]. 赵文玲. 大连理工大学. 2007
[6]. 邻近点算法及其在最优化问题中的应用[D]. 唐国吉. 广西师范大学. 2006
[7]. 变分不等式问题与无约束最优化问题[D]. 邵长英. 华南师范大学. 2002
[8]. 一类F-互补问题的算法设计[D]. 郑超. 南京航空航天大学. 2013
[9]. 具有奇异解的无约束最优化问题和非线性方程组的牛顿法[D]. 许任飞. 湖南大学. 2005
[10]. 广义混合变分不等式和最优化问题的Levitin-Polyak适定性[D]. 朱莉. 四川师范大学. 2012