美国数学课程对变量概念的不同处理，本文主要内容关键词为：美国论文,变量论文,概念论文,数学课程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
美国长期以来没有统一的“教学大纲”和“高考”.1986年，全美数学教师理事会成立了学校数学标准委员会，起草标准.经过几年的努力，于1989年出版了第一个标准，即《学校数学课程与评价标准》，于1991年和1995年分别出版了《数学教学专业标准》和《学校数学教育的评估标准》，目的是给予统一的要求与指导. 为了落实这些标准的理念，美国国家科学基金会出资近九千万美元，支持基于标准的数学课程的研发.这些课程在20世纪90年代末大规模面世，一些学区陆续使用.本文的目的是通过比较一套基于标准的课程与一套传统的课程来看到底有何区别，为了比较的深入，我们在本文中只关注变量概念. 一、本研究选取的数学课程 前者我们选择的是《关联数学课程》（Connected Mathematics Project，以下简称改革型课程），后者是Glencoe课程（以下简称传统课程）.它们各有特色，都在美国广泛使用. 改革型课程是1991～1996年美国国家科学基金资助开发的，在2000～2006年进行了修订.该课程的总体目标是帮助教师和学生发展数学知识、理解概念、培养技能、了解数学各分支之间的联系、了解数学与其他学科的丰富关联.该课程特别强调所有学生应能熟练地进行数学推理和交流，要求学生能合理使用数学词汇和各种数学表征形式，懂得如何使用相关的学习材料、工具或科技手段来促进数学知识和技能的掌握，同时强调学生在解决数学问题时所应具备的推理能力、洞察力、独创能力以及熟练使用信息技术的能力. 为了更好地实现教学目标，该课程遵循了如下一些基本原则[1]：（1）该课程是围绕一些关键的数学思想展开的.数学概念、技能或程序性知识在课程中的设置，是为了支持这些数学思想的发展.（2）该课程强调不同数学内容之间的连贯和关联，强调数学问题与其他学科问题之间的关联.（3）该课程强调教学应通过对丰富问题情境的探究，来探索、发现和学习数学概念和数学思想.（4）该课程有助于促进学生根据图象、数字、符号和文字等表征形式进行有效数学推理的能力，并有利于提高在这些不同的表征之间灵活转换的能力.（5）该课程充分结合计算器或计算机的信息处理功能，并充分考虑这些技术为学生的学习方式和问题解决方式带来的变化. 该课程分成了一些独立的单元系列，六到八年级各有八册单行本，涵盖四个不同的数学领域，即数与运算、几何和测量、数据分析和概率、代数.代数的册数最多，有七册，其中七年级有两册，这两册的标题是“变量与模式：代数的引入”（后面简称变量与模式）和“笔直前行：线性关系”（后面简称笔直前行）.这两册是我们要分析的重点. 传统课程则是典型的混编教材，六到八年级各一册，每册有5～6个单元，每个单元又分成2～3个小节.六年级的课程有六个单元：（1）整数、代数和统计；（2）小数；（3）分数；（4）代数；（5）比和比例；（6）测量和几何.该数学课程给出了数学概念的正式定义、例题、习题，其组织形式看起来像希望学生通过概念学习、仔细探究和模仿例题的解答，以及“实践和应用”部分问题的练习来学习数学.例题的解答比较完整，而且带有详细的解释.我们要分析的内容主要分布在变量和表达式单元和一次函数单元. 改革型课程通过对现实世界情境问题的探索，帮助学生建立对重要数学概念的理解；传统课程则通过带有详细解答的样例的学习和模仿练习，学习数学知识，发展数学能力.改革型课程采用函数取向的方法，强调研究情境中的变化，强调变量之间的关系；而传统课程采用结构取向的方法，强调系统抽象的符号运算.这两个课程可看成函数取向和结构取向代数课程的典型. 二、两种课程对变量的不同处理 变量是代数最基本的概念，算术和代数的主要区别是代数中引入了变量.在代数中，变量可以有不同的含义.一般来说，中学数学课程中，变量有如下三种不同的用法：（1）模式推广符（如将5+3=3+5推广到一般的形式a+b=b+a）或一定范围内数值的代表（如3t+6表示一个数的3倍加6得到的所有可能的结果）.（2）纯方程中的占位符或未知数（如x+6=21中的x）或从文字题转化来的方程（如再过多少年，6岁妹妹的年龄将是21岁）.（3）表示关系的变量，如：y=9x-43表示通过点（5，2）、斜率为9的直线方程；C=15N表示买N张单价为15元的电影票所需的钱数C. 在数学教育界，对下列成对的概念并没有一致的认识：字母和变量、未知数与变量、占位符与变量.有些学者认为每对词表示同一样东西，而有些却认为每对中的两个词都是有区别的.对中小学代数的不同认识，是造成这种不一致的部分原因.如果将代数看作算术的推广，变量就可解释为模式推广符；如果将代数看作解决某类问题过程的学习，变量就可看成未知数或常数；如果将代数看作数量之间关系的学习，变量就应看成原象和象或参数；如果将代数看成严格的结构的学习，变量就可看成任意的符号或记号. （一）变量概念的学习目标 改革型课程强调用变量来表示数量之间的关系，如：“寻找表示变量之间关系的变化规律”“理解变量是一种可变化的量，认识现实世界中的变量”“确定变量及自变量、因变量的取值范围”，这些都要求学生通过变量来表示关系. 相反地，传统课程则将变量处理成方程中的未知数和占位符，如在变量和表达式那节，写在教师手册上的学习目标是“学生首先学习一些操作性的模型来代表未知数，逐渐地，学生可以将这种具体的感知转化为对代数表达式中的变量意义的理解”.与此同时，传统课程关于变量的学习目标以解方程为代表.如在解方程一节，我们能见到这样的陈述：“之前，学生已经接触过用方框或圆圈表示的方程中的未知数，他们学习变量如何在代数方程中起着同样的作用.”八年级的教师用书中有这样一个例子：“像（ ）+6=8这样的问题，现在可以写成x+6=8.”显然，传统课程强调将变量理解为未知数或占位符.需要说明的是，尽管传统课程没有特别说明将变量作为模式推广符和一定范围内值的代表的学习目标，却不乏这样的例子：在六年级的课程中，比例被定义为“表示两个相等的比的式子”，随后有“a/b=c/d，b≠0，d≠0”的表示.在这种表示中，变量被用作模式推广符.
（二）变量概念的引入 改革型课程在七年级引入变量概念，而传统课程在六年级，因为两种课程对变量的定义有很大的不同及其前后准备有较大的不同，我们这里分别对其进行介绍，之后再进行对比分析. 1.改革型课程中的变量 改革型课程对变量的定义是“变量是一个可变化的量”，并强调使用图象等多种表征方式来表示两个变量之间的关系. 改革型课程将变量定义为可变化的量，而不急于使用字母符号表示变量，所以在七年级正式地引入变量概念之前很长一段时间可以很方便地、非正式地使用变量来表示数量之间的关系.如，在六年级的单元“我们的数据”的探究4中，学生就通过坐标图来探究数量之间的关系，将横轴和纵轴分别标上对应的量的名称，画出数据点，进而观察量与量之间的关系.有时，这种关系不是量化的，如学生家离学校越远，上学所需要的时间就越长.有时，这种关系是量化的，如身高一般是脚长的6～6.5倍. 当一年以后在七年级的“变量和模式”中引入变量概念时，学生对变量的意义已经有了一定程度的理解，只是变量这个词是新的.在这册书的前三节中，变量的意义和六年级没什么差别，学生仍然用文字的变量名称来标示表格或坐标图中的变量，也使用文字来描述数量之间的关系.直到“笔直前行”的第四节，才正式引入字母来表示变量：“用字母代替文字的变量可以简化这些规则的表达方式.”图1是改革型课程引入变量一节的一个问题，可以看出，改革型课程强调在现实世界情境中理解变量和变量之间的关系. 下图表示的是一所学校一天中自动售货机每小时卖出的饮料的罐数（6指的是5：00～6：00，7指的是6：00～7：00等）.
总之，在改革型课程中，变量概念的发展强调了变量的变化属性，强调变量之间关系的表述是代数的核心.在改革型课程正式引入变量概念之后，没有马上介绍方程，而是引入自变量和因变量，并通过现实世界数量关系的表格和图象表征来研究自变量与因变量之间的关系. 2.传统课程中的变量 传统课程在六年级给出了变量的定义，即用来代表一个数的符号，通常用一个字母表示.图2表示的是传统课程中的一个例子，该例子中每个变量仅被赋给一个值，给人的印象是变量和数可以互换.这种等式中的字母，是占位符，而不是数学中常说的变量.
从两种课程对变量的定义，我们可以清晰地看出，改革型课程用变量来表示数量之间的关系，而传统课程则将变量看作占位符或未知数.所以，改革型课程通过分析变量之间的关系，让学生从动态的角度理解变量，而传统课程则因每个变量都有一个固定的值，给人以静态的感觉. （三）一次函数中的变量 1.改革型课程中的一次函数 改革型课程通过多种表征形式引入函数概念，帮助学生理解两个变量之间的关系.在七年级开始的时候，变量和关系是同时引入的，随后是自变量、因变量的概念，直到七年级下学期才引入一次函数的概念. 改革型课程是通过收集实际数据、利用图象表征数据并分析图象的过程引入一次函数概念的.学生收集两个相关变量的数据，如橡皮球落下的高度和其反弹的高度，进而用图象表示两个变量之间的关系，再通过观察和分析图象，并从图象的意义得到猜想，如这些数据点可能落到一条直线上，获得一次函数关系的图象是直线的印象.为增强这种理解，在“笔直前行”那册中，给出可作成图3的下落高度和反弹高度的数据，学生要求作出其对应的坐标图并分析数据.
在后续的课中，学生要求根据给定的表格数据得出表示两个变量之间关系的规则.这些规则先用文字描述，然后才转到符号表示，即代数方程的表示.这部分的重点是通过两个变量如何同时变化的分析来研究线性关系.改革型课程发展学生线性关系的主要方式是让学生研究在各种情境中一个量的改变如何影响对应的表格、图象和方程.所以自始至终，在改革型课程中，变量都是可变的. 通过对变量之间关系的探究，学生对变量和函数概念的理解都能达到一定的深度.这种对变量概念的发展反映了改革型课程核心的代数学习原则：“当你研究变量之间如何关联时，你就在学习代数.” 2.传统课程中的一次函数 传统课程则通过函数机器来引入，即输入一个值，进行一些运算，输出一个结果的过程，输入、输出和运算是函数三个关键的元素，而运算又是核心.在此，输入和输出均可被当作变量，但直到第二册中将函数表示成两个变量的方程时才使用变量来表示输入和输出.虽然该课程强调输入和输出，但并没有引入自变量和因变量的概念. 通过改变输入和输出，传统课程本可以帮助学生理解变量是可以变化的量，但其使用函数机器的主要目的是让学生体验从给定输入计算输出或从给定输出计算输入的过程，所以传统课程强调的是运算而不是变量之间的关系.介绍完函数机器以后，传统课程也介绍了函数的概念、函数表和函数法则等，如一只蝙蝠所吃的蚊子数是时间的函数.传统课程提供函数表或问题情境，要求学生写出函数法则，如第二个数是第一个数的3倍，如果用x表示第一个数，y表示第二个数，请写出x、y应满足的方程.这种问题似乎在强调使用函数就像在寻找模式，在这点上，变量被用来表示关系.在学习一次函数的时候，传统课程也让学生作出函数表，在坐标系上画出其表示的有序数对，并画出通过这些点的直线，但没有要求学生画足够多的散点让学生去观察两个变量之间的线性关系，如教材中函数y=3x的图象上只画了三个点就说“这些点好像在一条直线上，画一条经过这些点的直线”. （四）变量、方程和一次函数之间的关联 在改革型课程中，变量、代数方程和一次函数之间的关系见图4.不难看出，关系（或函数）是其代数课程的中心，文字叙述的变量在形式化的变量引入之前用来分析数量之间的关系，同样地，在代数方程之前，文字形式的句子和方程也用来描述关系.在传统课程中，变量、代数表达式和代数方程是直线发展的（图5），然而却很少强调代数方程和函数之间的联系.在传统课程中，方程和一次函数是相对独立的，而且在其教材系列中方程内容所占的页面几乎是函数内容所占页面的2倍.而在改革型课程中，函数内容所占的页面却是方程内容所占页面的14倍.
三、结论与讨论 在本文中，我们比较了美国两种数学课程对变量概念的不同处理，试图揭示它们之间的差异，改革型课程采用的是函数取向的方法，而传统课程采用的是代数结构取向的方法；函数取向强调情境中的变化，变量之间的关联，而结构取向较少关注情境问题，注重发展学生系统地进行抽象符号运算的能力.两个课程对变量的不同理解，不仅对变量概念本身的形成和发展，也对方程和函数概念的发展有深远的影响.本文比较了其对一次函数概念的影响，我们将在今后单独讨论这种处理对方程教学的影响.改革型课程的代数单元主要围绕关系和函数来组织和发展，在正式地介绍变量概念之前，学生就学习分析表格、图象表示的（两个量之间的关系）关系，而不是代数方程形式表示的函数.而传统课程却不强调使用变量来表示关系，也很少提供现实世界的情境帮助学生理解变量之间的关系.更多的篇幅是让学生学会对表达式求值、解方程，而不是学习函数，虽然传统课程使用“函数机器”来表示函数，但它们主要被用来演示如何透过一定的运算从给定输入计算输出. NCTM（2000）的标准指出“多数学生在进行变量和代数表达式的运算之前，需要积累分析多种问题情境中数量关系的广泛体验”.改革型课程（正式地和非正式地）使用变量来表示现实世界的关系，当学生获得足够多的体验后才引入方程，这种处理为学生有意义地进行代数表达式的运算做好了准备，也避免对字母的错误理解.美国改革型课程的处理突出了变量之间的相互依赖关系.通过两种课程的比较，我们比较倾向于改革型课程对变量的处理方式，并以此为基础发展代数课程. 不难看出，现阶段我国代数内容的处理和美国传统课程有很多相似之处，我们比较这两种课程并不是说改革型课程一定比传统课程要好，而是说，我们可以借鉴改革型课程的某些处理方法，让抽象的代数概念和运算变得更有意义.早在1908年，F.克莱茵任美国国家数学教育委员会主席时就提倡设计以函数为核心的数学课程，改革型课程正是这样一种代表.
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