初中农村教师数学知识状况及来源的调查研究——以勾股定理为例，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,为例论文,调查研究论文,数学知识论文,状况论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
著名教育家杜威（Deway）曾说：“教师怎样能够做理智的领导者呢？这是一个重要的实际问题.第一个条件，他要有充分而盈溢的知识.”[1]随着教师专业化与教师专业发展的提出，人们越来越认识到教师知识的重要性，认为它是教师专业发展的主要基础，是有效教学的基本保证.那么，教师需要哪些知识？围绕这个问题，不同研究者从不同的角度提出了教师所需要的各种知识[2].其中，有一种共同的知识就是学科知识，并且研究者们一致认为，一名教师是否具有扎实的学科知识是他能否胜任教师工作的最基本的条件.比如，有研究表明：数学教师的知识结构呈“π”字型，最上面的横代表教师的实践性知识（关于课堂情境及与之相关的知识），下面的两竖分别代表学科知识（数学知识）和条件性知识（教育学和心理学知识），是教师教学实践的两个支柱[3].由此可见学科知识的重要性.
在我国，有学者选取关于分数领域的有关内容来研究小学数学教师的学科知识[4]，有学者以函数为例对高中数学教师的学科知识进行了调查研究[5]，有学者利用一道几何题来研究中学数学教师的学科知识[6].这里以初中数学的重要内容——勾股定理的证明作为测试内容，来考察初中农村数学教师的学科知识（也即数学知识）状况及来源，以期为教师教育的开展提供参考性的建议和意见.
二、研究方法
1.调查对象
调查对象来自参加“国培计划”——××省农村中小学骨干教师置换脱产研修项目（2010年10月至2011年1月）的40名初中农村数学教师.其中，男教师34名，女教师6名；教龄1～5年的教师2名，教龄6～10年的教师3名，教龄11～15年的教师15名，教龄16～20年的教师13名，教龄21年及以上的教师7名；学历为大专的教师17名，学历为本科的教师23名.在此次“国培计划”之前，没有参加过任何培训的教师4人，参加过县级培训的教师22名，参加过地市级培训的教师19名，参加过省部级培训的教师25名.（注：有的教师县级培训、地市级培训和省部级培训都参加过）
2.调查问题
勾股定理是初中数学中的重要知识之一，是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，在数学内部（与其他数学定理或公式之间的联系）和现实世界中都有着广泛的应用.基于此，研究者选取“勾股定理的证明”来考察初中农村教师数学知识的状况及来源.
（1）关于初中农村教师数学知识的状况：研究者主要从数学教师证明数学定理的正确情况以及给出证明方法的种类两个方面来考察.需要说明的是，关于勾股定理的证明方法不下几百种.常见的证明方法主要有：利用拼图或分割的方法证明（“赵爽弦图”证法、毕达哥拉斯证法、美国第20任总统加菲尔德的证法（以下简称“总统证法”），以及拼图方法），利用全等三角形证明，利用相似三角形证明，利用切割线定理证明以及利用三角函数、余弦定理和正弦定理证明等.其中，“赵爽弦图”证法、毕达哥拉斯证法，总统证法在被调查教师所使用的初中数学教材（人民教育出版社）[7]中都有出现.
（2）关于初中农村教师数学知识的来源：根据教师的成长历程将其分为3类.其中，来源一是中小学阶段在正式教育环境（学校）和非正式教育环境（家庭及其他日常生活情境）中的经验，也即“接受正规职前培训前作为学习者的经验”；来源二是大学阶段在正式教育环境（学校）和非正式教育环境（家庭及其他日常生活情境）中的经验，也即“职前教育”；来源三是教师的在职经验，包括在职阶段的“在职培训”、“课堂听课和教研活动”、“和同事的日常交流”、“教科书”、“教学辅导资料（包括试卷）”、“专业书刊”、“网络资源”、“自身的教学经验和自我反思”等.
综合以上有关情况，调查问题为：（1）请您尽可能多地给出勾股定理的证明方法，并简要写出证明过程或思路.（2）您是怎样获知这些证明方法的（来源一、来源二或来源三）？同时，对有关教师进行个别访谈.
3.数据收集与整理
采取集中调查的方式.发放问卷之前向调查对象说明研究目的，承诺调查结果仅供研究使用，问卷匿名，请调查对象尽可能反映自己真实的想法和水平.调查时间以教师完成全部题目为准.
问卷回收后，对问题的回答进行正确或错误编码，没有回答的计作错误.同时，还由两名评分者分别对答案类型进行编码，并对编码不一致的题目答案进行审议，直至得到一致的编码结果.所有数据采用软件Excel录入、处理与分析.
三、调查结果
1.初中农村教师数学知识的状况——关于勾股定理的证明
调查结果表明，40名被调查教师所给出勾股定理的证明方法或思路都是正确的.但是，这些证明方法或思路大多来自于教材，具体情况如下：82.5%（33名）教师给出了“赵爽弦图”证法；50%（20名）教师给出了毕达哥拉斯证法；87.5%（35名）教师给出了总统证法.同时，只有15%（6名）教师给出了拼图证法；5%（2名）教师给出了欧几里得的证法；7.5%（3名）教师给出了利用相似三角形来证明勾股定理的方法.
至于切割线证法以及利用三角函数、余弦定理和正弦定理的有关证明方法，有的教师仅是提到了，但没有给出大致的证明过程或思路.具体情况如下：没有1名教师提到利用切割线定理来说明勾股定理；只有15%（6名）教师提到利用三角函数来说明勾股定理；5%（2名）教师提到利用余弦定理来说明勾股定理；10%（4名）教师提到利用正弦定理来说明勾股定理.而且，在本次调查中，一些简便而巧妙的勾股定理证明方法没有被教师们所提及.
比如，依据命题“相似三角形面积的比等于其对应边的平方比”来证明勾股定理（图1）：设CD是直角△ABC中斜边AB上的高，显然有△CBD∽△ACD∽△ABC，将有关命题用于这3个相似三角形，则有：
还有30%（12名）教师在问卷中提到利用网格法来说明特殊情形下的勾股定理；15%（6名）教师提到通过度量的方法来验证勾股定理（利用直尺、三角板或“几何画板”）.
2.初中农村教师数学知识的来源——关于勾股定理证明方法或思路的来源
在调查有关勾股定理证明方法或思路的来源时，被调查教师11次（占总次数的9.02%）提到来源一：“作为学习者的经验”；3次（占总次数的2.46%）提到来源二：“职前教育”；提到来源三：“在职经验”的具体情况如下：52次（占总次数的42.62%）提到“教科书”，33次（占总次数的27.05%）提到“自身的教学经验和自我反思”，8次（占总次数的6.56%）提到“专业书刊”，6次（占总次数的4.92%）提到“和同事的日常交流”，3次（占总次数的2.46%）提到“课堂听课和教研活动”，3次（占总次数的2.46%）提到“教学辅导资料”，2次（占总次数的1.64%）提到“在职培训”，1次（占总次数的0.82%）提到“网络资源”.（见下页图3）
可以看出（图3），“教科书”和“自身的教学经验和自我反思”是初中农村教师发展数学知识的两个主要来源，其次是“作为学习者的经验”，接下来是“专业书刊”、“和同事的日常交流”、“课堂听课和教研活动”、“教学辅导资料”、“在职培训”、“网络资源”和“职前教育”.
四、讨论与分析
1.初中农村教师数学知识状况的有关分析
有关调查结果表明，初中农村教师对教材上所给出勾股定理的证明方法是熟悉的，但是，相对而言，对于其他证明方法就不是很熟悉了.
若再仔细考察数学知识的内涵，它应该包括数学观念（主要是指对数学学科的看法和认识）、学科内容知识（主要包括数学概念、数学定理、数学法则、数学公式、数学题目等）、数学思想方法以及数学史知识等.一些数学教师对勾股定理的证明仅限于教材所给，这至少反映了这些教师在数学观念、数学思想方法和数学史知识3个方面的一些欠缺.
（1）数学观念
动态的数学观认为，数学体现着人类的发明与创造，数学是一个有内部联系的、动态发展的学科.如前所述，勾股定理与其他数学命题之间有着密切的联系，像余弦定理、正弦定理、射影定理、切割线定理和三角函数等.然而，以上调查结果表明，有些教师在证明勾股定理时，很少想到这些数学命题.同时，在访谈中，当问及勾股定理与其他数学命题之间的关系时，这些教师的回答显示出对有关数学命题之间联系认识的欠缺.此情况说明，这些教师还缺乏整体的数学观念.由于认识是指导实践的，有时是显性的指导，有时是隐性的指导，所以，教师的有关观念也或隐或显地指导教学行为.如果教师缺乏整体的数学观念，那么又怎能有效促进学生“既见树木，又见森林”呢？由此可见，教师应更加有意识地培养整体的数学观念，这是一个认识层面的问题，也是一个实践层面的问题.
（2）数学思想方法
勾股定理的几百种证明方法中蕴涵着丰富的数学思想方法.除了数形结合的数学思想方法外，至少还有：其一，拼图的方法.除了“赵爽弦图”证法、毕达哥拉斯证法、总统证法和“火柴盒”拼图证法（如图4，火柴盒倒下所抽象出的图形）之外，还有这样的一个拼图方法（图5）：在两个并列正方形中，剪两刀，使之拼成正方形.大致过程如下：在图4中的AB上取点E，使EB=b，因此AE=a，分别连接C、E与D、E，得甲、乙两个全等的直角三角形，设它的斜边为c，把这两个三角形移至图11中虚线处的甲、乙位置，必有一个顶点重合于点F，此时四边形ECFD是边长为c的正方形.而它的面积刚好就是图11中的那两个边长为a与b的正方形面积之和.由于a与b是任意的，这就证明了
.
其二，正数
可解释为边长为a的正方形的面积值.因此，可以从面积法的角度来考虑勾股定理的证明.其三，用图形转化的思想来考虑勾股定理的证明，有很多证明方法[8].其四，用变化的思想来考虑勾股定理的证明，也有很多证明方法[9].其五，用相似法证明勾股定理，同样也有很多方法[10].
调查结果说明：有些教师在证明勾股定理时，缺少发现其中所蕴涵数学思想方法的眼光.而且，从教师访谈中还了解到，有些教师很少从数学思想方法的角度来思考勾股定理的证明.事实上，若教师更多地从数学思想方法的角度来思考问题，则可能会有更加丰富的回答.所以，在数学思想方法方面，初中教师需要有更强的意识，并自觉地将之运用到数学问题解决当中去.
（3）数学史知识
在访谈中，当问及勾股定理的有关历史时，大多数教师表示只略知一二.比如，中国和古希腊各自独立地发现了勾股定理.但是，他们对其中所蕴涵的丰富数学文化却知之不多.比如，我国历代数学家提出勾股定理的证明方法（梅文鼎图、杨作枚图、李锐图、安清翘图、何梦瑶图、陈杰图、项名达图、华蘅芳图等）[11].同时，他们对勾股定理几百种证明方法中所体现出东西方的文化差异也体会不深.事实上，从总体上来说，东方的思维方式是数形结合、以算为主、注重算法，其中以“赵爽弦图”证法为代表；而西方的思维方式是结合图形、经过演绎推理、注重算理，其中以“欧几里得的证法”为代表：可以说，如果教师多关注、多思索勾股定理证明中所蕴涵的数学文化，那么，他们所想到的证明方法会更多，所渗透的数学文化会更精彩，所引导的教学过程会更具内涵，所培养的学生会有更高的数学素养.
2.初中农村教师数学知识来源的有关分析
一方面，在调查初中农村教师数学知识的状况时，发现教师所给出勾股定理的证明方法或思路主要来自于教科书；另一方面，在调查初中农村教师数学知识的来源时，发现“教科书”是初中农村教师发展数学知识的一个主要来源.这两个方面是密切联系的，说明初中农村教师对教科书是熟悉的，对教科书上的知识点是熟悉的，这也是中国教师一直以来的传统习惯——重视教材.此外，“‘自身的教学经验和自我反思’是初中农村教师发展数学知识的一个主要来源”.这个调查结果说明教师在教学过程中还是比较注重反思的.
同时，有的教师在访谈中提到，小时候就对用拼图或分割的方法来证明勾股定理这一学习印象深刻.正是由于这种原因，所以有不少教师谈到“作为学习者的经验”对发展数学知识的作用.
至于其他来源在教师发展数学知识中所起作用的相关调查结果表明：一方面，有关教师教育工作者要切实思考“在职培训”和“职前教育”的有效性；另一方面，教师自身要充分利用发展数学知识的一些常见途径.比如，“专业书刊”、“教学辅导资料”、“和同事的日常交流”和“课堂听课和教研活动”等.而且，教师自身还要不断扩充发展数学知识的途径，比如，“网络资源”.关于后一方面，以下两点需尤为注意：
（1）充分利用发展数学知识的一些常见途径
在调查访谈中，有教师反映，在“和同事的日常交流”和“课堂听课和教研活动”中，其实也遇到过教材所给勾股定理证明方法之外的其他方法，但是，当时没有记下来，结果过一段时间就忘记了.还有1名教师提到，他所采用的火柴盒拼图的证明方法是从一次中考试题中获取的.此外，有教师提到，有关的专业书刊上常有关于勾股定理的证明方法，只是自己平时没有留意.
实际上，“专业书刊”、“教学辅导资料”、“和同事的日常交流”和“课堂听课和教研活动”这些途径都是教师在平时工作中经常接触的.所以，如果教师充分利用这些途径，则有关的知识一定会得到更好的发展.这就需要教师注重平时的积累，正所谓“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”.平时的积累包括无形资源的积累和有形资源的积累.所谓无形资源的积累，指的是对在“和同事的日常交流”和“课堂听课和教研活动”中有关教学事件的整理，进一步地，最好将这些无形资源有形化.也就是说，以文字的形式及时整理教学资源.否则，有些教学资源随着时间的推移而被遗忘.所谓有形资源的积累，主要指的是对“专业书刊”、“教学辅导资料”中教学资源的收集和整理.一道道典型编排的习题、一篇篇精心设计的教案、一份份反响良好的试卷都是教师心血的结晶，都应当及时归类整理和保存.特别提出的是，有形资源也包括网络资源.
（2）不断扩充发展数学知识的途径
相关调查结果表明，在调查有关勾股定理证明方法或思路的来源时，被调查教师只有1次提到“网络资源”.所以，学会充分利用丰富的网络资源应是教师所需要扩展的一个知识来源.
由于调查对象所在学校的网络硬件建设并不是很好，教师办公室还没有较好的网络设施，所以，不少教师还不太熟悉计算机的一些基本操作，包括如何通过网络搜索来丰富自己的有关知识.在调查访谈中，这些教师希望教育管理部门加大对农村学校的教育经费投入，实现教育资源的公平分配.同时，随着社会的发展，越来越多的教师有机会接触到计算机.在本研究的调查过程中，许多教师反映，希望在本次研修中能够提高自身的计算机操作水平，包括如何进行快速、有效地网络搜索.这说明，有关教师在计算机操作方面的不足和迫切希望提高计算机操作水平的愿望.
值得注意的是，教师除了要注重提高自身的计算机操作水平之外，还要注意提升运用计算机来丰富自身有关知识的意识——有些教师可能会使用计算机.但是，当遇到问题时，他们仍然没有想到从网络搜索中去寻找帮助，仍然缺乏利用“网络资源”来丰富有关知识这条有效而丰富的途径.