把握学生认知特点教几何图形，本文主要内容关键词为：几何图形论文,认知论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从上世纪50年代末开始，关于几何教学的内容、方法一直是数学教育界讨论的热点问题。随着几何教学内容一次又一次的修改，人们在如何教学几何、渗透数学思想方法等方面已经取得了不少经验。但是，无论是从国际上看还是从国内看，关于几何内容的选择、教学等问题还远远没有形成比较统一的看法。课程改革以来，在中小学几何内容的选择上，更是分成两派，有主张加强的，理由是几何是培养学生逻辑思维与动手能力不可多得的内容；有主张削弱的，理由是传统的几何没有什么应用价值。有争论是好事，但不管哪种意见。都主张要开设几何课。这是共同的，只是加强与削弱的区别。因此，我们应该研究改进几何教学的内容与方法。
欧几里得把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的图形所构成的庞大图案，又运用惊人的智慧把这个图案拆开，分解为简单的组成部分：点、线、角、曲线、平面、立体。于是，第一、第二学段的认识图形，是学生整个几何学习的启蒙。显然，搞好启蒙教学，对学生学好几何有非常重要的作用。株洲市天元区白鹤小学对小学生学习图形认识的思维方法、教师如何进行教学等问题，做了大量的实证研究。为此，潇湘数学教育工作室在该校举行了关于认识几何图形教学的沙龙活动。在讨论中，老师们踊跃发言，运用自己的实证研究，探讨了许多问题，值得大家参考学习。
一、为什么要学几何图形
几何图形是几何知识最基础的部分，从某种意义上说，学习几何的原因就是学习几何图形的理由。那么，为什么我们要学习几何呢？
几何学是一门使人聪明的学科，是“训练数学逻辑推理的最好学校”。在日常生活、工作中，人们经常要对各种各样的事物进行判断，判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断是对事物的情况有所断定的思维形式，而由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式，叫做推理。因此，人们需要推理能力。恰好，几何是培养推理能力再好不过的选择。从古到今，人们都重视几何教学，柏拉图更是在他的哲学学校门口张榜声明：“不懂几何者不得入内”，就是因为几何对人的推理能力、对人的发展有着重要的作用。小学生从小就接受几何教育，对他们素质的培养，对数学基础知识的发展都有重要价值。而几何图形又是几何学的基本载体，学生学习它是为了更好地学习几何。再者，从小学生的认知水平看，几何图形最适合他们学习。因为几何图形非常直观，容易与生活中的物体形状联系起来，他们学起来轻松。因此，在小学安排几何图形的学习是恰当的，也是必要的。
几何能提供丰富的学习环境，这是有些课程内容比不上的。为什么这样说呢？举两个很简单的例子。老师们都知道，高考对于求函数极限类问题，反正只有那么几套方法，要么画图分析，要么利用不等式。现在导数内容下放到高中教材，方法就更单一了。拿到题目，学生想都不用想，先求导再说，并且这样做肯定不会错。数学系毕业的老师一定清楚，大学学习常系数微分方程的解法，也就那么几种方法，代进代出就完了。这些都没有提供一个丰富的学习环境，学生们做多了，自然感觉很枯燥，兴趣也就没有了。然而几何就不同了，几何经过两千多年的发展，题目仍然不断出新。如吴文俊先生的机器证明，居然还发现了新的几何定理，没有人想到这里面还有很多新东西。再比如，《湖南教育·数学教师》的“问题解答”栏目每期刊登的6个题目中，有许多几何题都是一线老师们自己的新发现。如，2006年第1期安徽的杨晋老师发现，在任意直角三角形的斜边上作一高，这样形成了三个直角三角形，这三个直角三角形的内切圆半径，仍然能构成一个三角形。看看，人们研究了几千年的直角三角形，我们的一线老师竟然还可以玩出新花样（当然，我们并不知道以前有没有人发现这个结论，但这个并不重要）。这就是一个丰富的学习环境，一个挖不完的宝藏，学生当然有兴趣。
从数学整个结构来说，形和数本就分不开，要学习数学，当然就要学习形。数缺形时少直观，形缺数时难入微，形数结合是数学的重要表现形式。几何研究的基础正是形。当年，笛卡尔创立直角坐标系，最重要的原因是他洞察到了这里面的奥妙。以形促数的例子可谓举不胜举，最经典的，我们认为莫过于对自然数列求和公式
的证明。
对于这一公式的证明，人们往往津津乐道于德国18世纪数学家高斯在小时候所采用的首尾两项依次相加求前100项和的方法。但是，如果我们通过数形结合证明，其中的美妙绝对不逊色于高斯法。
方法一：要求S=1+2+3+…+n的值，可以设想另外一个S，将其倒放，并与原来的S拼合起来，就得到一个菱形，总共有n行，每一行有n+1个球，所以全部有n(n+1)个球，因此一个S就是
，如图1所示。
图1
图2
方法二：利用体积比类垛积。中国有以体积比类垛积的传统。南宋时期，数学家杨辉（13世纪）发展了中国传统的“垛积术”，在其数学著作《详解九章算法》中，对于自然数求和问题的解释更具体化了。他把这一问题中各项之间的结构规律用相似结构的“垛”来比拟，如图2所示。
进一步采用“补差术”补成方形，从而能十分直观、形象地化未知为已知，求得问题的解。即设S=1+2+3+…+n，将此垛补成方形，补上部分为S-n块，从而
，则有
。
另外，我们认为，数学直观能力是比较重要的，也是培养学生数学素养的重要内容。因为有时候我们思考一个问题要很久的时间，然而通过直观，我们可以很快就做出判断。一般谈数学直观，主要是指几何直观，因为几何比代数、统计更形象，而代数和统计的直观又非常困难。几乎所有的几何问题和证明都要借助图形，一个人如果能够借助图形来思考问题，我们便认为他具有几何直观能力。于是，几何直观能力的培养就显得非常重要，自然，几何图形的重要性又得到了体现。
当然，抛开数学里的包含关系不说（因为从包含角度来谈学习几何图形必要性，那么我们就不仅仅牵扯出整个几何，甚至会涉及到学习数学到底有什么用），从几何图形本身对社会的作用来看，我们也有学习的必要。因为几何图形既是学科发展的需要，也体现在多种文化艺术中的作用。现实生活中对几何图形性质的应用，几乎渗透到每一个角落，从微小的原子到最大的旋涡星系，自然界展现了几何图形无限的多姿多彩。如结晶体、蜜蜂的蜂巢、雪花、向日葵和松果种子的排列，鹦鹉螺壳的螺旋形、蜘蛛网和许多花朵基本形状是正多边形。人们已经把自然界观察到的许多几何图案运用到各种艺术中了，如圆形的建筑、中国结、剪纸，等等。这些相信大家都能够感觉到，不多谈。
二、几何图形是怎样抽象而来的
我们知道，数学中的几何图形，在生活中是并不存在的，是通过实物抽象出来的。人类认识几何图形的过程其实是十分漫长的。最开始，由于实践活动的需要，人们反复观察一些具体事物，慢慢地从这些具体事物中抽象出一些几何图形，并且逐渐认识了这些图形的某些性质。例如，在《几何原本》形成以前，人们就已经知道矩形、三角形、梯形的面积如何计算，知道对顶角相等，等腰三角形两底角相等，半圆上的圆周角是直角等许多几何图形的性质。随着这些知识的积累，人们又希望弄清楚这些性质的依据，于是，通过对已知各种图形性质的分析，弄清了性质之间的逻辑联系，从而也弄清了性质之间的因果关系。然后，沿着由果到因的方向，找出了所有性质的依据，这就是公理。类似地，又找出了作为定义一切概念的起点概念，这就是基本概念。在确定了基本概念和公理以后，人们以此为依据，用逻辑推理的方法，推导出一系列几何性质，这就是定理，由此导致了《几何原本》一书的形成。
从这个过程中我们可以看出，在几何的科学体系形成以前，人类曾经历了两个认识环节：第一，从具体到抽象，即从具体事物抽象出一些几何图形，并且逐渐认识这些图形的某些性质；第二，在已有知识的基础上寻找基本概念和公理。
因此，我们应该了解几何图形构成的三个基本概念：点、线、面。不论是古代的数学家还是现代的数学家，都想给点、线、面下个精确定义，但都没有办到，只能采用描述方式给予定义。
点是几何图形的基本单位，没有大小，只有位置。例如，非常尖的铅笔的末端是点的自然模型，然而，一个点比你用铅笔能够作出的最小的点还要小。
直线是点的笔直排列。一条直线上有无限多个点。直线有长度但没有宽度，向两个方向无限延伸。拉紧的细线就是直线的模型。但是，一条直线比人们制造的任何细线都要细。
平面有长度，有宽度，但没有厚度。它是无限延展的平的表面。桌面、墙、天花板等都是平面的模型。平铺的纸也是平面的模型，但一个平面比最薄的纸还要薄。
从描述性定义可以看出，从实物到几何图形，首先是找出几何图形的模型，从模型中认识图形的形状，然后抽象出几何上的图形。如前面说的，事实上，几何图形在实际中是不存在的，学生认识几何图形仅仅是从实物模型中认识几何图形的。
抽象概括出几何图形的相关知识，常用的方法是归纳推理。归纳推理是观察一些模型，并把这些模型进行概括的过程。它是科学方法的基础，数学家利用归纳推理发现几何知识，然后从逻辑上证明他们的发现。例如，通过对不同形状的角的物品的观察，归纳出角的构成要素。将各种不同的角的模型，抽象出几何上的角，这个角就是几何图形。
小学生只能借助实物模型认识几何图形。比如，学生对过一点可以引出无数条射线便无法理解。当老师让学生想像线是无限细（或者没有粗细）后，学生勉强接受。接着学生却对“过两点只能画一条直线”又提出了质疑：线不是无限细吗？他们固执地认为：两点间可以画无数条直线。其实，这正是因为学生对点的认识存在困难。
又比如，观察图3中的图形，想想后面的一个图形会是什么样的图形。
观察图3，运用归纳推理，可知第5个图形是五边形。
在归纳推理过程中，首先是观察模型的形状，其次是找出共同的属性，再次是抽象出几何图形的概念。
图3
因此，在教几何图形过程中，要加强模型的观察，让学生动手操作，以便学生建立比较清晰的感性认识，为抽象出几何图形的概念打好坚实的基础。
学生将实物抽象为几何图形的能力对直线型图形比较好，而对不是直线型的图形则比较弱。叶军明老师的实证研究很好地说明了这个问题。
图4
叶老师在二年级选取43个学生作为样本，编制了一组几何图形，要求学生辨认，其中第一题是：图4中哪些图形是圆？其中第一个与第三个图形43人全部判断正确，第二个、第四个图形分别有10人、38人认为是圆。为什么对第四个图形有这么多学生认为是圆呢？我们如果拿一个实物的球要学生辨认，他们就不会认为是圆，而画成几何图形却又认为是圆。这就说明学生将实物或模型抽象为几何图形还有比较大的困难，也许这也是学生感觉几何难学的原因之一。为此，叶老师提出问题：为什么学生已经认识了平面图形——圆，也知道了球这个几何体，但还是不能分清圆和球？是图示不清楚造成的吗？我们教学应该如何处理？这些问题值得老师们思考。
加德纳说：“空间智力的核心是准确感觉直观世界的能力，依靠人最初的感性认识形成变换和做出修正，即使在缺少相关物质刺激的情况下，也能重建人们直观经验的方面。它有四个要素：1.依据实物建立模型的能力；2.依据模型还原实物的能力；3.依据模型抽象出特征、大小和位置关系的能力；4.能将模型或实物进行分解与组合的能力。”叶老师根据这一理论，提出困惑：除了用生活经验和动手操作引导学生建立模型外，我们是否还有其他方法呢？如，我们常常看到教师在学习完图形后，要求学生闭着眼睛想像刚才所学的图形是什么样子。作为教师，需要思考这些问题，并且要在教学实践中不断总结出学生抽象几何图形的特点。只有这样，几何图形教学才会有生机。
三、小学生认识几何图形要掌握什么内容
教学首要问题是解决每个内容需要教什么东西，即教给学生什么，然后才是怎么教的问题。只有将教什么解决了，教学才能明确方向，教学设计才有依据。不同的年龄阶段的学生，对几何图形的认识有不同的要求与标准。教师只有把握住标准，才能确定教学的内容。
讨论中，老师们认为，小学生学习几何图形，无外乎两个方面。一是图形本身的知识，二是几何能力（对于小学生来说即几何直观思维能力）。
图形知识方面，第一学段图形的认识中，《数学课程标准》对长方体、正方体、圆柱和球的要求是“能通过实物和模型辨认”，而第二学段却要求“通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图”。显然，观察、操作是几何图形的教学内容，也是学生应该掌握的内容。同是长方体、正方体、圆柱，两个学段的要求有很大的区别。教师如果没有把握课标的要求，就不能正确确定课堂教学中应该教什么，从而使教学脱离实际。
平行线、相交线是第二学段的内容，《数学课程标准》的要求是“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。这里，我们要抓住“了解”，并且是从“生活情境”中“了解”平行线，教学时学生能够从直观上观察出两直线是不是平行线就行了，而不要将中学有关平行线的知识教授给学生。
在讨论中，有些老师举了在一些竞赛课中，对平行线教学内容的处理方法。
如，要学生判定图5中两条直线是否平行，就把直线AB与直线CD画长一些，看它们是否相交。看起来好像这是判定两直线是否平行的方法，其实是存在问题的。一是直线不存在画长画短的问题，不论画多长，都表示的是直线；二是从图上看，这两直线是不平行的，能够直观地看出，无须再用什么方法判定。
图5
又如，两直线是平行线，老师却问学生：“你们是如何判定的？”学生理所当然地回答：“它们没有相交。”然而，老师却教了下面的方法。
方法一：在一条直线上取两点，分别作另一直线的垂线，量出两直线间的距离是相等的，所以，两直线平行。
方法二：将两直线再画长一些，发现它们不相交。
方法一运用的是“如果两直线间的距离处处相等，则两直线平行”的道理，而两直线间的距离，学生是没有学过的，他们也难以理解其中的道理。方法二不妥当的地方，前面已经分析了。
从这些案例中，我们可以发现，由于教师处理教材不当，造成了所教内容不符合学生的认知水平，偏离了课标的要求。造成这种状况的原因主要是教师不能正确把握教材与课标要求，也缺乏对学生的研究。
教师要准确把握教材，必须对教材进行深入、广泛的研究。曾玉珺老师做了非常扎实、细致的研究工作。如直线、射线、线段内容，教材的安排与呈现方式在不同版本、不同年级中都有区别。人教版与苏教版都把认识线段安排在二年级上册的“测量”单元里。人教版是先学习长度单位厘米和米，后学习线段；苏教版是先认识线段，再学习长度单位厘米和米。在呈现方式上，人教版采用描述方式说明什么是线段，苏教版则是从线段的特征之一“直”引入的，把线拉直，两手之间的一段可以看成线段。而到了第三学段，各版本的教材基本是按直线、线段、射线的顺序安排的。这样安排有别于小学阶段的安排顺序。教师弄清了教材的内容体系，就能准确把握课堂内应该教什么内容。
准确把握每堂课所教内容，必须遵循学生的认知规律，从学生的实际水平出发，提高学生的认知能力。
例如，在一年级教长方体、正方体、圆柱时，学生对长方体的描述是：每个面是平平的，放在桌面上是稳稳的，推着长方体动时，不会翻滚；对圆柱的描述是：它的上面与下面圆圆的，身子不是平平的，推着它会在桌子上乱滚。小学一年级学生这样认识长方体与圆柱，是符合课标“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”的要求的。我们不能认为学生的描述不科学而加以否定，因为这正好是我们教学所要教的内容：观察与辨认。
几何能力方面，对几何直观能力的培养，一直备受数学家以及数学教育家关注，比如史宁中教授等。他们认为，在小学，几何直观一直讲得太少。实际上，几何直观能力非常重要，也应是小学生所拥有的。我们也许会发现这样的情况，小朋友大都喜欢动画片，而我们大人对此却不怎么感兴趣。这是因为那些图像在小朋友的眼里是立体的，在大人眼里是平面的。因为平面是抽象的，如前面所说，世界上并不存在平面。这种抽象比从数量抽象到数还难。而儿童最先感知的，是他们生活中的空间，这是一个三维世界，在他们眼中，这个三维世界才是具体的，他们观察的是这个世界中的每一个具体的物体，以及物体之间的位置关系。刚进入小学的学生其实已经具有几何抽象能力，因为他们能够分辨出各种物体的不同。他们也能分辨出物体之间的位置关系，比如他们知道对离得远的人说话声音要大一些。这种抽象能力是与生俱来的，是培养几何直观的基础。而我们小学数学教学，就是要保持、深化学生这种天然的能力，并使之升华为几何直观能力。
关于几何直观能力的培养，在座的老师们都意识到其重要性，但是大家都坦承在教学中关注太少，以后会加强这方面的教学。
四、学生是怎样认识图形的
大家认为，教师如果将学生学习几何图形的方式搞清楚了，教学中就能有的放矢，提高几何图形的教学效率。
首先，我们认为，前面所说的人类认识几何图形过程，与单个人对几何图形认识的过程有着十分相似之处。那么，学生认识几何图形，或多或少会和古代人们的认识过程有相似的地方，因为这个过程符合人的认知规律。
李慧玲老师通过下面的两个活动，教学生认识长方体的长、宽、高，帮助学生建立空间模型。
1.以小组为单位观察长方体框架，将自己的发现在组内交流。然后，教师引导学生先去掉其中的一条棱，能想像出这个长方体的大小吗？继续去掉一些棱，至少要剩下哪几条棱，才能保证可以想像出这个长方体的大小？学生边想像边交流看法，动手尝试，留下了相交于一点的三条棱。看着自己留下的棱，想想这个长方体，然后比画一下它的大小。接着，教师问能不能再去掉一条棱呢？学生回答“不能”。这时，教师告诉学生这缺一不可的三条棱分别叫长方体的长、宽、高。这一活动学生经历了观察、操作、想像、交流，对长、宽、高的理解由辨认各部分名称上升到了长、宽、高决定长方体的大小。
2.用小圆球代表顶点，四种不同长度的小棒代表棱，制作长方体、正方体。在制作活动中，学生对长、宽、高的条数有了深刻的印象。
从李老师的教学中，我们可以总结出学生学习几何图形的一种方式——操作。这符合古代人们的认识过程。在讨论中，很多老师都谈到了操作是教小学生学习几何图形的有效方法。颜炜翌老师运用切萝卜的方式找长方体面与面、棱与棱之间的关系，效果很不错。
李芳老师在教直角的时候，做过这样的实验：学生对生活中的直角模型掌握得比较好，如能够轻松地指出门、窗户、黑板、书本中的直角，但要辨认图6中几何图形中的直角，错误较多。这说明学生学习实物模型容易，但将实物模型抽象为几何图形后，对几何图形的学习存在困难。
图6
学生学习几何图形的方式基本上有两种，一是教师直接告诉学生，二是由学生自己感悟。根据不同的内容，可以选择不同的教学方法。
学生在观察几何图形后，直接告诉学生几何图形的名称，学生是容易接受的。这对一些只要求辨认、了解的几何图形是比较好的教学方式。如，对球、圆锥、平行线的教学就可以采用这种方法教学。
要使学生真正对几何图形有比较深刻的认识，运用感悟的方法教学，效果会好些。感悟有两种方式，一是创造情境，二是尝试错误。
创造情境很多教师都能够采用，在讨论时，老师们说得最热烈。值得注意的是，老师们要重视从情境中抽象出几何图形，而且要反复比较情境中的实物或模型与几何图形之间的联系，以便学生在没有实物或模型的前提下，也能够认识几何图形。
王晖老师说了一件很有启发意义的事情：她的女儿在没有学量角器量角度时，女儿自己反复用量角器量角的度数，经过几次试验后，终于自己掌握了测量方法。从这个案例中发现，尝试错误是学生学习数学的一条途径。同样，在几何图形教学中，要大胆鼓励学生不断试验、猜测、归纳与推理，学生自己得到的知识是最牢靠的知识，是印象最深刻的知识。
大家认为，学生学习几何图形，从总体上分析，大致要经历下面四个阶段。
一是整体认识阶段。也就是说，学生初次接触的几何图形是从整体上认识的，不会关注图形的细节，是一种照相机式的认识方法。例如，初次学习平行线时，学生感到平行线就是像黑板的上下边线一样，绝对不会认为平行线间的距离处处相等。因此，在学生整体认识几何图形阶段，老师们要加强图形的位置变换，以便学生认识在不同位置状态下的几何图形，如，教梯形时，就可采用图7的图形，让学生辨认。这样教学，学生对几何图形的认识就会全面。
图7
二是定性认识阶段。也就是学生运用图形的判定方法判定一个图形是什么样的图形。例如，要判定一个四边形是否为正方形，常常运用正方形的判定方法，如，一组邻边相等的长方形是正方形，有一个直角的菱形是正方形，对角线相等且互相垂直平分的平行四边形是正方形，等等。在第一、第二学段，不需要学生按照判定定理去判定一个几何图形是什么图形。这一点，许多小学数学老师没有引起足够的重视。如前面所说，有些教师总喜欢问学生：你是怎样判定两条直线是平行线的？其实，学生只能根据观察两条直线判定是否为平行线，而不能采用平行线的判定方法。
三是定量认识阶段。采用代数的方法研究几何图形，实质上就是定量认识几何图形。如，运用斜率判定两直线是否平行，运用方程研究圆。这些都是定量分析，但不是小学所要求的。
当然，这些结论只是我们通过对一小部分学生的调查分析所得到的，到底是不是适合所有的学生，还有待证明，而且，几何图形的教学还需要我们细致地研究不同学段学生学习的特征与方式。讨论认为，多做微型实验，积累素材，提供依据，是提高教学效率的有效手段。
标签：数学论文; 图形推理论文; 数学素养论文; 直线方程论文; 能力模型论文; 过程能力论文; 直观教学论文; 认知过程论文;