平直中的新鲜感与微妙性--对2014年四川省成都市中学入学考试数学试卷的分析_数学论文

平实中见清新，细微处蕴思想——2014年四川省成都市中考数学试卷评析，本文主要内容关键词为：成都市论文,平实论文,细微论文,中考论文,中见论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      2014年成都市中考数学试题在保持近年“A卷侧重毕业检测、B卷体现升学要求”的基础上，以清新的风格，创新的手法进行精心设计，整体感觉时代气息浓郁，与生活结合紧密，考查层次丰富，体现了数学的实用价值.试题为学生水平的发挥提供了广阔的空间，有利于甄别学生的思维层次和数学素养，具有较高的信度、较好的效度和恰当的区分度.

      一、试卷的总体特点

      试卷全卷共28个题，满分150分，分为A卷、B卷，其中A卷100分，B卷50分，题量适中.一方面，A卷命题紧扣课标，试题均来源于教材，侧重初中毕业水平考试，注重“四基”的考查，尤其是课程标准中初中数学的核心知识、内容、基本数学思想方法的考查.另一方面，B卷兼顾高中阶段学校招生的需要，适度突出对计算能力、推理能力、探究能力、合情推理能力、动手操作能力及多种数学思想的考查，对学生的数学素养和数学能力有较高的要求.

      二、试题的特点分析

      1.层次分明、梯度合理、突出区分

      2014年试卷具有“低起点、缓坡度、多层次、高出口”的特点，A卷侧重于学生学业水平测试，试题大多选自教材，少部分试题较往年适度增加了学科能力的考查，如第9、13、19（2）、20（3）题，提升了A卷的层次感；在B卷中，多数试题较之去年降低了难度，注重对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查，如第24、25、27、28题的设计也由易到难、层层递进，适度体现“多思少算”.试题的编排由易到难，有利于考生稳定情绪与正常发挥，有利于更好地区分学生的思维层次和水平.

      例1 （第7题）如图1，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（

       ）.

      A.60°

      B.50°

      C.40°

      D.30°

      

      例2 （第12题）如图2，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是________m.

      

      评注：上述两题分别结合学生的学习工具设置与三角形中位线的性质在测量中的应用为背景，题目设置清新而又简洁，难度小，体现了义务教育的基础性，突出区分性，为学生树立良好的信心.

      例3 （第20题）如图3，矩形，ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=

AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.

      

      （1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

      （2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；

      

      评注：本题是以特殊四边形（矩形、菱形）为基架，结合全等三角形、相似三角形、勾股定理、轴对称等知识的几何综合题，考查学生对矩形、菱形、全等、相似、勾股定理等知识的掌握及综合运用（包括推理、计算）的能力.第（1）问来源于教材，稍作改编，设置了AD边上的n等分点E，使题目焕然一新，使原本静态的图形平添几分动感.第（2）（3）两问，从正反两方面分别设问，考查学生顺向和逆向的思维品质.本题入手容易，但是要全面解答有一定难度；方法多样，灵活性强.3个小问层层递进、相互依存、浑然一体，作为A卷压轴题是非常适合的.

      2.重视思维、考查能力、突出本质

      数学是思维的体操，注重对学生的数学思维的培养和数学能力的提升是数学教学的本质.2014年的多数试题降低了对考生运算难度的考查，重视对学生归纳、推理能力的考查，对数学知识的迁移能力的考查，对分析问题、解决问题能力的考查，也对化归思想、转化思想、函数方程思想、分类讨论思想等方面的考查，体现了“多考点想，少考点算”的思想，对数学本质和理性思维的考查更加突出，这有利于引导教学要摒弃“题海战术”，有利于推进初中数学的素质教育.

      例4 （第24题）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，则A′C长度的最小值是________.

      

      评注：本题将菱形折叠与动点的轨迹巧妙结合，考查学生在新情境下的探究能力，如何将特殊菱形折叠转化为轴对称问题，点的运动转化为最值问题，要求掌握直角三角形的边角关系与勾股定理综合运算的技能，本题虽不是常见状态下由基本模型轴对称性来找的最值问题，但基础知识仍然是“两点之间，线段最短”.线段A′M始终等于线段AM保持不变，所以点A′在线段MC上时，A′C的长度有最小值，过点M作CD的垂线，通过解直角三角形求出MC的长，从而可求出A′C长度的最小值.

      3.注重实践、体现过程、突出探究

      “综合与实践”类试题的考查方式历来是丰富多彩的，其解答的过程也突出对各种能力、各种思想方法和数学基本活动经验积累的综合考查，而非学生已有数学知识和方法的套用，思维极具挑战性，这样的考查有利于指导教师转变教学观念，在教学中引导学生转变学习方式，重视数学知识的探究和发现过程，注重培养学生的动手操作实践能力.

      例5 （第23题）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L例如，图5中的三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI对应的S，N，L分别是________.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=________（用数值作答）

      

      评注：这是一个经典的新定义探究题型（皮克公式），利用学生熟悉的方格纸作为背景，在通过阅读理解“格点多边形”面积（S）、内部的格点数（N）、边界上的格点数（L）的含义的前提下，能轻松完成第一个填空；第二个填空设置巧妙，从方格纸中只能得出两个含a，b，c的等式，解决之道还需要通过学生自己动手画一个多边形，来建立一个等式，这是本题的亮点.当然，部分优秀的学生会继续在方格纸上探究出结论，这也是设置本题的另一个目的.

      4.贴近生活、关注热点、突出应用

      科学知识来源于生活、服务于生活，数学知识的获取就是日常生活的积累，数学知识的功能就是运用数学知识、方法和思想去分析问题、解决问题，2014年的试卷中更加注重联系生活实际和社会热点问题，如“宜居成都”、“国学诵读”、“美化校园”、“西博会”等与时代结合紧密的生活中的热点问题，彰显数学在社会生活中的使用价值，使学生感受到身边处处有数学，引导学生热爱生活、关注社会，倡导“读活书、活读书”，突出学以致用.

      例6 （第26题）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图6所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.

      

      （1）若花园的面积为192

，求x的值；

      （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

      评注：本题以美化校园为背景，具有很强的生活气息，第（1）问考查学生阅读题意建立和求解二次方程的能力.第（2）问突出考查二次函数在闭区间上的最值问题，确定实际问题中自变量的取值范围是本题的关键，也是试题设计的亮点，是在新课程标准理念下对函数最值问题考查的一种探索，起到了初高中教学的有效衔接作用.学生容易忽略自变量取值与边长之间的关系，本题立意于引导学生学习数学要与生活中的实际问题紧密相连，培养学生运用数学知识、方法和思想去解决实际问题的能力.

      5.稳中有进、适度创新、突出导向

      2014年的试卷在安排上大胆创新，在A卷中增加了对学生基本思维能力、探究能力的考查，对部分题型进行了适当调整和创新，如A卷第20题改变了以往考查三角形中的计算和证明，调整为以特殊四边形为基架来考查.第18题改为单考概率，第21题改为样本估计总体.第28题第（3）问，把“花时最少”转换成“路径最短”问题等，这些创新题型的存在，不仅仅丰富了试题本身的韵味，也使得整套试卷有了动感，这有利于纠正“教学题型化”、“解题套路化”的片面做法，对引导教师改变教学理念、培养学生的创新意识、为培养创新型人才起到了良好的导向作用.

      

      （1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

      （2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

      （3）在（1）的条件下，F为线段BD上一点（不含端点），连接AF.一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

      评注：本题是全卷的压轴题，是以二次函数为基架，结合一次函数、相似三角形、勾股定理、三角函数、方程（组）等数学知识，渗透物理学中“路程、速度、时间”关系的学科交汇综合题.充分体现了数形结合、化归转化、方程函数、分类讨论等数学思想，以及整体代换、待定系数等数学方法，突出考查了学生分析、计算、推理、空间想象和创新思维等能力.

      第（1）问主要考查学生对待定系数法的掌握情况，入手容易，可增强学生解题的信心.

      第（2）问把抛物线的点和相似三角形联系起来，实现代数与几何的综合运用.学生既可先从几何角度出发，利用相似求得点P的坐标，再用点P在抛物线上建立关于k的方程来求解；也可先从代数角度出发，利用平行或对称求出AP所在直线的解析式，再与抛物线联立求解得到点P的坐标，最后运用相似条件建立方程求解.考查了学生对相似三角形、函数基本性质的掌握程度及其灵活运用的能力，渗透了数形结合、整体代换、分类讨论的数学思想方法，本小题入手相对容易，但运算量较大，有较高的区分度.

      第（3）问属于最值问题，从学生熟悉的物理学中路程与时间的关系出发，将运动中的最短时间问题转化为数学中的最短距离问题，体现了多学科知识的交汇融合.考查了学生用已学知识探究未知领域数学知识的能力，探究过程充满智慧.学生可站在几何角度思考，首先将“时间最少问题”转化为“路径最短问题”，其次把“不同速度下的路径”转化为“相同速度下的路径”，最后运用“垂线段最短”得出点F的坐标：当然代数能力强的学生也可从代数思维角度出发，建立时间t关于点F的横坐标的关系式，运用判别式列出关于t的不等式，从而求出最小值.两种思维角度和解题方式迥异，但殊途同归.对初中学生而言，几何方法是主流方法，其巧妙之处是利用含30°角的特殊直角三角形的性质实现“速度不同变相同”的转化，具有较深的思考难度，在平时训练中少见，有较好的效度和信度，属于较难题.

      三、试卷对教学的启示

      1.立足课标，挖掘教材，提升专业水平

      中考命题的依据是课程标准，素材的主要来源是教材，而在很多一线教师看来，教材太浅，感觉知识量和深度不够，但作为教师不能只看到其表面的浅显知识，更要深挖教材，真正地理解其中蕴含的数学内涵，从学生的学情出发，以“四基”为核心目标，展现学生从不知到知的一个理解过程，学会将教材中的基本知识，典型例题做一般化的推广.教师只有真正静下心来研读课程标准，钻研教材，不断改进自己的教学方法，反思自己的教育教学行为，才能提升专业水平，成就自己的专业化发展，成就学生的学业发展.

      2.摒弃题海，回归常态，理解数学本质

      当前的数学教学还存在忽视知识的生成和发展过程，一味地追赶教学进度，满堂灌，搞题海战术的现象，这种教学理念显然与课改精神是相违背的.从2014年的中考数学试题不难看出这种本末倒置的做法显然是不可取的，要想提升学生在考试中解决综合应用问题的能力，我们必须在平时的教学中摒弃题海战术，回归教学的常态，重视数学活动，增强学生体验，关注基础知识、基本能力的生成过程，关注学生情感态度的发展，促进学生更好地理解、认识、掌握数学知识，纵横联系形成知识网络和思考能力，这也更有利于学生加深对数学本质的理解.也是中考数学试题为我们平时教学做出的正确导向.

      3.淡化技巧，注重通法，体验推理过程

      2014年的数学试题体现了淡化技巧，注重通法的原则.试题在照顾知识覆盖全面的同时，更加注重考查数学的主干知识、核心内容及通性通法，教师平时的教学更要注意这一点，不要过多强调一些所谓的“特殊技巧”，人为地增加教学的难度，而应该更多关注课堂中的一些通性通法，强调知识的生成过程.同时，在初中阶段的数学教学活动中合情推理是一个非常重要的方面，必须把握好培养学生推理能力的阶段性要求，注重学生数感、符号意识、数学语言及书写习惯的培养，有意识地培养学生有条理的思考、表达和交流，引导学生自觉地进行数学思考，表达自己的数学方法和数学思想，进一步体验数学的推理过程，鼓励学生从事抽象与概括活动，为发展空间观念和演绎推理能力搭建平台.

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