L≤233 vy过程驱动的非高斯OU随机波模型及其贝叶斯参数统计推断方法研究_贝叶斯论文

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      1 引言

      连续时间随机波动模型在数理金融中得到广泛应用，已经成为期权定价、资产配置和期限结构理论研究的基础。尽管Barndorff-Nielsen和Shephard[1-2]提出的随机波动模型具有吸引力，但是这类模型的统计推断非常复杂，传统关于连续时间模型的极大似然统计推断方法很难应用。Eraker[3]，Elerian、Chib和Shephard[4]，Jones[5]最早开始采用贝叶斯方法对连续时间金融模型的统计推断问题进行研究，他们采用仿真的高频数据，基于数据增加（Data Augmentation）马尔科夫（MCMC）方法进行参数估计。但Roberts和Stramer[6]指出这样的数据增加方法可能导致MCMC算法的较差收敛性，提出对缺失数据参数化的估计方法。Li Haitao，Wells和Yu[7]设计了关于无限活动Lévy过程的MCMC估计方法，但是其随机波动率还是由高斯驱动或扩散项驱动。朱慧明等[8]针对跳跃厚尾SV模型进行了贝叶斯分析，通过对模型的状态空间转换，设计了模型参数估计的MCMC算法。Roberts等[9]，Griffin和Steel[10]也设计了关于OU过程的MCMC估计方法，但是由于参数之间互相更新速度较慢，标准的MCMC很难应用。由于参数和潜在变量高度相关，未观测波动率模型的贝叶斯统计推断非常复杂。由于随机抽样过度以其他参数或状态变量为条件（Overconditioning），通常以波动率过程为条件的Gibbs参数更新会使算法效率很低，在随机波动率过程和参数同时更新中不可避免。如果采用Metropolis-Hastings，为了提高收敛效率，需选择相关的M-H改进算法（回顾抽样算法和含有包络拒绝的M-H算法等），进行抽样更新参数。同时，为了得到合理的接受概率，建议过程必须与参数和数据一致。在基于贝叶斯统计的参数估计中，传统MCMC算法不能解决参数估计中后验分布可能出现的维度变化问题。因此Green[11]提出了RJMCMC算法（Reversible Jump MCMC）算法解决贝叶斯参数估计中的维度变化问题。在此基础上，Roberts等[9]，Griffin和Steel[10]提出了RJMCMC算法的改进算法。Roberts等[9]建议采用Lévy过程驱动的回顾抽样（Retrospective Sampling）方法，通过使用重新参数化来减少数据和过程之间的相关性。Griffin和Steel[10]建议使用依赖削减抽样方法（Dependent Thinning），该方法限制建议过程变化在相对小的跳跃范围内。Roberts等[9]、Griffin和Steel[10]、Griffin和Steel[12]采用MCMC方法对于具有Gamma边缘分布的非高斯OU随机波动模型进行统计推断，发现该模型比传统高斯分布驱动的OU随机波动率模型更能反映现实金融资产收益率的统计特征。但是，Gamma边缘分布只是Lévy过程的一个特例，没有理论和实证表明驱动因子选择Gamma边缘分布是最佳的选择。建立由不同Lévy驱动，并对具有不同类型Lévy边缘分布的非高斯OU随机波动模型进行统计推断，以及通过金融市场真实数据来对不同Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动率模型进行评价和比较的研究还很少。

      为此，本文将对Barndorff-Nielsen和Shephard[1-2]提出的非高斯OU模型进行扩展，在收益中加入跳跃项，同时考虑金融时间序列的“杠杆效应”等，建立由不同Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型。在此基础上，设计一种关于Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型的贝叶斯统计推断方法。

      2 Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型

      Barndorff-Nielsen和Shephard[1-2]提出了基于平稳非高斯OU过程（The Non-Gaussian Ornstein Process）的随机波动率模型，其随机微分方程形式为：

      

      其中λ＞0，控制波动率中跳跃发生速度和跳跃衰减速度。Barndorff-Nielsen和Shephard[1]证明任何关于

(t)自可分解（Self-Decomposable）的边缘分布能由平稳OU过程和某个Lévy过程z（t）组合在一起表示。z（t）的Lévy-Khintchine表达式中的Lévy测度表示为W，其在原点不能取值，并且满足：

      

      z（t）的Lévy密度w和

(t)的Lévy密度u由下面给出：

      

      

      

      证明：略（详细过程和作者联系）。

      

      u（x）积分形式复杂，很难得到确定的解析形式，本文使用Gaussian Quadrature方法得到u(x)数值表达形式，即定理2。

      

      证明：略（详细过程和作者联系）。

      Barndorff-Nielsen和Shephard[1-2]认为通过把具有不同衰减率λ的独立OU过程进行叠加可以更好的拟合金融时间序列实际波动率。这里面具有不同衰减率λ的波动率成分可能代表波动率的不同期限结构变化和反映的不同风险发生、以及异质信息到达等。这对于研究利率期限结构、风险因子和资产定价具有重要意义。当m→∞时，通过选择不同的权重和不同衰减率λ的独立OU过程进行叠加，可以构造具有长记忆过程或伪长记忆（Long Range or Quasi Long Range Dependence）特征波动率过程。令

(t)是衰减率为λ的非高斯OU过程，那么连续叠加模型的瞬时波动率为：

      

      其中F为λ的概率分布，即混合分布（Mixing Distribution）。选取不同的分布函数F可以产生不同形式的自相关函数，本文与Barndorff-Nielsen[15]的研究一样，选择Gamma（α，φ）作为混合分布，得到自相关函数为：

      

      其中，如果α＜1，则对应的长记忆Hurst系数为

。

      金融资产的价格有时会产生跳跃，可以利用强度为

的独立复合泊松过程表示价格中跳跃的发生，并且假设跳跃尺度服从

分布，收益率模型为：

      

      3 模型的散粒噪声（Shot-Noise）表现方式与近似

      Barndorff-Nielsen和Shephard[1-2]证明了满足式（1）的平稳OU过程边缘分布是自可分解的（Self-Decomposable）。如果此分布的Lévy密度具有有限的积分，则背景Lévy驱动过程（Background Driving Lévy Process，BDLP）是一个复合泊松过程，即：

      

      Cox和Isham[16]认为对应的

(t)是一个散射噪音马尔科夫过程（Shot Noise Markov Process）（T，J），即：

      

      可以利用式（13）得到的单个OU过程散射噪声表示方法，推导出连续叠加波动率过程的散粒噪声（Shot-Noise）表现形式，若混合分布F的概率密度为f（λ），则：

      

      

      

      对于

(t)服从GIG过程，同理可得：

      

      连续叠加模型的积分波动率：

      

      则考虑波动率在单位时间内的增量

(真实波动率)表达式为无穷部分的和，因此必须对该求和公式进行截断，近似表达式如下：

      

      如果截断值选择的较大，则会删除过多的信息，对结果产生显著的截断错误，因此我们选择B是一个远小于零的实数。

      4 连续叠加Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型扩展

      Black[17]和Nelson[18]研究发现股票价格下降会导致波动率的上升，将收益率和波动率之间的负相关性称为“杠杆效用”。Barndorff-Nielsen和Shephard[1-2]在非高斯OU过程的随机波动率模型中引入“杠杆效用”，对式（10）收益率模型加入“杠杆效用”后的模型为：

      

      则在时间长度Δ内的收益率

服从的分布为：

      

      定理3：对于

(t)服从GIG分布，则：

      

      证明：略（详细过程和作者联系）。

      定理4：对于

(t)服从CGMY分布，则：

      

      证明：略（详细过程和作者联系）。

      5 模型状态和参数的马尔科夫蒙特卡洛估计方法

      Roberts等[9]，Griffin和Steel[10]已经设计了关于OU过程的MCMC估计方法。但是由于λ、v之间互相更新速度较慢，标准的MCMC很难应用。随着联合更新过程z和λ或v，这种问题变得更突出。为此，Roberts等[9]建议采用z的回顾抽样（Retrospective Sampling）方法，通过使用重新参数化来减少数据和过程之间的相关性。Griffin和Steel[10]建议使用依赖削减抽样方法（Dependent Thinning），该方法限制建议过程变化在相对小的跳跃范围内。本文研究如何把这些方法扩展到连续叠加的Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型中。模型参数的先验分布略。

      

      

      

      

      则对于

服从CGMY过程时，对应的参数的后验分布为：

      

      

      证明：略（详细过程和作者联系）。

      

      证明：略（详细过程和作者联系）。同时，本文使用改进的RJMCMC算法处理含有跳跃截断的部分参数估计，由于篇幅所限，略去为参数的后验分布建立M-H抽样所采用的参数拟合方法具体过程（详细请和作者联系）。

      6 实证研究

      6.1 数据描述

      本文选取上证指数1998.1.1至2014.5.23期间，共大约3900个数据作为样本。上证指数在样本期内确实存在较大跳跃，如（第500个交易日附近，第1000个交易日附近以及第2500个交易日附近均存在较大跳跃）。在考察时间区间内，所有股票的日收益率分布的峰度均偏离正态分布的峰值3和偏度0，同时指数出现了较大的极端值，表明收益率过程发生较大的跳跃。

      6.2 模型估计与分析

      我们分别利用Gamma、CGMY，GIG过程驱动下的非高斯OU过程，同时考虑在收益率中是否否加入跳跃项

得到六个随机波动率模型，（Gamma-OU，CGMY-OU，GIG-OU，Gamma-OU-

，CGMY-OU-

，GIU-OU-

）。利用RJMCMC算法进行参数估计。在实际运算中发现，模型参数在2500次后趋于稳定，因此可以燃烧掉初始3000次迭代后运算50000次，得到参数值如表1所示。

      

      由表1的参数估计结果可以发现以下：

      （1）六个模型几乎全部参数的标准差在0.5以下，说明参数的波动幅度较小，基本达到稳定状态。（2）六个模型的杠杆效用均比较明显，六个模型的杠杆指数ρ均为负，但不同模型的参数ρ有很大变化，Gamma分布驱动下的Gamma-OU与Gamma OU-

模型的ρ值绝对值远大于其他四个模型。这表明Gamma过程驱动的模型具有更强的杠杆效用。（3）由前文可知衰减率均值E[λ]=α/φ，则由表2（见第107页）中α与φ的后验分布均值可得六个模型衰减率λ的均值分别：0.1431、0.2385、1.8438、0.0149、0.9817、0.1239。由此可以看出，无论是收益率中有无跳跃，Gamma分布驱动下的衰减率均值均要小于另外两个无限跳跃的Lévy过程驱动下的模型。（4）模型各参数样本轨迹和后验分布核密度图可知，参数后验分布已经趋于稳定并具有明显的单峰特征，说明利用后验均值来估计模型参数是合理的。

      6.3 波动率跳跃和收益率跳跃分析

      由下页图1、图2提供的实证结果中容易发现，在第400个交易日左右，第1000个交易日左右以及第2500个的交易日左右的时间区间内波动率与收益率均出现较大的跳跃。由图2可以发现，对于不含有收益率跳跃的三个模型Gamma-OU，CGMYOU和GIG-OU，波动率跳跃幅度远大于含有收益率跳跃的三个模型，这可能是因为不含收益率跳跃的模型中的跳跃完全由波动率跳跃刻画。而Gamma分布驱动下的两个模型含有的波动率跳跃个数要多于CGMY、GIG分布驱动下的波动率跳跃个数，这可能是因为CGMY、GIG分布驱动下随机波动率模型的散粒噪声（Shot-Noise）表现方式与近似对小于ε但对计算结果影响不大的小跳跃进行了截断。同时Gamma分布驱动下的两个模型具有更多的中间尺度跳跃（跳跃幅度在0.5～1之间的跳跃）。由图1描绘的波动率图可以发现，相对于Gamma分布和GIG分布驱动下的模型，CGMY过程驱动下的两个模型的估计波动率更加平滑，趋势性更强。观察含有收益率跳跃的三个模型的收益率跳跃分布同样可以发现，Gamma-OU-

模型收益率跳跃个数要多于另外两个模型，这可能是因为CGMY-OU

模型和GIG-OU-

模型需要在收益率跳跃中刻画这两个模型被截断的很多微小波动率跳跃。

      

      

      6.4 非高斯OU模型比较

      6.4.1 非高斯OU过程自相关函数

      根据式（9）求出六个模型中

(t)的自相关图，如图3所示。由图中可以发现，六个模型均反映上证指数收益波动率序列变化具有长记忆性质特征。相比而言，不含收益率跳跃的三个模型比其对应的含有收益率跳跃的三个模型更反映的长记忆性特征更明显。其中，Gamma-OU与CGMY-OU模型所反映的长记忆效果最为明显。

      

      6.4.2 基于预测密度的模型选择与评价

      

      由于我们选择的六个模型参数的后验分布均比较复杂，不能直接抽取参数，这里依旧需要使用回顾抽样算法为模型参数抽样。令抽样50000次，即B=50000，那么根据参数的抽样数据可以得到收益率过程的波动率

，进而利用Rao-Blackwellized估计方法得到预测密度为：

      

      由表2可知，不含收益率跳跃的三个模型比对应的三个含有收益率跳跃的模型具有更好的LPV和APP，而CGMY-OU模型和GIG-OU模型的预测效果优于其他模型。

      7 结语

      本文采用CGMY和GIG过程对非高斯OU随机波动率模型进行扩展，建立连续叠加的Lévy过程驱动非高斯OU随机波动率模型，并给出模型的散粒噪声（Shot-Noise）表现方式与近似。在基础上，本文把回顾抽样（Retrospective Sampling）方法扩展到连续叠加的Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型中，设计了Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型的贝叶斯参数统计推断方法。最后，采用金融市场实际数据对不同模型和参数估计方法进行验证和比较研究。

      

      本文理论和实证研究均表明采用CGMY和GIG过程对非高斯OU随机波动率模型进行扩展之后，模型的绩效得到明显提高，更能反映金融资产收益率波动率变化特征，本文设计的Lévy过程驱动的非高斯OU随机波动模型的贝叶斯参数统计推断方法效率也较高，克服了已有研究的不足。同时，实证研究发现上证指数收益收益率和波动率跳跃的特征以及波动率序列具有明显的长记忆特性。研究表明仅含有波动率跳跃的三个模型的跳跃幅度要远大于收益率具有跳跃的三个模型，而六个模型的波动率跳跃和收益率跳跃均可以较好的检验出收益率曲线中的较大跳跃。不含收益率跳跃的三个模型比其对应的三个含收益率跳跃模型的预测效果更好，也具有更明显的长记忆性特征。其中，CGMY-OU模型具有最好的预测效果和较明显的长记忆特性，实证结果要优于其他五个模型。同时实证研究发现收益率加入泊松类型跳跃并不能很好的改善统计结果，其中一个最可能的原因是泊松类型跳跃主要用来刻画发生次数有限的大尺度的跳跃，而在收益率中加入无限活动Lévy跳跃可能更好地刻画不同类型尺度的跳跃，所以未来的研究中可以同样选择能够刻画各种幅度的跳跃的无限跳跃Lévy过程作为收益率跳跃，也许可以改善模型效果。这将在本文之后的后继工作中进行深入研究。

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