发挥数学史在实现新课程整体目标中的作用——兼谈《全日制义务教育数学课程标准》一个实例的补充意见，本文主要内容关键词为：全日制论文,新课程论文,义务教育论文,课程标准论文,实例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（下称《标准》）给出了未来10年内我国数学教育的基本目标和实施建议，为新一轮数学教育改革指明了方向，是我国21世纪初期义务教育阶段数学教育、数学工作的纲领性文件.
新《标准》的一个特色就是明确地将“数学思考、解决问题、情感与态度”列为课程目标，并且对它们作了较为详尽的阐述，克服了过去只重视数学知识的学习与技能、能力的培养，而将情感与态度方面的发展视为数学学习过程中一个“副产品”的状况[1-2].“义务教育的基本任务是促进学生的终身可持续发展”，新《标准》明确地把4个方面的目标并列起来，作为义务教育阶段数学课程的整体目标，就是这个观念的集中体现.
为此，《标准》中特别重视了各学段的教学中结合具体的数学内容，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心.《标准》在每一个学段中都安排了例题，并进行了解释说明，《标准》还注意了用多种方式表达数学规律的模型，如代数式、方程、函数、不等式等.可以说，《标准》不仅给了我们一个很好的教学理念，而且在鼓励学生自主探索与合作交流方面作了很好的尝试和探索，但是，学生的自主学习的探索，应该是在教师的指导之下进行的，我们鼓励学生自主学习，但不能忽视教师的主导作用，换言之，学生的自主学习和探索离不开教师的适时引导、启发、点拨，特别是在数学课堂教学的有限时间内，只有教与学达到和谐、互动，才能取得最好的效果.《标准》中对教师应如何结合具体问题引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的策略方面并没有具体阐明，这方面需要进一步加强教学研究.
笔者认为，数学史对实现新课程的整体目标将发挥重要的不可替代的作用，教师在指导学生自主学习和探究中，注意发挥和充分运用数学史知识或数学史上的重要思想方法，十分有利于整体目标的实现.因此，应重视数学史在新课程改革中的应用，充分发挥数学史的现代教育价值.笔者已注意到在“教材编写建议”中，每一学段都有“介绍有关的数学背景知识”的要求，体现了《标准》对数学史的关注.但关注较多地体现在纯知识的学习或阅读材料之中，在具体教学的环节和问题研究过程中体现较少，特别是对一些典型问题的处理过程中，更应大力挖掘数学史对学生能力培养、思想方法的启导、情感态度与价值观目标的实现等作用.下面以《标准》中的一个例题来说明，并给教师提供一些必要的数学史实.
《标准》第82页例3，完成下列计算：
1+3=？
1+3+5=？
1+3+5+7=？
1+3+5+7+9=？
根据计算结果，探索规律.
《标准》给出了教学处理和要求如下：教学中，首先应让学生思考——从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同），归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程.教学中，不要仅注重学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考，如果学生一时未能独立发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助.
此后，教师还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一般的情形，推出
1+3+5+7+…+（2n-1）=n[2]，应该认识到这个结论的正确性有待进一步证明.
《标准》中所选取的这个问题是一个好问题，好就好在问题本身的探索性强，特别有利于培养学生的自主探索与合作交流，《标准》中的教学已经突出了这一点.但除此之外，对本题的教学处理在体现新课程的整体目标方面，似乎还不够突出，总感意犹未尽，笔者认为，若能在教师的指导下，通过借助数学史，可以更好地完成多方面的培养目标，建议大致过程如下：
（1）学生初触这个问题，尚有一定难度，要真正自主探索，尚需教师适当的教学处理，如教师可引导学生首先探索较简单或比较熟悉的问题，同时也是历史上的最简单的自然数求和（可设置一定的引导语）.
1+2=？
1+2+3=？
1+2+3+4=？
1+2+3+4+5=？
这是个学生比较熟悉的问题，增加了学生探索的兴趣，大多数学生能获得成功.接着，教师可将问题一般化，前几个自然数求和：1+2+3+…+n=？
（2）引入数学史实，体现情感目标.
以下为教师提供必要的数学史实.
对于此问题，人们往往津津乐道于德国18世纪数学家高斯在小时候所采用的首尾2项依次相加求前100项和的方法、技巧：
1+2+3+…+99+100
=1+100+2+99+3+98+…+50+51
=101+101+101+…101
=5050.
教学中应强调高斯的方法用于开启孩童们的心智是很有意义的.
在中国，早在公元前1世纪成书的《周髀算经》以及最重要的数学经典——《九章算术》中，均有一般等差级数问题，实际上已给出了前n个自然数求和的公式.
对于其中简单的情形：1+2+3+…+n=？在我国，公元5世纪成书的《张丘建算经》卷下第36问：“今有人举取他绢，重作券，要过限一日息绢一尺，二日息二尺，如是息绢日多一尺，今过限一百日，问息绢几何？”术文称：“并一百、一日息，以乘百日，而半之.即得.”此题首项为1，每日增加1，术文相当于给出前n项自然数求和的公式：
1+2+3+…+n=n（n+1）/2
（3）引入代数几何化思想，体现数学知识之间的联系，代数与几何的统一.
教师可以运用的代数几何化思想材料如下：
在西方，从古希腊的毕达哥拉斯开始，拟形数就不断受到学者们的重视，18世纪以后的一些著名数学家都作过探索.所谓拟形数，就是将一些数之和有规律地排列起来，类似几何形体，它主要是运用几何手段处理代数问题，可以说是代数几何化思想的早期运用.例如，毕氏称1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，等等为三角数（Triangular Numbers），要求S=1+2+3+…+n的值（这里用黑球表示其数目），就可以设想有另外一个S（这里用白球表示其数目），将其倒放，并与原来的S拼合起来，就得到一个菱形，总共有n行，每一行有n+1个球，所以全部有n（n+1）个球，因此一个S就是n（n+1）/2，如图1所示.
图1 菱形图形
中国有以体积比类垛积的传统，南宋时期，数学家杨辉（13世纪）发展了中国传统的“垛积术”，在其数学著作《详解九章算法》中，对于自然数求和问题的解释更具体化了.他把这一问题中各项之间的结构规律用相似结构的“垛”来比拟，如图2所示.
图2 “垛积术”示意
并进一步采用“补差术”补成方形，从而能十分直观、形象地化未知为已知，求得问题解，即设S=1+2+3+…+n，则将此垛补成方形，补上的部分为S-n块，从而S+S-n=n[2]，故有
S=n（n+1）/2
（4）引入例3，教师启发思考，学生自主探索，能否用类似的代数几何化思想？这样，学生就容易列出如图3所示点阵，学生自然会从数与形的联系中发现规律：
图3 点阵示意
（5）教师可进一步启发学生自主探索，如何解决下面这个问题？
2+4=？
2+4+6=？
2+4+6+8=？
2+4+6+8+10=？
还能容易地通过列出点阵，快速解决问题吗？学生在自主探索中遇到困难，教师再启发引导：这5个数是什么数？什么是偶数？这5个连续偶数与前面探讨的5个连续自然数有何关系？这5个连续偶数之和与前面探讨的5个连续自然数的和有何关系？这样，还有无必要列出点阵，已是水到渠成.从而又培养了学生思维的机智灵活性.
（6）对学有余力的学生，可以提出研究性的课题，或作为兴趣小组同学课下探索和研究
图4 “四隅垛”示意
教师可用的数学史上的材料如下：
数学家杨辉在《详解九章算法》商功章中将此问题作为方锥，比类为“四隅垛”，十分形象地转化了此问题，如图4所示.
中国元代数学家朱世杰（13世纪）把中国古代的垛积术提高到一个空前的水平.
并获得了一系列重要的级数求和问题的完美解答，在这方面开辟了世界之先河.
图5 “二乘方垛”示意
教师可根据所提供的数学史材料，灵活运用、恰当处理，从古代数学家的思想方法出发，去激发学生的学习积极性和创造性，通过课题研究，进一步培养学生的创造精神和动手实践能力.
结束语：以上我们通过选取《标准》中的一个问题，目的在于说明数学史对数学教育有何助益，应该通过怎样的途径发挥数学史在数学教育，特别是在中学数学教育中的作用，提高数学课堂教学的质量.在当今的数学教育中究意如何有效地运用数学史的知识是一个新的，亟待解决的重要课题，本文正是基于此，提供一个处理“问题”的思路，以抛砖引玉，希望进一步推动这方面的工作.