基于括号表示法的一阶逻辑系统论文

基于括号表示法的一阶逻辑系统

杜国平

摘 要： 括号表示法是一种在形式语言中以括号来表示各种逻辑常项的符号表示方法。与已有的表示方法不同，它是一种整体表示法。以命题逻辑的形式语言为例，可以证明括号表示法的唯一性定理。在形式语言中，运用括号表示法表达的公式，其长度比用中置法表达的公式简短。运用括号表示法改写的一阶逻辑自然推理系统非常简洁。括号表示法为研究逻辑常项的推理结构提供了一个非常良好的分析工具。

关键词： 括号表示法；逻辑常项；唯一性；公式长度；一阶逻辑系统；推理结构

一、括号表示法

根据张清宇先生的相关思想[注] 张清宇：《不用联结词的经典命题逻辑系统》，《哲学研究》1995年第5期。张清宇：《不用联结词和量词的一阶逻辑系统》，《哲学研究》1996年第5期。张清宇：《哲学逻辑研究》，北京：社会科学文献出版社，1997年，第25～68页。 ，我们在《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》与《不用联结词的“舍生取义”型自然推演系统》[注] 杜国平：《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》，《重庆理工大学学报(社会科学)》2019年第4期。杜国平：《不用联结词的“舍生取义”型自然推演系统》，《湖南科技大学学报(社会科学版)》2019年第3期。 两篇文章中对“不用联结词”的相关思想进行了进一步的阐发并以此为基础做了一些推进性的研究工作。以这些工作为基础，我们在此明确提出逻辑符号的括号表示法。之所以在张清宇先生“不用(真值)联结词”提法的基础上，提出逻辑符号的“括号表示法”，是基于几点考虑：1.为了避免误解。联结词是逻辑研究的核心内容之一，例如命题逻辑主要研究的是“否定”“蕴涵”“合取”“析取”“等值”等联结词的推理性质，模态逻辑研究的是“必然”“可能”等联结词的推理性质，时态逻辑研究的是“曾经”“将来”“一直”“永远”等时态联结词的推理性质，直觉主义逻辑和弗协调逻辑研究的主要是基于独特哲学思考的“否定”“蕴涵”等联结词的推理性质，即使在以量词为核心研究内容之一的一阶逻辑中，联结词也是不可或缺的。对于不太了解张清宇先生“不用联结词”具体含义的人来说，在一个逻辑系统中不用联结词是令人费解的。实际上，张清宇先生“不用联结词”指的仅仅是在初始符号中不用联结词而已，是使用括号来代替某一个联结词的符号表示法，常用的联结词是可以通过定义而引入的(在公理系统中，张清宇先生使用了通过定义引入的联结词“”)[注] 张清宇：《不用联结词的经典命题逻辑系统》，《哲学研究》1995年第5期。 ，并且在语义解释中，括号是可以被解释为“联结词”的。2.在初始符号中，符号仅仅是符号而已，我们常把小写字母“p 、q 、r ”等称为“命题变元”，把箭头“→”和方框“□”称为联结词，这实际上是基于一个直觉的语义解释的背景，作为形式语言，“p 、q 、r 、→、∧、∨、、、”都仅仅是不同的符号而已。同样，作为形式语言，括号“( )”也仅仅是符号而已，当其经过语义解释之后，它可以是具有结构功能的“括号”，也可以是真值运算的“联结词”，还可以做其他解释。有时我们称形式语言中的某类符号为“联结词符号”也仅仅是为了称呼方便而已。3.在括号表示法中，括号不仅可以用来承担“(真值)联结词”的功能，而且可以继续承担其区分层次、确立符号结合先后顺序的结构表达功能，还可以用来表示“量词”“模态词”“时态词”等等。4.在逻辑符号系统中，不同的符号标示系统是各个逻辑系统的特征标志之一，这些符号的使用情况有时甚至影响着相关逻辑系统和逻辑思想的传播和发展。如包含二维符号“a 、、f (a )”的弗雷格符号系统，包含符号“p 、p ∩q 、p ∪q 、p ⊃q 、p q ”的皮亚诺符号系统，包含符号“p ∨q 、p q 、p ⊃q 、p q ”的罗素《数学原理》符号系统，包含符号“p ∨q 、p &q 、p →q 、p ～q ”的希尔伯特符号系统等，特别值得一提的是由卢卡西维茨等人发明的包含符号“Np 、Cpq 、Kpq 、Apq ”的波兰表示法系统。其中，弗雷格的符号“虽然相当精确，但因为是二维的，因此很难掌握，也不便于应用，从历史上看，这就是造成弗雷格的《概念文字》在当时未能产生很大影响的重要原因之一。”[注] 郑毓信：《现代逻辑的发展》，沈阳：辽宁教育出版社，1989年，第52～53页。 《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》与《不用联结词的“舍生取义”型自然推演系统》两篇文章中提出的包括符号“(p )、(pq )、(x )”的括号表示法是与前述若干种符号表示法不同的一种新的标记方法。

在逻辑形式语言中，包括常项和变项。变项主要用来描述所要研究的特定范围内的语言对象；常项包括逻辑常项和非逻辑常项，其中逻辑常项是逻辑研究揭示特定范围内推理规律的核心要素。不同的符号表示法的区别主要体现在逻辑常项的区别上。

一般认为，常见的逻辑形式语言对于逻辑常项的表示方法主要有前置法、中置法和后置法。前置法指的是把运算符号或者联结词写在运算项或者变项之前的一种表示方法。20世纪20年代波兰逻辑学家卢卡西维兹提出的波兰表示法就是前置法。后置法也称逆波兰表示法，指的是把二元运算符号或者二元联结词写在两个运算项或者两个变项之间的一种表示方法，常见的数学运算如“+、-、×、÷”等采用的都是中置法。中置法的优点是直观，缺点是需要括号或者其他约定来确定运算的先后次序，而且不适用于一元运算，也难以适用于三元或者三元以上的运算。前置法和后置法的优点是运算的先后次序是明确的，不需要使用括号，公式简约，缺点是不够直观。

上述常见的三种符号表示法都是分离表示法。括号表示法不属于上述任何一种表示法，它是一种整体表示法，在设计思想上是一种完全不同的符号表示法。之所以称上述三种符号表示法为分离表示法，是因为中置法将运算符号或联结词左右的两个符号断开，当其作为一个单元形成更复杂的公式时(如p ∨q →r )，需要括号或者其他规定来确定运算的先后顺序；前置法和后置法虽然运算顺序是明确的，但是因为相互临近的两个符号是分置的，当公式足够复杂时(如CKCNp Cpqrs )，确立运算顺序也非易事。反之，括号表示法将其作用的符号作为一个整体连接在一起，结合顺序和运算顺序非常明确。并且，括号表示法也不受元数的限制，非常灵活，它可以作为一元联结词，如(p )；也可以作为二元联结词，如(pq )；还可以作为三元或者多元联结词，如(pqrs )；当然，也可以作为量词，如(x )。综上所述，括号表示法是一种在形式语言中以括号来表示各种逻辑常项的符号表示方法。

二、形式语言

因为括号表示法和其他表示法的区别主要是联结词符号表示的区别，所以下面我们在命题逻辑的形式语言中研究括号表示法的精确性(唯一性)问题。

定义3.1 公式中依次出现的命题符号数、联结词数和左右括号的对数之和，称为表达式的长度，记为()。

(1)命题符号：p ₁，p ₂，p ₃……；

(2)左右括号：(，)。

通常以p 、q 、r 等表示任一命题符号。

定义2.2 一个由形式语言L(P)中的符号构成的任意有穷序列称为一个表达式；一个表达式中依次出现的符号的数目，称为表达式的基数。

左括号、右括号、字母或者字母加下标算作一个符号。

前苏联著名教育家苏霍姆林斯基曾说：“最完备的教育是学校和家庭的结合”。要教育好学生，不能只靠班主任，而是要调动一切可调动的力量，其中，家长的力量尤为重要。无论是班主任还是家长，都希望通过家校协作给予孩子最适合的教育。在工作中，班主任与家长如何通过有效的沟通，增进理解，增强互信，达成共识，从而帮助孩子成长呢？

我们使用大写字母X、Y、Z(或加下标)来表示任一表达式；所有表达式的集合记为Expr (L(P))。

定义2.3 两个表达式X和Y是相等的(或相同的)，记作XY，当且仅当它们有相同的基数，并且依次出现的符号相同。

定义2.4 设X、Y、Z、Z₁、Z₂Expr (L(P))。如果XZ₁YZ₂，则称Y为X的段；如果XY，则称Y为X的真段；如果XYZ，则称Y为X的初始段，称Z为X的结尾段；如果XYZ，且Z不空，则称Y为X的真初始段；如果XYZ，且Y不空，则称Z为X的真结尾段。

在这直观的示意图中，学生们运用学到的数学知识来解决新的数学问题，不仅降低了学生的学习难度，而且学生们可以真切地感受到数学知识之间的联系，促进了学生数学学习质量的提升。

定义2.5 称L(P)的一个表达式为原子公式当且仅当它是一个单独的命题符号(加下标)。

由L(P)中所有原子公式构成的集合记为Atom (L(P))，由L(P)中所有公式构成的集合记为Form (L(P))。

定义2.6Form (L(P))是满足以下(1)—(3)的表达式集合中的最小集：

(1)Atom (L(P))；

(2)若X，则(X)；

(3)若X，且Y，则(XY)。

通常用字母、、等表示任一L(P)的公式；用~、、等表示任一公式集合。

定理2.1 设是关于表达式的一个性质。如果：

(1)对于任一公式Atom (L(P))，均有()；

(2)对于任一公式Form (L(P))，若()，则(())；

(3)对于任何公式、Form (L(P))，若()且()，则(())。

那么对于任一公式Form (L(P))，都有()。

证明：

令Form (L(P))且()，则满足定义2.6中的(1)—(3)，因此Form (L(P))。所以，对于任一公式Form (L(P))，都有()。

定理2.2 假设Form (L(P))，则中左括号数和右括号数相等。

定理2.3 假设Form (L(P))，若不是原子公式，则以左括号开始，以右括号结束。

定理2.4 假设Form (L(P))，则在非空的真初始段中，左括号出现的次数比右括号多；在非空的真结尾段中，右括号出现的次数比左括号多。

证明：

1.若是原子公式，则不存在的非空真初始段，也不存在的非空真结尾段。

2.若形如()。假设定理对于成立，则非空的真初始段只能是：(1) (；(2) ((是的非空真初始段)；(3) (。显然其中左括号比右括号出现的次数多。

4）设2个像素点为一组，计算Rx1=rx1+rx2，Rx2=rx3+rx4，…，Rx65=rx129+rx130，以及 Ry1=ry1+ry2，Ry2=ry3+ry4，…，Ry65=ry129+ry130。

本文首次尝试了在PHC管桩免蒸压生产过程中将光纤光栅(FBG)传感器植入桩身内部的埋设工艺，这种新的埋设工艺成功地克服了PHC管桩生产过程高速离心、高温高压的难题，也避免了因破坏桩身表面而影响长期承载力的问题，该测试技术已获得国家实用新型发明专利[29].PHC管桩植入FBG传感器的具体埋设工艺如图1所示，具体介绍如下.

非空的真结尾段只能是：(1))；(2))(是的非空真结尾段)；(3) )。显然其中右括号比左括号出现的次数多。

3.若形如()。假设定理对于、成立，则非空的真初始段只能是：(1) (；(2) ((是的非空真初始段)；(3) (；(4) ((是的非空真初始段)；(5) (。显然其中左括号比右括号出现的次数多。

中国的政治文化由礼乐来担当，无异于将审美提升到为政治服务的高度了，这是中国传统政治突出的特点。关于此，《乐记》有明确的表示。《乐记·乐论篇》说：“钟鼓干戚，所以和安乐也。”“乐至则无怨，礼至则不争，揖让而治天下者，礼乐之谓也。”中国古代将礼乐与天地相配，《乐记·乐论篇》云：“乐由天作，礼以地制。”“明于天地，然后能兴礼乐也。”联系到良渚祭天礼地活动，我们发现，中国祭祀、礼乐活动的雏形当在良渚已经具备。

定义2.8 假设、、Form (L(P))。如果()为的段，则称公式为()最外层的一对括号( )在中的辖域；如果()为的段，则分别称公式、为()最外层的一对括号( )在中的左辖域和右辖域。

根据定理2.2和定理2.4可得：

定理2.5 假设Form (L(P))，则的非空真初始段和非空真结尾段都不是公式。

命题2.1 形式语言L(P)中的任一公式恰好具有以下三种形式之一：原子公式、()或者()；并且在各种情形下公式所具有的那种形式是唯一的。

证明：

1.显然，形式语言L(P)中的任一公式所具有的形式必定为原子公式、()或者()这三种形式之一。

2.这三种形式中的任何两种都不相同，即形式语言L(P)中的任一公式所具有的形式至多为这三种形式之一。

首先，原子公式的基数为1，而其他两种公式的基数至少为3，因此原子公式和其他两种公式的形式不同。

其次，其他两种公式的形式也不相同。因为，假设其他两种形式的公式并非不相同，则存在公式、、，使得

冰面消失对海洋生态系统也将带来巨变。海洋浮游植物是所有海洋生物赖以生存的食物链的基础和重要环节，在此之前人们一直认为北冰洋海区的浮游植物只有在夏季冰面融化之后才会生长繁殖，而现在科学家们认识到，由于全球变暖导致海冰冰层变薄，原本不透光的冰层已经开始变得可以通过光线，这一变化造就了这里海水中浮游植物的生长，这会对北冰洋食物链上的高级海洋生物带来影响。

()()

等式两边均去掉最外层的左括号和右括号，得到：

((())(()()))

3.如果()()，则显然有。

有些可以追求更高速度。如网络的速度越快越好，能够提升效率、降低资费；又如，制造工艺的改进越快越好，它可以精致我们的生活。特别是科学技术更新换代的不断加快，科研创新的速度也要随之跟进，就像歼20、墨子号、神威·太湖之光的出现，每一次都给国人带来满满的正能量和自信心。

4.如果()()，则，且。因为由

()()

如果，则或者是的不空真初始段，或者是的不空真初始段，这均与定理2.5矛盾。所以，。进而可得：。

在信息社会的今天，传感器在自动检测、工业控制、物联网技术等多个领域得到广泛的应用，而传感与检测技术是现代信息技术的三大核心技术之一。五年制大专电气类学生的就业岗位主要分布于生产第一线，都需要具备传感器与自动检测的知识与技能，而传感与检测技术课程是五年制大专机电一体化、电气自动化专业等专业的一门重要的专业基础课程。

))

等式两边均去掉最外层的左括号，可得

定义2.7 称()为的否定式；称()为和的合成式，为()的前件，为()的后件。

非空的真结尾段只能是：(1))；(2))(是的非空真结尾段)；(3))；(4))(是的非空真结尾段)；(5) )。显然其中右括号比左括号出现的次数多。

命题2.2 假设、、Form (L(P))。如果()是的段，则对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的辖域；如果()是的段，则对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的左辖域和右辖域。

证明：

假定对于()最外层的一对括号( )在中存在辖域₁和₂，₁、₂Form (L(P))，根据定义2.8可知，(₁)和(₂)都是的段，并且(₁)和(₂)左方是中的同一个左括号，如果₁₂，则其中一个必定是另一个的不空真初始段，这与定理2.5矛盾。所以，₁₂。即对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的辖域。

假定对于()最外层的一对括号( )在中存在左辖域₁和₂，存在右辖域₁和₂，₁、₂、₁、₂Form (L(P))，根据定义2.8可知，(₁₁)和(₂₂)都是的段，并且(₁₁)和(₂₂)的左方是中的同一个左括号，如果₁₂，则其中一个必定是另一个的不空真初始段，这与定理2.5矛盾。所以，₁₂。进而可得：₁₂。即对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的左辖域和右辖域。

以上完成了公式结构唯一性的证明。这说明括号表示法的语言是无歧义的，公式结构具有唯一性、精确性。

六里屯垃圾焚烧厂的前身六里屯垃圾填埋场建设时该地本是西六建工厂的取土坑，当时周围多是农田等，居民较少。后来城市扩张，周围的建筑越来越多，越来越近；阿苏卫附近的纳帕溪谷、橘郡等中高档小区也是在垃圾填埋场建立之后建立的。如果城市规划者在城市建设的早期就对周围的建设做好规划，做好建垃圾焚烧厂的规划，在周围布局一些对于污染敏感度较小的工厂、仓储设施等，禁止建设居住区等对环境要求较高的设施，就可以很好的规避风险，同时节省土地房屋征收补偿费用。

三、公式的长度

因为在形式语言中，左右括号一般都是成对使用，不单独使用，因此，正如将一个字母及其下标视为一个符号一样，将左右括号视为一个符号也是合理的。

定义2.1 形式语言L(P)包括如下两类符号：

（2）全方位深化内部控制工作，增强内控机制建设的可操作性。从加强预算控制着手，建立健全符合本单位实际情况的内部控制体系，对内部控制的实施范围、业务流程、具体标准进行明确，将内部控制工作渗透和贯穿于单位内部管理的各个环节、各个层面，将控制的内容、环节落实在具体的工作上，提高内控制度的可操作性。

()

在最常见的以“”“”作为初始联结词的命题逻辑系统中有如下3条中置法公理(按照通常的约定均省去最外层括号)：

(())(()())

(())((()()))[注] 杜国平：《经典逻辑与非经典逻辑基础》，北京：高等教育出版社，2006年，第16～17页。

在波兰表示法中，这3条公理表示为：

CC

CCCCCC

CCNCCNN

2.1.3 造模药伊立替康的配制 准确称取盐酸伊立替康277 mg、D-山梨醇0.225 g，先将10 mL纯水与34 μL L-(+)-乳酸混匀预热至85 ℃制成乳酸溶液，倒入盐酸伊立替康，迅速加入纯水至40 mL充分搅拌至全部溶解，随后加入D-山梨醇搅拌直至溶解即为6 mg/mL的伊立替康溶液，0.22 μm微孔滤膜滤过后于4 ℃避光保存备用[10]。

在括号表示法中，这3条公理可表示为：

基础设施建设不完善，而且工程建设之后的维护与修整通常做不到位，即便是开展了新的农田水利工程项目建设，也只是局限在少数环节，不能从整体角度对本地区水资源利用效率做出全面考量。再加上工程建设后期，由于缺少有效的养护管理，在较大程度上进一步限制了节水灌溉技术的推广应用。

(())

因此现在还不能武断地说，某些产业就不适合网络协同，可能要从更长的时间段，在更大的产业范围内来思考这个问题。

由此可得，公式是公式的非空真初始段，公式是公式的非空真结尾段，这与定理2.5矛盾。

((())((()())))

这3条公理在中置法中的长度为278()5()2()；在波兰表示法中的长度为158()5()2()；在括号表示法中的长度亦为158()5()2()。

对比中置法、前置法(波兰表示法)、后置法(逆波兰表示法)和括号表示法可以看出，括号表示法和波兰表示法同样简洁，比中置法简短许多。这是因为中置法比括号表示法多联结词，比波兰表示法多括号。另外，因为括号表示法总是从最里层的括号开始并按照由内而外的结合顺序进行，因此顺序关系的辨识也比波兰表示法清晰、容易。

四、一阶逻辑系统

在《不用联结词的经典命题逻辑系统》中，张清宇先生指出他建立的系统包含命题常项，即零元联结词，“因此利用它们建立的不用联结词的系统还不能算是十分严格的不用联结词的系统”[注] 张清宇：《不用联结词的经典命题逻辑系统》，《哲学研究》1995年第5期。 。对此他提出了以括号代替舍弗函数的策略，这当然是一个非常巧妙的可行策略。

其实，还有一个比较简单直观的策略，就是使用括号表示法直接对已有的系统进行改写，这样一方面可以发挥括号标记法的简明优势，另一方面也可利用现成的推理系统。下面我们简要地对此加以阐述：

定义4.1 形式语言L(Q)包括如下符号：

(1)个体符号：c ₁，c ₂，c ₃……(常元)；u ₁，u ₂，u ₃……(自由变元)；x ₁，x ₂，x ₃……(约束变元)；

(2)函数符号：f ₁，f ₂，f ₃……；

(3)谓词符号：₁，₂，₃……；

(4)左右括号：(，)。

通常以、、等表示任一个体常元符号，以、、等表示任一个体自由变元符号，、、等表示任一个体约束变元符号，、、等表示任一函数符号，、、、、、等表示任一谓词符号。

定义4.2 一个由形式语言L(Q)中符号构成的任意有穷序列称为一个表达式。

一般使用大写字母X、Y、Z来表示任一表达式。

形式语言L(Q)中的项、原子公式和公式的集合分别记为Term (L(Q))、Atom (L(Q))和Form (L(Q))；一般用小写字母及其下标、、等来表示任一项，用大写字母、、、等来表示任一公式，用~、等表示任一公式集。

定义4.3 一个表达式X称为项，当且仅当X能有限次使用下面的规则生成：

(1)、Term (L(Q))；

(2)如果₁、₂……_n Term (L(Q))，并且是元函数符号，则(₁₂……_n )Term (L(Q))。

定义4.4 一个表达式XAtom (L(Q))，当且仅当X形如(₁₂……_n )，其中是元谓词符号，₁、₂……_n Term (L(Q))。

定义4.5 表达式XForm (L(Q))，当且仅当X能有限次使用下面的规则生成：

(1)Atom (L(Q))Form (L(Q))；

(2)若XForm (L(Q))，则(X)Form (L(Q))；

(3)若X、YForm (L(Q))，则(XY)Form (L(Q))；

(4)若()Form (L(Q))，且不在()中出现，则()()Form (L(Q))。

定义4.6 基于括号表示法的一阶逻辑自然推演系统QZ₂包括如下7条推理规则：

规则1。简记为(Ref)。

规则2 如果~，那么~，。简记为()。

规则3 如果~，()，并且~，()()，那么~。简记为(1)。

规则4 如果~()，并且~，那么~。简记为(2)。

规则5 如果~，，那么~()。简记为(2)。

规则6 如果~()()，那么~()。其中的()是将()中的均替换为而得。简记为()。

规则7 如果~()，其中的自由变元不在~中出现，那么~()()。简记为()。

定义4.7 公式在命题逻辑系统QZ₂中由公式集~形式可推演，符号记为~，当且仅当~能由有限次使用上述7条推理规则生成。

在QZ₂中不难证明：

(())((())(()()))

((())((()())))((()())())

(()(()())(()()()()))

(()(()())(()()()))，不在中出现

等等。

定义4.8 假设、Form (L(Q))，给定一个模型(D, I)和中的一个指派，

(1) ((₁₂……_n ))^I,1当且仅当((₁)^I,(₂)^I,…… (_n )^I,)^I，否则((₁₂……_n ))^I,0；

(2) ()^I,1当且仅当^I,0；

(3) ()^I,0当且仅当^I,1且^I,0；

(4) ((x )(x ))^I,1当且仅当，对的任一x -变异，((u ))^I,1。

定义4.9 假设Form (L(Q))，~Form (L(Q))。如果对于任一模型(D, I)和中的任一指派，若~^I,1则有^I,1，则称是~的语义后承，记为~。

对于系统QZ₂，不难证明：

命题4.1 假设Form (L(Q))，~Form (L(Q))。~当且仅当~。

五、推理结构

结构推理是一种非常直观的逻辑形式系统的构建方法。它从结构规则和逻辑联结词的推理规则两个方面来研究逻辑，并且尤其关注各种结构规则所体现的推理行为，展示不同逻辑形式系统的推理特征[注] 具体可参见冯棉《结构推理》，桂林：广西师范大学出版社，2015年。 。与之相类似的是可以由此深入细致地分析基于各种联结词的联系和区别的推理特性，而括号表示法为研究联结词(或逻辑常项)的推理结构提供了一个非常良好的分析工具。下面我们来概要地说明这一点。

对于一元联结词，可以列出如下一些推理规则：

推理规则1 若，则()()

推理规则2 若()，则()

推理规则3 若()，则()

推理规则4 若()()，则

推理规则5 若(())

推理规则6 若(())

推理规则7 若((()))

推理规则8 若((()))

推理规则9 若，则(()(()))(()(()))

推理规则10 若()()，则((()))((()))

推理规则11 若 (())(())，则(())(())

在适当的共同的结构规则之上加上推理规则1至推理规则6的不同组合可以用来表述不同类型的二值否定，如经典否定、某种直觉主义否定或者某种弗协调否定等等[注] 杜国平：《哲思逻辑——一个形而上学内容的公理体系》，《东南大学学报(哲学社会科学版)》2007年第4期。 ；推理规则7至推理规则11的不同组合则可以用来表述某种类型的三值否定等等。

对于二元联结词，可以列出如下一些推理规则：

推理规则1，()

推理规则2 ()，()()

推理规则3 ()()

推理规则4 ()

推理规则5()

推理规则6若，则()()

推理规则7()

推理规则8 ()

推理规则9若，则(())(())

推理规则10(())

推理规则11((())(()()))

推理规则12((()))

在适当的共同的结构规则之上加上推理规则1至推理规则11的不同组合可以用来表述不同类型的二值二元联结词。如推理规则1加推理规则3至6的组合可以用来描述二值析取，推理规则1、2、3加上推理规则7、8、9的组合可以用来描述二值合取，推理规则1、2加上推理规则10、11、12的组合可以用来描述二值蕴含等等[注] Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic , Boca Raton: CRC Press, 2010, p. 39.。

其实，推理规则1、3中的括号还具有二元函子的特征，因为其中的括号可以是合取，也可以是析取，还可以是等值等等[注] 卢卡西维茨：《亚里士多德的三段论》，李真、李先焜译，北京：商务印书馆，1981年，第197～204页。 。

由此可见，使用括号表示法可以彰显各种逻辑联结词在推理行为上的区别和联系，括号表示法可以作为分析联结词推理行为的良好工具。

此外，通过引入不同括号如“( )”“”“”“【】”“”“”等或对括号加上下标如“”来表示不同元数的不同联结词，还可以进一步增强括号表示法的描述能力。

综上，括号表示法作为一项形式语言的符号处理技术，以括号来表示命题联结词、量词、模态词等各种逻辑常项，其语言表达是精确而无歧义的。它与以往的符号表示法不同，是一种整体性符号表示法。运用括号表示法表达的公式，其长度比中置法表达的公式简短，比波兰表示法表达的公式清晰。运用括号表示法改写的一阶逻辑自然推理系统非常简洁。括号表示法为研究逻辑常项的推理结构提供了一个非常良好的技术工具。

中图分类号： B81

文献标识码： A

文章编号： 1001-5019( 2019) 03-0035-07

基金项目： 国家社会科学基金重点项目(13AZX019)；国家社会科学基金重大招标项目(14ZDB014)

作者简介： 杜国平，中国社会科学院哲学研究所教授，博士生导师(北京 100732)。

DOI： 10.13796/j.cnki.1001-5019.2019.03.005

责任编校：余 沉

标签：括号表示法论文;  逻辑常项论文;  唯一性论文;  公式长度论文;  一阶逻辑系统论文;  推理结构论文;  中国社会科学院哲学研究所论文;