数学学习中的“懂而不会”现象，本文主要内容关键词为：现象论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
现象学方法是一种重要的数学教育研究方法[1]。“懂而不会”是各门课程教学中普遍存在的一种现象，即在新知识学习时学生课上能听懂教师讲的内容，课下却不会灵活运用。产生这种现象的原因是多方面的，既有教师的问题，也有学生的问题。何善亮[2]从学生学习过程的角度对“懂而不会”现象进行了分析，认为学生学习程序性知识具有不同的境界，“懂”是学生学习的一个基本境界，而“会”是一个更高的境界，他从认知维度教学目标、学生能力生成机制和练习有效性三方面寻求应对此现象的具体方略。沈燕[3]在实际教学中发现学生存在“懂而不会”的现象，回顾反思了自己的教学过程，提出了改进的方法：她认为教师的课堂提问方式应该引导学生学会“为什么这么做”，要避免教师代替学生思考，而且要及时进行归纳总结。数学是基础教育的重要课程之一，数学学习中的“懂而不会”现象尤为突出。但针对数学课程，开展该问题的研究还不多见，本文在此做初步探讨工作。
一、“懂而不会”现象分析
在现代汉语词典中，“懂”指知道、了解[4]；“会”指理解、领悟[4]。数学是研究数量关系和空间形式的科学，理解是数学学习的重要环节，“懂而不会”现象说明学生对数学知识的学习并未达到真正的理解。
1976年，R.斯根普提出事物的理解具有两种类型：工具性理解和关系性理解。工具性理解是指：一种语义性理解——即符号A所指代的事物是什么，或者一种程序性理解——一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作；关系性理解是指在工具性理解的基础上还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据，等等[5]。
课堂教学中，教师通常采用“引入新知——举例分析——巩固练习”的教学模式。在引入新知识阶段，由于“工具性理解”易懂的特点，学生能够明白、了解新概念、新公式、新符号的指代是什么；在举例分析阶段，教师的解题步骤再次帮助学生加深记忆；由于“工具性理解”易模仿的特点，学生在巩固练习阶段，模仿教师的步骤便可轻松解决相似问题并得到正确的答案。
学生对数学知识的理解停留在“工具性理解”上，表现为三个方面：第一，对于新概念、新公式、新符号的指代物，学生的精力常常仅集中于字面的表述上，并没有真正理解指代物的内涵；第二，尽管学生在相似练习中可以得到正确答案，但变换问题情境时又会束手无策；第三，“工具性理解”能够短时、快速地得到回报，学生在学习中做到“懂操作”就戛然而止，不会对知识进一步理解思考。
数学是一个统一的系统，知识间有着紧密的联系。“关系性理解”本身就符合符号意义发生的过程，通过数学对象心理表象的更新，打破原有认知平衡，通过改造、整理和重组已有的知识经验，建立新旧知识间的动态平衡，形成融会贯通的数学知识网络。因此，“关系性理解”还需要学生在“工具性理解”的基础上进行其他的数学学习活动。例如，知识的迁移——通过对知识的关系性理解，学生将在某种情境中获得的数学知识迁移到另外一种全新的数学学习或问题解决中去。
“工具性理解”关心的是“怎么做”，而“关系性理解”关注的是“是什么”和“为什么”。迫于升学、考试的压力，一些师生往往选择收效更快的“工具性理解”，追求浅层次的“懂操作”，忽视深层次的“是什么”与“为什么”，这是造成“懂而不会”的主要原因之一。追求“懂操作”，数学学习中过多的记忆与训练，导致部分学生数学学习负担不轻，但是只是懂“解题”操作，拥有了照葫芦画“葫芦”（不是瓢）的能力，既不意味着会“灵活”解题，也不意味着学会了数学的思维。
二、衡量学生“会”的标志
“懂而不会”中的“懂”是一种错误的个人体验，而“不会”是不真正“懂”（理解数学知识）的必然表现。如何判断学生数学知识的学习达到了“懂而会”？教师可以在教学中观察学生的外部表现，分析他们的思维过程，多角度了解学生“会”的程度。主要有“会说”“会认”和“会用”三个标志来进行衡量。
数学知识具有多元表征性。学生“会”的最基本标志是“会说”，就是看能否用自己的语言来正确描述新的数学概念、公式、定理等内涵，是否能够在原有知识经验的基础上对新的学习内容做出自己的合理建构，学生个人生成的个性表征是否是数学知识应然多元表征集中的一元。
数学是对“具体”的“抽象”，数学知识蕴涵于形形色色的具体情境之中。在“语言表述”的基础上，“会”的进一步标志是“会认”，就是要在大千世界中能够识别出内蕴的数学，能够在具体情境中认出其中蕴藏的数学知识。
学生能否进行“灵活运用”是衡量“会”的最重要标志。所谓灵活运用，就是指抛开问题创设的情境，学生能够快速抓住问题的本质，灵活运用数学的基本知识与技能和数学精神、思想、方法去分析、解决问题。
学生如果能够达到“会”的三个标志，举一反三，触类旁通，才说明是真正的理解。这样的“会”，是融会贯通的“会”，是深刻理解的“会”，是能够应对多种问题情境的“会”。
三、消除“懂而不会”现象的应对策略
消除“懂而不会”的现象，实现真正意义上的“会”，需要教师和学生双方的共同努力。
1.组织“说数学”活动
学生能够一字不差地背诵数学知识，能够通过模仿会做一些甚至许多题目，是“懂”层面的活动。而“说数学”活动，要基于教师对学生“懂而不会”现象的恰当判断，通过创设合理的问题情境，组织有助于消除学生“懂而不会”现象的教学活动，让学生用各自的语言交流数学知识，用个性的思维表达数学理念，用个性的方法暴露解题思路，让学生说个人理解、体会、主见、异见和创见，让数学课堂中促成更多的“懂而会”的积极数学学习资源。
2.重视“教学变式”
《教育大词典》对“教学变式”词条的解释是：“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质属性以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。”[6]数学教学变式包括数学概念变式以及命题变式。
①概念变式
数学教学需要让学生熟记数学概念的内涵，理清数学概念在数学知识体系中的地位和关系，更需要让学生会“说”、会“认”概念。在知识体系和经验中学习某一概念、某些知识或者具体经验具有某数学概念的一些特征，但不是本质特征，这些知识或者具体经验就可能会对学生形成某数学概念有干扰。
具体例证是数学概念的形象表征，给出直观模型、几何图形、物理模型、生活情境或者该属概念的种数学概念等形式，这些不同“变式”，在本质属性（相关特征）方面具有一致性，而在无关特征方面具有变异性、变化性。同时，还要重视数学概念的反例教学，数学概念的反例在反映概念本质属性方面具有变异性、变化性。在无关特征干扰下，让学生在现实或数学情境中能够说出、认出数学概念，是形成数学概念的需要。
②命题变式
数学命题学习的重要意义是会灵活的“用”，数学命题的应用需要将数学命题的陈述性形态转化为产生式或产生式系统表征的程序性形态。该应用能力的形成，基于“懂”命题基础上的变式练习。数学命题变式主要有两种变化问题的方式，一种是显性变式，另一种是隐性变式[7]。如果一个问题从它的原型通过直观和具体的变化而得到，那么这些问题变式称之为显性变式（譬如，数量关系的变化、图形位置的变化等）；反之，如果一个问题的变式只有通过抽象或逻辑的分析才能发现它与原型的联系，那么这种变式称之为隐性变式（譬如，变化参数、微妙地缺省某些条件、变化背景等，这时应用相关知识或策略的条件是隐性的）。在数学命题应用的最初阶段，宜设置与原来学习情境相似的问题情境，以显性变式为主进行练习，使练习题之间保持一定的同一性；在数学命题应用的后期，随着数学命题的渐趋巩固，问题类型可逐渐演变成与原来学习情境完全不同的问题情境，采取隐性变式为主进行练习，促进学生纵向灵活迁移能力的发展。
3.重视数学元认知
数学教学过程中首先要指导学生能够做到会数学认知，包括：形成良好的数感，发展空间想象与观念，提升抽象、概括数学知识以及联接不同数学知识的意识与能力，具备灵活数学命题推演与应用的能力，等等。其次要做到指导学生会计划、监控、反思和调节数学学习。其中，指导学生自我监控与反思元认知活动的自我提问活动包括：①我可以分别用文字语言、图形语言或者符号语言表述这个概念吗？我可以举出该概念的尽可能多的具体例子吗？我能够找出该概念的反例吗？这个概念的内涵是什么？适用范围是什么？注意事项是什么？我头脑中有哪些该概念的上位概念与下位概念？我头脑中与这个概念相关的概念是什么？我头脑中与该概念相关的概念图是什么样的？我能够运用这个概念解决什么问题？②我知道该命题提出的背景吗？我能够运用自己的语言正确复述该命题吗？我认为该命题的显见与内隐条件分别是什么？该命题的推导蕴涵着什么思想方法？该命题注意事项是什么？该命题与我头脑中哪些概念有关联？该命题与我头脑中哪些命题有关联？我能够运用该命题解决哪类问题？③我为什么能够顺利或者不顺利地解决该习题？教材（教师）为什么要布置该习题？在解题过程中运用了哪些思想方法？它们还可用于其他什么类型的题目？是否还有其他的解题方法？该习题的特殊情况或类似情况是否成立？可否推广？④我认为数学的理性精神是什么？我领悟了哪些数学思维？数学思维与大千世界的关系是什么？等等。
目前，在我国基础教育数学教学实践中，更重视数学解题教学。确实，数学学习离不开解题，会灵活运用所学数学知识与技能解决问题，是会“数学知识”的表现，但不是会“数学”的全部体现。在数学教学过程中，重视数学文化的教育，让学生感悟数学文化中数学的精神、思想与方法，会用数学文化感悟数学与科学的关系、数学与自然的关系、数学与人文的关系、数学与艺术的关系，并用数学文化去感悟人生，思索世界，是非功利地“会”数学的较高境界。