论赫师慎、佩初兹、葛式对中国古代数学的认识，本文主要内容关键词为：中国古论文,代数学论文,论赫师慎论文,佩初兹论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O112 文献标识码：A 文章编号：1008－7095（2010）05－0054－08
一、引言
西方学者对中国数学的怀疑和偏见由来已久。直到19世纪初，欧洲人对中国数学还几乎是一无所知。从18世纪末到19世纪初，虽然有一些西方著名学者如法国数学史家蒙蒂克拉（J.E.Montucla，1725～1799）、法国汉学家毕欧（Edouard Biot，1803～1850）和意大利数学家利布里（G.Libri，1830～1869）对中国数学有所研究，但他们对中国数学都存在或多或少的偏见，认为中国数学劣于西方。[1]108－109
1852年，英国传教士汉学家伟烈亚力（Alexander Wylie，1815～1887）在上海英文周报《北华捷报》上发表了著名论文《中国科学札记：数学》，第一个向西方全面地介绍了中国数学的重要成就和世界意义，并反驳了西方关于中国数学的片面和错误的说法。[2]然而伟氏的工作却未能在西方获得立竿见影的效果，西方学者仍对中国数学成就持怀疑态度。其主要原因就是西方极端缺乏关于中国数学的原始文献和二手文献。[2]1913年，日本中算史家三上义夫（Y.Mikami，1868～1950）出版了英文版的《中日数学发展史》（The Development of Mathematics in China and Japan,Leipzig,1913），更全面地介绍了中国古代数学成就，和伟烈亚力的《札记》一样成为西方学者了解中国古代数学的重要文献，在西方学界影响巨大，但这仍未能扭转大多数西方学者对中国数学所抱的各种成见。直到20世纪50年代末，李约瑟的《中国科学技术史》第三卷数学卷的出版，才使得西方对中国古代数学的偏见得到了一定程度的纠正。
如果将19世纪末之前视为西方对中国数学漠视与偏见占绝对势力的时期，将20世纪50年代即李约瑟之后的时期视为西方对中国数学关注与肯定的时期，那么，在这两个时期之间的20世纪上半叶，可以说是一个两种鲜明的对立态度——偏见和中肯——并存的过渡时期。本文将选取赫师慎（Louise van Hée，1873～1951）、佩初兹（Rapha
l Petrucci，1872～1917）和葛式（Ludovicus Gauchet，义译告析，1873～1951）三人为代表，通过引用他们在《通报》（T'oung Pao）上发表的数学论文为例，探讨在当时西方汉学界并存的这两种对立态度。他们三人正是处于20世纪上半叶这个中间阶段，在伟烈亚力之后，李约瑟之前，与三上义夫同时。此时西方学者了解中国古代数学的二手文献主要是伟烈亚力的《札记》和三上义夫的《中日数学发展史》。不同于前一世纪大多数西方学者的是，赫氏等人具有一定的中文阅读能力，并直接触及到了原始文献。他们发表的11篇数学文章主要涉及了中国古代数学中的勾股问题、开方问题、不定分析和弧矢割圆术，回顾了西方对数知识在中国的传播，并介绍了著名的数学家李冶、丁取忠及其算学丛书。
二、《通报》、赫师慎、佩初兹、葛式简介
《通报》是一份由荷兰与法国共同创立的国际汉学杂志，也是第一份国际性汉学杂志。1890年创刊后不久，它就“取得了很大的成功且很快成为首屈一指的汉学杂志”[3]55，“《通报》的创办为汉学研究提供了发展所必须的工具”[3]56。20世纪中期以前，法国是西方汉学的中心，其所编纂的《通报》也代表了当时西方汉学的主流权威。《通报》研究涵盖了包括中国古代科技在内的众多汉学分支领域，其中对中国古代数学的研究也有相当的份量。通过对《通报》数学文章的研究，我们可以窥见当时汉学界关于中国古代数学研究及认识之一斑。20世纪上半叶在《通报》上发表关于中国古代数学研究的作者只有赫师慎、佩初兹和葛式三人，故此三人及其存此权威汉学杂志上发表的文章对于探讨当时西方学界关于中国数学史的研究具有一定的代表性。
赫师慎，也被译作万海依，比利时人，是位耶稣会传教士汉学家，也是位有相当影响的中算史研究家。1873年9月23日，他出生于比利时的西弗朗德尔（Flandre）。1892～1911年他寓居在中国期间除在《通报》外，他还在如下刊物中发表了若干文章：《汇学杂志》（Revue scienti fique），《汇报》（Biblioth.Nationale），《西学列表》（Statistique），《泰西事物从考》（Encyclpédie），《泰西列代名人传》（Biogra phies Occidentales），《近代博士传略》（Biogra phies Modernes），《动物学要》（Rudiments de Zoologie），《千奇万妙》（La Science Amsante），《实验指南》（Boussole des Expériences）。[6]112自1904年起，赫师慎就在《通报》、《国际科学史档案》（Archeion）、《亚洲要闻》（Asia Major）、《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）、《科学问题评论》（布鲁塞尔）（Revue des Questions Scienti fiques[Brussels]）、《数学史研究资料（B，天文和物理）》（Quellen u.Studien z.Geschichte d.Mathematik[Abt.B,Astronomie u.Physik]）等国际杂志上陆续发表学术文章。[7]引言2；276他在《通报》上发表了近十篇关于中国古代数学的论文，涵盖了如前文所述的中国古代数学史上的若干典型成就。1912～1922年间，他在比利时列日市（Liege）圣路易斯学院执教，先教英语，后义教德语、法语和数学等，其间正经历第一次世界大战，他曾被德军投入集中营达五年之久；1923年，他来到沙白罗瓦城（Chableroi）的S.C.学院（College du Sacrè Coeur）担任神职，不再教学；1932～1951年间，他任比利时鲁汶（Louvain）神学院哲学系领导。1951年1月4日赫师慎在鲁汶市逝世。[5]64
下文关于佩初兹的介绍来自法国汉学大师沙畹（Edouard Chavannes，1865～1918）为其撰写的讣告。[8]佩初兹是定居在比利时的意大利人，其父是意大利人，其母是法国人，他的妻子是一位著名画家的女儿，他本人曾是索韦尔学院（Instituts Solvay）的科学合作者。他对诸多领域如人性社会现象、自然本性、比较社会学、绘画美学等方面均有浓厚的研究兴趣，尤其在他生命的最后几年中，他对中国和日本的绘画美学更感兴趣，并致力于研究中国绘画史和绘画美学。他以其独特的观点研究中国人的心理，展现中国绘画中所显示的哲学思想。其代表作品有《远东艺术中的自然哲学》（La Philosophie de la Nature dans l'Art d' Extréme-Orient，1911年），《中国绘画》（La Peintre Chinois，1912年），和李渔《芥子园画谱》的法译本（Kiai tseu yuan houa tchouan ou Les Enseignements de la Peinture du Jardin Grand comme un Grain de Moutarde，1918年）。在一次外科大手术后，佩初兹患上了无法治愈的白喉，1917年2月17日于巴黎逝世，时年只有44岁。在他的葬礼上，挚友沙畹沉痛致辞，说他有着诸多的科学才能、广博的知识，广泛的研究课题和创新的观点，他坚定原则、忠实于自己的信仰，对艺术和科学都很感兴趣，对他来说，生活的各个方面都充满着无穷的乐趣；更难得的是，他有着令人难以抵制的个人魅力，凡是和他交谈过的人都能深深地感受到他所散发出来的光芒。对于他的早逝，其好友和学术界人士都不禁扼腕痛惜。
笔者目前所得到的关于葛式的信息最少。他是法国耶稣会士，1907年9月来华，曾于1924年至1931年在上海佘山天文台担任第二任台长，也曾任震旦大学数学系教授。[9]附录1，3
三、偏颇的赫师慎
自1904年起，赫师慎就开始在《通报》上发表关于中国古代数学成就的学术文章共7篇，陆续介绍了李锐的勾股弦互求代数公式[10][11]、刘徽《海岛算经》的主要内容及其中的重差公式[12]、中国的不定分析问题[13]、李冶《益古演段》的主要内容及天元术[15]、丁取忠《白芙堂算学丛书》的主要内容[6]、西方对数知识在中国传播的源起[16]，等等，涉及中国数学史上的若干典型成就，著名数学家及其作品，以及西方数学知识的东传，向西方读者较清晰、全面地介绍了以上这些中国数学成就。从数量上说，赫师慎在当时的《通报》上发表有关中国数学的学术文章最多，从覆盖面上来说也最广，但他对中国古代数学成就却抱有强烈的怀疑和偏见，主要体现在他的“中国数学成就外来说”和“劣于西方数学说”两个方面。
李约瑟曾批评以他为首的一些西方科学史家对中国的数学成就持怀疑的态度，“如赫师慎等作者，他们的汉学才能敌不过传教士的偏见，竟再次坚持说，中国的主要数学著作都是在外来影响的启发下完成的。”[7]引言2反复出现在赫师慎文中的论调是：中国古代数学中的这个或那个公式或成就可能是受到了外来的影响。他认为，中国科学没有一贯的方法，没有原创性的理论，一切往往归结为公式，而这些公式又都是抄袭外国人的。[1]108他曾列出过一些可以追随到印度、阿拉伯或欧洲起源的中国数学家的公式和方法，例如，源自阿拉伯的有郭守敬的球面三角学（1231～1316年）和《授时历》（1281年），不定系数法（1282年）和算术三角形（1299年），源自印度的有不定分析或大衍术（727～1258年）和一行的《大衍历》（683～727年），源自欧洲的是近代公式（1600年以后）。[1]109
中国古代数学受到外来影响的论调和例子在赫氏发表在《通报》的论文中比比皆是。例如赫师慎虽然并不否认中国代数早于欧洲，他曾在1911年的《中国数学中的二次问题》中说道：“中国代数在我们之前就存在了。我不能确定其起源，但是在大约公元10或11世纪的时候它就已经存在了。”[10]559但紧接着在1912年发表的《中国代数》一文中，他却怀疑中国代数来自于印度，在此文的结论中写道：“通过以上这些枯燥的公式，可见中国代数并不科学。这些数学家是如何发现这些规则的？通过什么方法他们得到了这些结论？他们是从印度人那里学到所有这些的吗？或者说这些印度资料成就了个人的作品？”[11]300
在《刘徽的〈海岛算经〉》一文中，他说：“……是把‘重差’翻译为‘重复的观察’还是‘两次比例’，要重新发现这个复杂的公式是如何得来是个棘手的问题，这都仍然有待讨论。这些（公式）是中国的？还是来自印度？我无法给出一个令人满意的答案。……”[12]52在没有提供任何证据的情况下，赫师慎对勾股弦互求公式以及重差公式的来源都表示出了怀疑，并暗示这些公式可能来自印度。
再如，在《中国百鸡问题或不定分析》一文中，赫氏认为秦九韶的《数书九章》一书受到了外来的影响，其理由有二：一是《数书九章》中的数字是从左到右、水平书写的，与中国传统的自上而下、从右到左的书写习惯不同；二是，他认为求解不定问题的大衍术和印度的Kuttikara体系相似，因此推断大衍术来自印度。
然而他所给出的这两条理由却根本站不住脚。首先，中国古代数学算筹的水平摆放习惯由来已久。算筹作为中国古代先民的计算工具，其创造年代已遥不可考，它的出现不会晚于公元前3世纪，大概可以上推到战国初期（公元前5世纪）。[17]39并且，中国古代的记数方法从甲骨文演变而来，甲骨文中的数字都是从高位到低位，由右向左排列的。目前发现的最早记录阐述算筹布列的古籍就是《孙子算经》：“凡算之法，先识其位。一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”[18]2意思是，为了区别数位，要把算筹纵、横相间放置，奇数位用纵式，偶数位用横式。个位在右端，依次向左为十、百、千、万等位。空位为0。例如，841067的筹码表示：
。[19]15－16后世典籍中的算筹所代表的数字在演算过程中沿用的也正是这种从左到右水平摆放的格式。其次，赫氏的第二个理由建立在“相似即同源”的基础上，而这个基础本身就站不住脚，其中有若干因素需要考虑才能下定论，例如孰先孰后、发展途径是否相同，等等。这个理由也并不是赫师慎一个人的想法，他是参考了史密斯的一篇文章[13]438注释2 才得出这样的结论。李约瑟也注意到“中国人的‘大衍求一术’的程序类似印度数学中的‘粉碎法’（Kuttaka或Cuttaca），它最早出现在老圣使的著作中”[7]276，但对于相互是否有影响，谁受到谁的影响等问题，他也没有得出确切的结论。印度数学家婆什迦罗（Bhaskara，1114～1183年，比秦九韶早一个世纪）集先辈数学家成果并增补己见，写成《丽罗娃祗》（Lilavati，1150年）一书，其中第12章是对粉碎法的系统论述。对比此书中的粉碎法和秦九韶的大衍术，二者的算法完全一致，但也同中有异，总体来说，印度对同余式组的解法比秦九韶《数书九章》大衍总数术繁复。[20]427－431李倍始（U.Libbrecht，1928～ ）对二者进行了深入的对比研究，得出结论认为二者并不相同。[21]359－366除印度和中国外，其他国家对“物不知数”问题也均有研究，如阿拉伯、拜占庭、德国、英国、意大利等，但是“17世纪之前，欧洲学者关于同余式组的研究尚未达到秦九韶的水平”。[19]69在没有确切的证据之前，赫氏下此论断不免有失慎重。
赫师慎对中国数学的偏见还体现在他总是过于轻率地否定中国数学的特色，并且多次暗示中国数学劣于西方数学。例如，赫氏通过对比一些中西方数学作品得出结论认为，中国数学“喜好细节，不注重综合（synthèse）”，西方数学“从古希腊至今一直都注重科学的归纳（généralisation）”[11]291①。在关于勾股术的《中国代数》一文中，翻译完25个类型的勾股弦互求的代数式② 之后，赫师慎总结道：“通过以上这些枯燥的公式，可见中国代数并不系统。……我认为中国人是敏锐的文人、出色的历史学家、有魅力的诗人、古董爱好者和美景鉴赏者，但是他们在科学方面并不怎么出色……”[11]300
又如，在《中国百鸡问题或不定分析》一文的结语中，赫氏认为，中国学者对百鸡问题的研究只是极大地体现出了他们的耐心，但是这些研究却没有体现出综合的精神，中国人的数学作品中对此问题的研究就“好像一些排列在佛塔中的雕像一样，几乎是个个相似”，“只要有耐心就能罗列出更多相似的例子”。[13]488这种看法显然有误。在《中国百鸡问题或不定分析》中，赫氏虽然把握住了中国古代数学中的不定分析的历史脉络，即从最早的“百鸡问题”到秦九韶的“大衍术”，一直到清代最有代表的黄宗宪的《求一术通解》著作，以及骆腾风和时日醇的百鸡问题研究，他却没有对这些相关著作做深入研究，因此他并没有看到中国历代数学家关于不定分析的不断进步的阐述，没有看到其中的综合性。即便是他承认秦九韶作品中大衍术的综合性，却也敌不过他对中国数学的偏见，认为这个古老而先进的成就得益于外来影响。
深植于赫氏脑中的固执偏见使他对中国数学的最终评价均有失公允，但同时不可否认的是，他在《通报》上所发表的研究确实介绍了一些经典的中国数学题目和文献，理顺了一些中国数学成果的历史脉络，对于帮助西方了解中国数学成就来说，他在当时起到了相当大的作用。③
四、中肯的佩初兹和葛式
如果说赫师慎认为，对比西方具有古希腊一脉相承的科学归纳的传统，中国古代数学家则喜好细节，不注重综合，那么佩初兹在其回应赫师慎的《关于中国代数》一文中却不这样认为。他说：“指责中国数学家缺乏归纳精神似乎不太公平，因为应该考虑到我们面对着什么样的一组问题，并且不应该忘记显然是由这组问题所带来的一般规则。另外，这25个类型问题的性质足以确定其归纳的倾向，因为人们建立了这些类型，从而得到一个公式，并明确指出了关于直角三角形所有可能的二次问题的解答。”[22]562
对于中西方不同的数学特点。佩初兹说：“总的来说，比较欧洲和中国阐述毕达哥拉斯定理的历史，我们会看到古希腊数学家是通过纯几何的方法阐述的，而中国人似乎是通过纯代数的方法理解的。代数方法在几何上的直接应用是科学的一个重大成就。目前，赫师慎神甫为阐明中国古老的数学语言中的三角形而尽力，有可能获得丰硕的收获。依我所见，我们尤其应该从历史的视角来看问题，而不要被现代的和欧洲的数学教育所局限。若从知识的进化角度来看，这个问题就很有意义。我认为值得为这个问题收集更多的材料。”[22]564佩氏认为中国人的方法尽管是纯代数的，但丝毫不逊色于西方的几何方法，只是处理同一个问题的方法不同而已，对于那些在欧洲人视为自然的欧几里得演绎框框里长大的人来说，他们只是看不惯中国的代数方法罢了。
对于赫师慎的另外一个观点，佩初兹也表示了不同的看法。赫氏认为：“中国数学家似乎没有意识到三角形所谓的‘勾’‘股’两直角边只是命名不同，它们的名称也可以颠倒过来，哪个边叫什么实际上是没有差别的，他们没有意识到这只是在错误道路上的一个进步。”[11]291佩氏则认为这个命名传统决不是一个错误方向上的进步，这对欧洲人来说，却是个优势；它们的命名在中国三角代数中并不是没有作用：所有的运算过程都是用书写文字表达出来的，他们没有＋，－，
这些符号，因此中国人就要在一个图形上建立一个一致的秩序，以便固定地表示直角三角形的直角边，从而在公式化的标准中清楚地表达出各种可以参考的问题。[22]563
如果说赫师慎是在用西方数学的思维模式为参照来衡量中国数学的话，那么佩初兹则尽量避免这种极端的辉格解释④。葛式比佩初兹在对中国古代数学的研究和解释上则更进一步。首先，在开平方问题上，葛式对中国人是如何得到开平方的一般方法的过程感到好奇，但他表示由于资料过少，对此问题仍不能得到肯定的答复，他惊叹中国人这种奇特的思维方式与西方人截然不同。他提到霍纳法类似于中国开方的一般方法，“但过程的类似不应该使我们忘记数学观念上的不同”[24]549。葛式指出，同样是对待开方的问题，中西方沿着不同的思维道路发展成两种不同的方法：中国人在开平方方法的一般化之后，为了找到解决数值问题的一般方法，他们画出了“开方式”图表，即贾宪三角形；而西方则完全相反，他们在等式上采用代数方法，进而被引导着去研究方程理论，给出解方程的一般公式。“中西方思想各自都有着自己的原创性，前者更倾向于数值应用，后者则更利于纯代数的发展。”[24]550
在郭守敬的球面三角术问题上。葛式说：“许多事实证明阿拉伯文明在当时对中国思想有影响，在郭守敬之前和在世的时候，都有阿拉伯人在历法方面担任国家职务。因此，有人认为郭守敬从阿拉伯人那里接受了三角学方法，三上义夫就持有这样的观点。”[25]171葛式进而还提出了若干期待研究者们回答的问题：“如果说郭守敬从阿拉伯人的作品中受益，那么他在多大程度上、通过什么方式受益？他的三角学是简单的借用吗？如果郭守敬是球面三角术的发明者，那么他所发现的什么元素促使他去改进这个方法？在这些元素中，中国传统方法和外来方法之间是如何开始弥合的？所有这些问题都太复杂，但如果能回答了，随后的评论就轻松多了。”[25]171葛式认为，郭守敬的球面三角术建立在源于《九章算术》和《梦溪笔谈》中的公式⑤ 的基础之上，有着中国传统数学的根源，因此，如果说郭守敬是球面三角研究的创始人，那么国外的影响可能只是为他提供了有关球锥形的纯几何的初步思想。[25]174对这两个公式的追溯，葛式做得相当成功，到目前为止，中算家对郭守敬弧矢割圆术的来源也都是追溯到《九章算术》方田章中的弧田术和沈括的会圆术。从这点看来，葛式对中国数学研究深入，考据翔实，他努力用中国的方法去揭示中国古代数学。
葛式对中国古代数学成就的评论是很中肯的，在证据不足的情况下，他绝不作出武断的结论。对于三上义夫认为郭守敬的三角术是来自于阿拉伯人的看法，葛式这样评论道：“他的想法，说实话，有些不可琢磨……，他参考了康托（Cantor）的《数学史讲义》（Vorlesungen über Geschichte der Mathematik,I,p.684），由于我手头没有康托的这个作品，我不知道其中对此问题是如何表述的，也不知道它是建立在什么基础之上。但遗憾的是，三上义夫似乎是参考了一个研究二手资料的作者，而他自己却完全可以去直接参考中国文献。”[25]171注释2
五、结语
赫师慎、佩初兹和葛式在研究中国古代数学中具有一个共同的特点，即他们都注意到了古希腊数学和中国古代数学在思维上的显著差别，并将二者进行了比较。不同的是，赫师慎将古希腊数学和中国古代数学视为对立的两极，并且视中国古代数学为次等。赫氏关于中西数学的对比较为肤浅，对中国古代数学成就的偏见颇深，不论证据是否充足，他总是怀疑中国古代数学是受到了外来影响才有了某些光辉的成就。赫氏的这种偏见也正代表了19世纪以来强势西方文明的历史大背景下许多西方人对异域文明的看法。他们怀揣着欧洲中心主义，戴着一副有色眼镜甚至是缩小镜来看待异域文明的古代先进成就。在将两种文明进行对比时，这些人总是自觉或不自觉地以欧洲标准为尺度来衡量异域文明，不合尺度或是无法丈量的一律被打上落后的印记，却不去考虑那是否为解决同一问题的另外一种合理的途径。
与赫师慎同时代的佩初兹和葛式同样看到了中西数学的差异性，他们用历史的视角去审视，认为中西方数学有着各自的原创性，两种方法各有优势，在没有充分证据的情况下，决不妄言中国古代数学成就是外来文明影响的结果。他们二人对中西方数学的不同特色做了很有见地的剖析，尤其是葛式，他深入研究中国数学典籍，努力用过去时代本身具有的术语去解释过去的典范，用中国数学的思维方式和解题方法去揭示中国古代数学，若无平等审视中西文明的态度，他是断然做不到这一点的。
今天当我们回顾20世纪初期的西方学者对中国文明所持的态度时，或许不应对当时的西方学者苛求过多，毕竟当时他们来自于具有强势的现代文明的西方，当他们满怀着优越感去研究异域文明时，心怀某种偏见也实属正常。尽管赫师慎的论调较为偏颇，但我们不能否认的事实是，在他所处的那个年代，能够如此孜孜不倦地介绍中国古代数学、并能引发当时为数不多的国外中国数学史研究者们的讨论的西方学者是屈指可数的，而赫氏就是其中之一。后来李约瑟的《中国科学技术史》数学卷对他的文章也多有参考和引用。因此可以肯定地说，“赫师慎对促进中西文化交流、在向西方介绍和传播中国古代数学的过程中确实起到了相当重要的作用。”[14]47而如佩初兹和葛式这样能撇开欧洲中心主义去研究异域文明的西方学者在当时来说实乃难能可贵。在他们之后不到半个世纪，在李约瑟所开创的西方科学史研究的新阶段，中国古代科学成就在西方日渐得到更多的关注和肯定。
收稿日期：2010－05－25
注释：
① 原文转译如此，时于“归纳”这一说法，古希腊的科学特别是数学，主要是推理和演绎，而“归纳”是到16世纪之后的培根式科学才出现。赫氏原文是“Chez le mathématicien jaune,c'est l'amour du détail,sans grand souci de la synthèse,chez nos algébristes depuis les Grecs jusqu' aux modernes,c'est le besoin de la généralisation scientifique.”若赫氏在此的意思是指中国数学缺乏西方教学的推理和演绎，那么他的这个说法是合理的。
② 赫氏在《中国数学中的代数问题》一文中翻译了清代数学家李锐《勾股算术细草》中的34个勾股弦和差题目，这34个题目被李锐精简为25个类型，赫氏在《中国代数》一文中翻译了这25个类型的解法。
③ 与赫氏同时代的美国著名数学史家史密斯（D.E.Smith，1860～1944）说过：“现在通晓数学和天文学，又能懂得东方语言的学者即使在今天也不多，……直到现在仅有三上义夫和赫师慎这样的学者介绍了可观的远东古代数学。”见Smith,D.E.The Early Contribution of Carl Schoy[J].AMM,1926,P28.转引自[5]P65.
④ “历史的辉格解释”是区分某种历史研究方法和倾向的重要判据，在英国历史学家巴特菲尔德（H.Butterfield）于1931年出版的《历史的辉格解释》之后，“辉格式的历史”一词成了历史学界进行史学批评的标准专业术语，它在科学史界的影响尤为强烈。简而言之，“历史的辉格解释”是指参照今日的观点和标准来研究过去，而辉格式的科学史是采用当代或西方的科学知识作为参照标准去衡量过去或异域的科学成就。详见[23]第二章“历史的辉格解释与科学史”。
⑤ 葛式分析到郭守敬的弧矢割圆术运用到两个公式，即公式［1］：
矢。葛式指出，在《梦溪笔谈》中可以找到公式［1］的文字来源，同时也可以根据《九章算术》中的弧田术推导出公式［1］；公式［2］则可以直接在《九章算术》卷九中追溯到来源。详见［25］P166，173－174.