中国学生为何不适应美国《整体数学》教材——以向量部分例说，本文主要内容关键词为：向量论文,美国论文,不适应论文,中国学生论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者有幸接触了美国《整体数学》教材，利用两年多的时间研习了这套教材，感触较深.今作此文，选用美国《整体数学》教材的向量部分，从分析教材的角度就我国学生为何不适应美国教材，谈谈自己的一些粗陋看法.
一、美国《整体数学》教材
1.教材介绍
该教材是由迈克道格公司出版，在广泛听取教师和学生意见的基础上编写的.它在美国的影响十分广泛[1].教材共三本（Intergrated Mathematics 1—3），适合于9—12年级（相当于国内初三一高三年级）学生.
教材力求让学生发展以下的四种能力：
①探索并解决数学问题；
②严谨地思考；
③合作探究；
④清晰地交流.[2]
2.编写特点——从学生的不适应来说
（1）整合编写，内容宽泛但不深入.
教材将代数1、几何、代数2进行了整合，每一本均设置10个单元同时介绍这些内容，并同时穿插了逻辑推理、度量、概率统计、离散数学、函数专题.[2]相比国内教材[3]，其中不仅涉及了我国学生学习的几乎所有内容，同时还介绍了不少国内学生不学的内容，如统计学中的盒须图（box and whisker plot）、概率中的Z分数（Z-scores）、具有周期性的镶嵌图案（periodic tessellation）等.尽管如此，教材对许多内容的介绍（这其中不乏数学中的重要的数学概念、公式、定理）以及例题和习题的选择只停留在表层的“铺面”，没有深入地“潜水”.而这一特色恰好与国内频繁地引申、挖掘式的数学教学方式形成了两个极端，让我国学生感觉学不到“营养丰富①”的数学.这成为引起他们不适应该套教材的一个最重要的原因.
（2）强调学生参与下的数学探究，但偏多.
教材十分重视学生的参与，主张由学生自我探究获得知识.让我们来看教材的优点：
“整体数学对数学知识有着清楚的认识和高超的解题技能，它能够帮助你：主动参与到数学学习中，学习有意义的数学，知道数学各个分支的联系……”[2].
从教材的这段介绍中我们就可以预测到教材的具体编写思路.的确，在教材的具体展开之中，从每一单元的单元任务（unit project）、每一节的探究实验，到来自生活的数学例子（samples）、课后的习题（exercise and problems）中的小组活动等，里面需要学生参与的活动比比皆是.但教材花费如此大的力气和篇幅强调主动参与，必定会带来对数学本质的揭示不足.这样一套针对美国学生的学习特点——“喜欢动手操作、做实验，并用它探索解决与生活息息相关、与周围世界广泛联系的问题②”编写的教材，带着浓烈的本土化气息.它用在我们的学生身上，不但不会激起学生的兴趣，反而会导致学生因长时间没有吸收到“营养丰富”的数学大餐而感到心情失落，产生厌倦感.
（3）注重数学联系，但不到位.
由引文[2]“知道数学各个分支的联系……”，这是《整体数学》引以为自豪的另一优点.教材除了重视数学的不同内容和不同分支间的内在联系，同时还重视数学与生活间的联系，重视数学与其他学科的联系.打开教材，在每一节的习题部分，我们经常能看到诸如connections to history、literature、physics、chemistry的习题，这样的习题安排蕴含了编者的构思：让学生知道数学与我们的世界有着千丝万缕的关系，并认识到数学的应用价值.这一点笔者非常赞同，但是教材在处理某些联系的时候，特别是数学的不同内容和不同分支间的内在联系时，力道显得有些不足，仅仅是留于形式的“轻轻带过”，这样的处理反倒会让学生产生不适感.
二、美国高中平面向量部分
1.美国高中学段“平面向量”领域的内容标准（对比中国课程标准）[4]
仔细分析上面的表格，可以看出中国标准无论在内容上还是在能力上的要求都明显高于美国标准.中国标准对平面向量的五大块内容均有要求，而美国标准仅仅在概念和线性运算两大模块有要求；其次，中美标准在同一内容的要求高低也不一样.比如线性运算中同样要求向量的加减法，美国标准的要求是理解，而中国的要求则为掌握.
2.平面向量在《整体数学》中的具体展开
平面向量部分出现在Intergrated Mathematics 3中的第八单元——角、三角和向量，该单元共七节内容：平面向量部分占用两个章节（共13页）：
8-3向量的几何表示（The geometry of vectors），主要结构如下：
①“从一个地方到另一个地方”的探究实验：确定位置.
②从实验中具体的向量原型，归纳它的特征，给出向量的定义.
③定义相等向量、定义向量的两种表示形式：（a）极坐标式——几何表示；（b）直角坐标式——代数表示.
讨论：检测②③中的相关概念掌握情况.
④例1：足球运动中的追赶问题：画出追赶的路径（数学化：用三角形法则求做两向量的和向量），由此用三角形法则定义两向量的和及其作法.
讨论：从例1出发，
（a）用画图的方式探索向量的加法运算是否满足交换律——图形为一个平行四边形（包含一条对角线）；
（b）已知向量v，从模和方向角度研究向量u=2v，w=3v，
，-v.
⑤运用讨论中的向量定义、向量的数乘（scalarmultiple）、相反向量（opposite vectors——作为数乘的特殊情况介绍）.
⑥例2：已知两个以极坐标式表示的向量u、v，画出向量w=u-2v（综合检测本节课的知识点：向量的加法、向量的数乘、相反向量）.
⑦复习回顾：叙述用几何法求两向量的和向量的步骤.
⑧课后练习：共24题（包含任务分解的第24题）：
涉及画图题共16题：1，3-16，18；阅读题（reading）1题：2；写作题（writing）1题：17；开放题（open-ended）2题：19、20；复习预习题（review/preview）3题：21-23；章首任务分解题（working on the unit projects）1题：24.
8-4向量的代数表示（The algebra of vectors），主要结构如下：
①例1：飞机在天空中的航行问题：已知飞机的飞行速度v，求飞机的水平飞行速度
和垂直飞行速度
（将速度向量分解到x轴与y轴上，用公式=rcosθ，=rsinθ解决）.
②介绍直角坐标式下两向量加法的运算法则.
③例2：已知飞机在静风中的速度和风的速度（这两个坐标均以极坐标式出现），求飞机航行的实际速度（先将极坐标式通过坐标转换化为直角坐标式，然后用运算法则求和，再将和转化为极坐标式）.
解答中为什么要将两种坐标进行转换？风速的大小和方向分别改变是否会引起飞机实际航行速度的改变？分别求飞机达到最大航行速度和最小航行速度时的对应风速.
④课后练习：共26题（包含任务分解的第26题）：
画图题2题：18，21；阅读题（reading）1题：1；写作题（writing）2题：8，19；与物理的联系题（connections to physics）1题：19；复习预习题（review/preview）4题：22-25；坐标转换题6题：2-7；向量求和题8题：9-14，16，17；向量分解题2题：15，20；章首任务分解题（working on the unit projects）题：26.
三、《整体数学》编写存在问题在向量部分的具体体现
1.内容宽泛但不深入
（1）8-3②
给出向量这样一个重要的数学概念时，仅仅指出了它的两个基本特征：长度和方向，却没有通过与数量比较，通过辨析帮助学生加深对此概念的理解（书后也没有相应的练习题）.
（2）8-4①
例1：喷气式飞机起飞时的速度大小为200miles/hour，方向是与水平面夹角成15°.
（a）求该飞机的水平滑行速度（精确到miles/hour）；
（b）求该飞机的竖直爬行速度（精确到miles/hour）.
书中解法运用了极坐标转换为直角坐标的坐标转换公式：（r，θ）→（rcosθ，rsinθ）求解飞机的水平飞行速度和竖直飞行速度，未能揭示该题的数学本质：向量的正交分解（平面向量基本定理的应用）.
（3）8-4④
第20题：重3000 lb的一辆汽车停靠在小山坡上，山坡的倾斜角为20°，W、U、F分别表示汽车的重力、垂直于山坡向上的支持力、车胎和路面之间的摩擦力.
（a）将汽车的重力W化为直角坐标式.（提示：先将W化成极坐标式）
教材中的解法需经历两次坐标转换：W→极坐标式→直角坐标式.该题的数学本质仍为向量的正交分解，解法中没有给予揭示，反倒给出了相对繁琐的解法.
2.过多地强调学生参与下的数学探究
8-3和8-4的课后练习中的画图题多达18题：
8-3：1，3-16，18共16题；
8-4：18，21共2题.
共占总习题数（50题）的近40%（这还不包括8-3节首的探究作图题）.
3.注重数学联系，但不到位
由单元的标题我们可以猜测出编者的用心，想让读者清楚地认识到向量与三角的关系.向量的两个特征：既有大小又有方向决定了它可以作为一种数学工具解决几何问题，但这一点在教材中未能得到很好的表达：
（1）由前面对教材的介绍，我们发现8-3和8-4涉及的知识点很少，向量部分的很多核心内容没有介绍，比如平面向量基本定理、向量的数量积.其中笔者想不明白的是既然已经介绍了向量的加法、减法、数乘三种运算，为什么不介绍向量的数量积运算，进而用它来证明本单元的8-6余弦定理和8-7正弦定理呢？如果这样处理的话不正好能让读者体会到向量与三角密不可分的关系吗？意犹未尽！
（2）8-4.
例2：飞机的航行速度大小为300 miles/hour，方向为北偏东40°.风速大小为60 miles/hour，方向为北偏东155°，求飞机的实际航速速度（大小和方向）.
教材中的解法：先将极坐标式通过坐标转换化为直角坐标式，然后用运算法则求和，再将和转化为极坐标式，十分烦琐！事实上，该题的数学本质是解三角形，可考虑用本单元介绍的余弦定理求解，从而将本单元的各节内容联系起来.
我国的学生不仅对美国的数学教材，还对其他一些国家的数学教材也表现出强烈的不适应感.这些国家在数学教材的编写上存在的问题大多是一致的，如英国数学课程的缺点[5]：
过分注重数学概念和问题的背景，忽视了数学本身的知识结构和体系；每一学期涉及的课题太多（被称为跳来跳去的课程）；教学内容比较宽泛（撒网式），深度不够（一英里宽一英寸厚的课程），知识之间缺乏逻辑联系等.
我们不妨利用这些共性，共同研究应对这些问题的策略，有兴趣的读者不妨考虑结合中外教材编写适合我国学生的校本课程讲义.
①“营养丰富”原是用于菜肴的词汇，此处特指我们的教师在备课过程中总是以课本为参照，对它进行认真研读，并加入大量的补充内容：概念的延伸、例题习题的解法补充和引申等，打造了一道教学营养大餐.
②参见《Intergrated Mathematics 3》第14 页“What students are saying”部分.