数学的和谐美，本文主要内容关键词为：谐美论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
和谐是宇宙完美的体现.毕达哥拉斯指出：“整个世界就是一个数，就是数的和谐.”黑格尔认为：“和谐是从质上见出的差异面的一种关系，而且是这些差异面的一种整体，它是在事物本质中找到它的根据的.……各因素之中的这种协调一致就是和谐，和谐一方面见出本质上的差异面的整体，另一方面也消除了这些差异面的纯然对立，因此它们的互相依存和内在联系就显现为它们的统一.……在和谐里不能有某一差异面以它本身的资格片面地显出，这样就会破坏协调一致.”所谓和谐，是指事物之间按一定规律联系，匀称，有一定秩序以及明确的变化规律.和谐美，实质上就是以严格的数量关系表示出来的和谐性.
初等数学中，这种和谐美的典型例子要算黄金数及其应用.“黄金分割”又称“中外比”，初中几何中对分线段成黄金分割及黄金分割点的求法作了简单介绍.但早在公元前500年，古希腊数学家毕达哥拉斯就已经知道黄金分割的比例大体上为0.618∶1.公元前300年左右，古希腊的另一位著名数学家欧几里得仅用直尺和圆规就作出了线段的黄金分割.自此一直到中世纪，有许多数学家研究黄金分割，发现它具有许多奇妙的有趣性质，其中令人感兴趣的是黄金数W有多种表达形式：
历史上著名的数学家开普勒对黄金分割作了很高的评价，他说：“几何学有两大宝藏，一个是勾股定理，另一个就是黄金分割.”
人们在探索自然美和艺术美的过程中发现黄金分割比具有一种悦目的美.19世纪德国数学家阿道夫·蔡辛曾断言：“宇宙万物，凡是符合黄金分割的，总是最美的形体.”事实上也正是如此，比如我国长沙马王堆汉墓出土的文物中，有的长度之比正是按黄金比制作的；现今印刷的各种书籍、图片以及门窗、桌面等的长宽之比大多接近黄金比，因为这样制作美观大方，用料最省.在建筑物造型方面，人们在高塔的黄金分割点处建造楼阁或设置平台，可使平直、单调的塔身变得多彩多姿；在造型艺术中应用黄金分割比容易引起人的美感.艺术家认为，如果从腰脐部把人体分为上下两部分，且这两部分的长度之比恰好是黄金分割比，就是最健美的人体结构.在音乐会上，报幕员若站在舞台宽度的黄金分割点的位置上，会非常得体大方，不仅整个舞台显得和谐，而且声音的传播效果也最好.
甚至某些植物的生长也符合黄金分割，当它们的一株嫩芽抽枝吐叶时，如果从这株嫩芽的顶端看下去，可以看到叶子的排列成一对数螺线，而且叶子在螺线上的距离比恰好符合黄金分割.建筑学家根据车前草叶形排列的数学模式设计出来的螺旋形大楼，可使每一个房间都能得到充足的阳光.
此外，人们还发现一个顶角为36度的等腰三角形，底与腰之比为黄金数W；底角为72度的等腰梯形，若上底等于腰，则上下底之比为W；正五边形的边与对角线之比等于W，而且在正五角星中竟存在数十对比值为黄金数的线段.难怪古今中外，正五角星被人们视为健康、美丽、和谐、昌盛的吉祥之兆，不少国家的国旗上都缀有正五角星的图案.
更值得一提的是，近30多年来黄金分割又有了新的内涵.方程[2]+x-1=0的正根x=
这个无限不循环小数也就是黄金数，它是后来科学家提出具有实用价值的“优选法”的重要依据.70年代，已故著名数学家华罗庚教授在全国推广优选法，使国家在不增加投资、设备和人力的情况下，收到了巨大的经济效益.
由此可见，黄金分割不愧是几何学的一颗灿烂的明珠、和谐美的典范.德国美学家（也是数学家）蔡辛甚至认为黄金分割是解开自然美和艺术美之谜的关键.
数学中的和谐美无处不有，如解析几何学
形式上完全一致；平面几何中三角形重心内分中线为2∶1，与立体几何中正四面体的重心内分高为3∶1显得多么和谐.同样各种数学运算之间的相互转化，也一定程度上体现了数学的和谐美；实系数一元二次方程实根的三种情况：两根、一根、无根，分别与它的判别式的大于零、等于零和小于零等价.而判别式的这三种情况又分别同相应的二次函数的图象和x轴的三种位置关系等价，同时还分别决定着一元二次不等式解的情况，从而使一元二次方程。ax[2]+bx+c=0的求解，二次函数y=ax[2]+bx+c与x轴位置关系的判定及一元二次不等式。ax[2]+bx+c＞0（或＜0）的求解都同判别式的取值情况紧密联系并等价了起来，使这部分内容充满了和谐美的情趣；解题中的代数问题的三角解法、三角问题的几何解法、几何问题的代数解法等等，又使得各种数学方法之间形成了一种不分你我、互通有无、亲密无间的和谐关系.
而且数学中的不少公式都具有简单、整齐、和谐美等特点，给人一种赏心悦目的快感.譬如三角学中就有一些体现了和谐美，被人们认为是特别美的公式.如：
这里a、b、c表示三角形的三条边；A、B、C表示三角形的三个内角；R表示三角形外接圆半径；r[，1]、r[，2]、r[，3]表示三个傍切圆半径；A[，o]表示三角形内接圆面积，A[，1]，A[，2]，A[，3]表示三个傍切圆面积；r表示内切圆半径.
这些公式显得多么协调！多么和谐！看到这些，就会使人不知不觉地产生强烈的美感愉悦.