基于新距离测度的直觉模糊VIKOR多属性决策方法
汪汝根, 李为民, 罗 骁, 吕诚中
(空军工程大学研究生院, 陕西 西安 710051)
摘 要: 针对属性与决策者权重未知且方案属性值为直觉模糊数的多属性决策问题,并充分考虑直觉模糊环境下信息波动性与不具体性,提出了一种基于新的直觉模糊距离测度和多准则妥协解排序(VlseKriterijumska optimizacija I kompromisno resenje,VIKOR)法的多属性决策方法。首先拓展补充了直觉模糊距离测度的定义,在此基础上构建了新的直觉模糊距离公式以减少决策信息缺乏,利用直觉模糊熵确定属性与决策者权重,然后再运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度进而得到决策结果,最后,通过实际案例分析验证了该方法的合理性与有效性。
关键词: 多属性决策; 直觉模糊数; 信息波动性; 距离测度; 多准则妥协解排序法
0 引 言
多属性决策(multi-attribute decision making,MADM)是决策领域的重要组成部分,主要针对包含多个属性的有限备择方案决策问题, 其本质是依据衡量决策者给出的关于备择方案的属性信息,通过一定的方式对有限个备择方案进行评估,进而得到备择方案的排序。一些经典的MADM方法被提出并得到学者们的广泛使用和持续改进,例如TOPSIS法,VIKOR法,PROMETHEE法,ELECTRE法等。文献[1]进一步比较了VIKOR法、TOPSIS法、ELECTRE法和PROMETHEE法,认为在这些方法中,VIKOR法同时考虑了最大化群体效用和最小化个体遗憾,得到的决策结果更为合理。
随着科技的进步与社会经济环境不断发展,人们在实际决策中需要处理的信息日益复杂与模糊,通常存在一定程度的知识缺乏或表现出一定程度的犹豫,使得做出准确的决策更加困难。1986年保加利亚学者ATANASSOV引入非隶属度概念到ZADEH教授提出的传统模糊集,提出了直觉模糊集(intuitionistic fuzzy sets,IFSs)的概念[2]。由于IFSs能够从隶属度和非隶属度两个维度更准确地描述决策问题中的模糊性本质,在处理不确定性和模糊性MADM问题时存在着较大的优势和特点,许多国内外学者将 VIKOR 法扩展到直觉模糊环境下处理MADM问题,取得了丰硕的研究成果。在文献[3]中,DEVI提出了一种直觉模糊VIKOR法以解决机器人选择问题,在该方法中,备择方案的属性和权重由三角直觉模糊数表示。文献[4]在直觉模糊环境下将VIKOR法用于解决供应商选择中的群决策问题。基于IFSs的相似性测度,文献[5]提出了一种新的直觉模糊VIKOR法来解决多响应优化问题。
距离测度是IFSs的重要基础概念,并在VIKOR法中具有重要作用,经典的折衷规划就是基于距离测度的,它是由一个特定解与理想/不可行解的贴近度决定的,最大化了群体效用,同时最小化了个体的遗憾。一些现存方法采用直觉模糊加法和减法算子来计算“群体效用”和“个体后悔度”,但其计算结果仍然是IFSs的形式,需要进一步根据IFSs的比较法则进行排序,一定程度上增加计算量,并且计算结果不如基于距离测度的VIKOR法得到精确数简洁明了。目前,文献[6-7]对现存的距离测度和相似性测度研究进行了综述,并利用人工测试框架对这些测度进行了比较。可以看出,一方面现有的距离测度存在反例并且没有考虑到IFSs的波动性,即缺乏知识的情况,被证明具有一定的局限性,而另一方面,距离测度的选择对于直觉模糊VIKOR法计算结果有很大影响,直接影响决策结果。
因此,考虑到直觉模糊环境下信息波动性与不具体性因素,本文补充拓展了直觉模糊测度定义,并在此基础上提出了一种新的直觉模糊距离测度公式,一方面能尽可能避免反例出现,另一方面能够有效地体现IFSs信息特点。针对属性与决策者权重未知且方案属性值为直觉模糊数的MADM问题,提出了一种基于新的直觉模糊距离和VIKOR的MADM方法。该方法运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度进而得到决策结果,在获取更为准确的直觉模糊距离测度的同时实现对MADM问题的合理有效分析。
1 预备知识
下面,先简要回顾下一些IFSs的基本概念和相关理论。
定义 1 [1] 设X 是一个非空集合,则称
A ={<x ,u A (x ),v A (x )>|x ∈X }
(1)
为IFSs,其中u A :X →[0,1]和v A :X →[0,1]分别表示X 中元素x 属于X 的子集A 的隶属度和非隶属度,且满足对于任意x ∈X ,有0≤u A +v A ≤1。πA (x )=1-u A (x )-v A (x )称为犹豫度,πA (x )∈[0,1],表示x 中元素X 属于A 的犹豫度或不确定度。
定义 2 [8] 为方便计算,称
为直觉模糊数(intuitionistic fuzzy numbers,IFNs),其得分函数定义为
(2)
其精确函数定义为
(3)
根据式(2)与式(3),XU提出了比较两个
和
大小的方法[9]:
(1) 若
则
小于
表示为
(2) 若
则小于
表示为
(3) 若
则
①若
则等于表示为
②若
则小于表示为
③若
则小于表示为
1.1 试验地概况 试验于2016年3—9月和2017年3—9月在泸州市古蔺县观文镇复兴村进行。试验地土壤类型为黄壤，基本理化性状：有机质26.8 g/kg;pH 6.8,碱解氮118.3 mg/kg,速效磷74.0 mg/kg,阳离子交换量8.5 cmol/kg。
定义 3 [10] 设
为一组IFNs,其中
则直觉模糊加权集结算子可定义为
(4)
式中,w i 是
的权重,w i ∈[0,1]且
定义 4 [11] 设A 是论域X 中的IFSs。直觉模糊熵定义如下:
(5)
定义 5 [12] 对任意A ,B ,C ∈IFSs(X ),设一映射d :IFSs(X )×IFSs(X )→[0,1],d (A ,B )满足下面的性质:
(DP1) 0≤d (A ,B )≤1;
(DP2) 当且仅当A =B 时,d (A ,B )=0;
(DP3)d (A ,B )=d (B ,A );
(DP4) 如果A ⊆B ⊆C ,则有d (B ,C )≤d (A ,C ),且d (A ,B )≤d (A ,C )。
则d (A ,B )为IFSsA 和B 之间的距离测度。
πA (x i )+πB (x i )]=
2 新的直觉模糊距离测度的提出
在提出新的直觉模糊距离测度之前,下面简要回顾以往直觉模糊距离测度存在的局限。
设A 和B 为论域x ∈X 上的两个IFSs,其中A ={<x i ,u A (x i ),v A (x i )>|x i ∈X },B ={<x i ,u B (x i ),v B (x i )>|x i ∈X },在文献[13]中,Szmidt和Kacprzyk基于经典的Hamming提出了两种直觉模糊距离测度:
(6)
(7)
作为一种表示不确定性信息的有效工具,IFSs的优势就在于考虑了波动性,因为犹豫度指数能描述一种中立的状态(亦此亦彼)。此外,需要注意的是距离测度方法的目的是衡量IFSs所表示信息之间的差异,而非IFSs自身数值的差异。因此距离测度应该有针对性的考虑直觉模糊信息波动性和不具体性的特点。
d 1(A ,B )=
(8)
(9)
基于经典Hausdorff测度,文献[15]提出了一些计算IFSs之间距离的方法,这些距离测度也是经典Hamming距离、Euclidean距离和他们标准形式的拓展。
d h (A ,B )=
(10)
l h (A ,B )=
(11)
e h (A ,B )=
(12)
q h (A ,B )=
◎布洛芬 39oC以上使用，常见的就是强生的美林，小儿退热的首选。经肾脏代谢，腹泻时身体本身就容易脱水，禁用。
(13)
文献[16]将文献[15]的方法拓展至三维形式:
(P3) 根据式(20)和式(21),可得
|v A (x i )-v B (x i )|,|πA (x i )-πB (x i )|}
如果把阿里的事业比作4×100米的赛跑，我只是跑了第一棒而已。有人说我可能害怕了，我说我从来没有害怕过未来，也没有害怕过今天。我只是知道论能力和精力，我已经不是未来带领公司的最佳人选。
(14)
|v A (x i )-v B (x i )|,|πA (x i )-πB (x i )|}
(15)
虽然目前学者们已经提出了多种不同形式的距离测度,且大部分现存距离测度都能满足直觉模糊距离的定义。但仍然存在一些反例[6-7],例如,考虑3个单值IFSsA =(x ,0.4,0.2),B =(x ,0.5,0.3)和C =(x ,0.5,0.2),利用现有方法d nH ,d nE ,l h ,l eh ,d 1,
计算A 和B 之间的距离,得到的结果等于或大于A 和C 之间的距离。根据定义2中的得分函数和精确函数,以及比较法则可知IFSsA ,B 和C 满足C >B >A ,表明A 和B 之间的距离应该小于A 和C ,所以上述方法计算的结果是不合理的。分析其原因,一是不同的距离测度有不同的关注点,这样以来适用于不同的环境,二是这可能意味着现存的关于距离测度的定义不够严格。具体而言,定义如果能考虑如下两个方面会更加严谨和合理:首先,定义5只对端点d (A ,B )=0时的条件作了限制,而未考虑另一端点d (A ,B )=1;其次,距离测度如果能够满足三角不等式那么将更加完整合理。
另一个值得关注的地方在于,直觉模糊信息中存在两种不确定性,一种是模糊性,而另一种称为缺乏知识或不具体性。首先,IFSs是模糊集的一种拓展形式,因此也具有模糊性。这种模糊性是第一种不确定性,主要反映两种分明、具体的信息:隶属度和非隶属度。在IFSs中,存在另一种不确定性即缺乏知识或不具体性,也可称为波动性。这种不确定性反映了一种不具体的信息:犹豫度,它表示我们对隶属度和非隶属度的未知程度。这两种不确定性显然是不一样的,犹豫度自身就存在不确定的因素,因为其代表的是一种“亦此亦彼”的状态。然而,大多数现有的距离测度只考虑了IFSs参数数值之间的差异,而没有考虑直觉模糊信息的波动性。进一步解释,用IFSsA =(x ,0.1,0.2)和B =(x ,0.1,0.2)表示两种模式,其中IFSsA 和B 的犹豫度都为0.7,用上述方法计算IFSsA 和B 之间的距离是相等的,表示两种模式一模一样。从数值的角度看这一结论是正确的,因为IFSsA 和B 的参数完全相等。但是从直觉模糊信息的角度看,这一结论是不合理的。诚然,IFSsA 和B 的犹豫度πA (x )=1-u A (x )-v A (x )都等于0.7,但这只是表明IFSsA 和B 缺乏知识的程度为0.7,不能表示模式A 和B 是一样的。根据IFSs定义,IFSsA 与B 存在的犹豫程度虽然均为0.7,这个0.7相当于对于人们是未知的,但如果认知水平进一步发展,两者的犹豫程度转化为隶属度和非隶属度的情况很有可能出现不一样的结果。换而言之,因为缺乏知识,所以无法得到肯定结论——两种模式是一样的。
文献[14]指出Szmidt和Kacprzyk的距离测度虽然具有一些良好的几何特征,但在应用中存在一些缺陷。因此,提出了下列新距离测度:
受直觉模糊信息特征的启发,本文对直觉模糊距离测度定义进行了补充拓展,下面给出拓展后的直觉模糊距离测度的公理化定义。
定义 6 对任意A ,B ,C ,D ∈IFSs(X ),设一映射d :IFSs(X )×IFSs(X )→[0,1],d (A ,B )称为A 和B 之间的直觉模糊距离当且仅当满足下面的性质。
(P1) 0≤d (A ,B )≤1。
初中地理知识的学习需要结合图像进行教学，让学生对地理知识的学习产生积极的兴趣，这就需要教师在进行备课的时候对教材的内容进行深入的分析，对课程中的重点和难点进行合理的划分，并且通过互联网设备为学生查找与之相适应的图像，设计相关的教学情境，让学生在轻松的氛围中进行地理知识的学习。教师在课堂上进行讲课的时候，可以结合图像和课文中的具体情境为学生设置恰当的问题让学生进行思考，并且通过图像为学生进行地理知识的分析，让学生能够更好地理解学习的地理知识。运用图像为学生学习地理知识设置恰当的教学情境能够很好地激发学生学习的兴趣，教师要及时的为学生搜集相关的地理图像。
(P2)d (A ,B )=0当且仅当A =B 且πA (x )=πB (x )=0。
(P3)d (A ,B )=1当且仅当IFSsA =(x ,1,0),B =(x ,0,1)或IFSsA =(x ,0,1),B =(x ,1,0)。
(P4)d (A ,B )=d (B ,A )。
(P5)d (A ,C )≤d (A ,B )+d (B ,C ),对任意A ,B ,C ∈IFSs(X )。
(P6) 如果A ⊆B ⊆C ,则d (B ,C )≤d (A ,C )且d (A ,B )≤d (A ,C )。
(P7) 如果A =B 和C =D ,则
① 当πA (x )+πB (x )>πC (x )+πD (x )时,d (A ,B )>d (C ,D );
② 当πA (x )+πB (x )<πC (x )+πD (x )时,d (A ,B )<d (C ,D );
③ 当πA (x )+πB (x )=πC (x )+πD (x )时,d (A ,B )=d (C ,D )。
则d (A ,B )为IFSsA 和B 之间的距离测度。
上述定义是对定义5的拓展,一方面,引入了一些新的属性让定义更加严格,(P3)是对端点取值d (A ,B )=1更细化的条件限制;(P5)是一个新的属性条件,要求距离测度满足三角不等式。另一方面,定义通过加强属性条件(P2),以及增加一个新的属性条件(P7),进一步体现出了直觉模糊信息的特点。直觉模糊距离测度不仅满足传统距离的大部分属性,也满足一个特殊的属性:即如果一个IFSs的犹豫度不为0,那么不存在IFSs与它的距离测度为0,并且犹豫度越大,距离越大。因为它们的犹豫度不同时为0,即存在中立或不确定的情况,那么即使两个IFSs在数值上完全相等,它们的隶属度与非隶属度在认知水平发展之后极有可能出现转化不一样的情况,这是由IFSs的“亦此亦彼”性决定的。
下面,本文引入一个新的距离测度。设A =<x ,u A (x ),v A (x )>,B =<x ,u B (x ),v B (x )>为论域X ={x 1,x 2,…,x n }中的IFSs。
(16)
胆固醇中的LDC-C是诱发动脉粥样硬化的主要成分，也是降胆固醇治疗的主要目标之一。中国血脂指南提倡把冠心病合并高脂血症患者的LDC-C降至80 mg/dL以下，把高危患者LDC-C降至100 mg/dL以下。但当系我国合并粥样硬化疾病者，血脂控制达标率仅为16.6%，提升血脂控制的达标率始终是临床需突破的难题。国内外有大量的临床研究发现，调脂治疗在改善冠心病患者症状、降低心绞痛发作频次、延长生存年限等方面是百利而无一害的，与此同时国际上有很多大样本的临床研究为降脂在老年冠心病患者中的应用提供理论与数据支撑。
老子不但讲养生，还讲处世，在物欲横流的时候读一读，无异于一副良药，一杯清凉剂。百姓读了安分守己，官员读了不贪腐——其实也是养生，都可长寿。
(17)
(18)
θ 3(x i )=max(|u A (x i )-u B (x i )|,
(19)
d L (A ,B )的构造主要考虑到两个方面,一是与传统距离测度方法一样,考虑IFSs参数之间的差异,包括隶属度u A (x i )和u B (x i ),非隶属度v A (x i )和v B (x i ),犹豫度πA (x i )和πB (x i ),也包括区间中值(u A (x i )+1-v A (x i ))/2和(u B (x i )+1-v B (x i ))/2之间的差异。二是满足直觉模糊距离的新条件要求,θ 2(x i )旨在反映不确定信息的波动性。直觉模糊信息的不具体性越大,两个IFSs之间存在差异的可能性就越大。这样,可以得到以下定理:
定理 1 d L (A ,B )是论域X ={x 1,x 2,…,x n }中IFSsA 和B 的距离测度。
证明 设A ,B ,C ∈IFSs(X ),不难看出d L (A ,B )满足定义6的性质(P4),(P6)和(P7)。因此,只需证明d L (A ,B )满足(P1),(P2),(P3),(P5)。
(P1) 因为
另外，智慧课堂可以利用信息技术全程远程直播与录播课堂教学过程，一是可以实现课堂教学过程的再现，二是使因为特殊情况不能上课的学生，可以通过PC或移动终端随时随地进行学习，做到“人人皆学、处处能学、时时可学”。
0≤θ 1(x i )+θ 2(x i )=
|(u A (x i )+1-v A (x i ))-(u B (x i )+1-v B (x i ))|+
πA (x i )+πB (x i )]=
|u A (x i )+v B (x i )-u B (x i )-v A (x i )|+
(2) 由于车站完全设置在路中，避开了管线密集的路边侧区域，对既有管线影响较小，大大减少了管线搬迁的工作量；
改革开放后的40年里，中国逐渐成为了世界上旅游规模最大的国家之一。2018年上半年，我国国内旅游人数为28.26亿人次，比上年同期增长11.4%；国内旅游收入为2.45万亿元，比上年同期增长12.5%。出入境旅游总人数为1.41亿人次，同比增长6.9%，国际旅游收入达618亿美元，比上年同期增长2.8%（文化和旅游部数据中心，2018）。旅游业的快速发展为我国经济快速增长、国际互惠交往作出了巨大贡献。旅游过程中，“人”是引发各类旅游现象的根源，“人”的问题也是旅游研究中最为迫切和根本的问题，这既是促进旅游产业发展的根基，也是推动旅游学科系统化发展的重要环节。
|(u A (x i )-u B (x i ))-(v A (x i )-v B (x i ))|+
(d)在建立的优化模式库里，以洗后浆产量最大、纸浆洗涤过程清水加入量最小为目标，对稀释因子和操作参数进行寻优。
|(u A (x i )+1-v A (x i ))-(u B (x i )+1-v B (x i ))|]
2-u A (x i )-u B (x i )-v A (x i )-v B (x i )]≤
晚清最后10年，清政府也开始以较为保守的方式进行自我变革。变革的方向对后世影响较大，其中，办新学、编练新军等措施甚至在一定程度上直接加速了清政府的灭亡。
|u A (x i )-u B (x i )|+|v A (x i )-v B (x i )|+
2-u A (x i )-u B (x i )-v A (x i )-v B (x i )]=
2|v A (x i )-v B (x i )|-(v A (x i )+v B (x i ))+2]≤
2(v A (x i )+v B (x i ))-(v A (x i )+v B (x i ))+2]=
(20)
又因为
0≤θ 3(x i )=
max(|u A (x i )-u B (x i )|,|v A (x i )-v B (x i )|,
(21)
综合式(20)和式(21),可以得到
退耕还林工程是一项国家性质的生态建设工程，该工程启动以后既代表的是国家的生态建设，也代表的是地球的生态建设。退耕还林工程将生态建设和经济发展结合在一起，通过多种产业发展模式促进了地区的经济发展，即增加了绿化面积，改善了生态环境，又对生态脱贫增加农民收入有一定的作用，因此对于环境保护和经济发展有着双重的意义。此外，我国实施两轮退耕还林工程是国家生态建设上的重要举措，党的十九大报告中把生态建设纳入五位一体，习主席又提出了“绿水青山，就是金山银山，即要金山银山，又要绿水青山”。
0≤θ 1(x i )+θ 2(x i )+θ 3(x i )≤3
(22)
因此
0≤d L (A ,B )=
(23)
(P2) 因为d L (A ,B )=0⟺u A (x i )=u B (x i ),v A (x i )=v B (x i ),πA (x i )+πB (x i )=0⟺A (x )=B (x )且πA (x )=πB (x )=0。所以,d L (A ,B )满足定义6的属性(P2)。
总体看来，深港股市相关程度仍不高，这可能是由于两地市场制度因素和投资产品、工具的影响，投资者可以利用市场间的差异性构造投资组合，在分散投资风险的同时考虑深港股市间的相关性波动。在样本两阶段期间中，两地股市收益率间关联性具有明显的时变特征，总体经历“N”型趋势，先短暂缓慢上升，经历长时间的波动下降又明显的波动拉升，且达到的相关程度较刚开始更高，也表明“深港通”开通初期，两地的联动效应并没有得到加强，反而继续波动下降，后期深港两地的收益率波动相关性具有较明显的提高，且每次股市的巨大波动均会显著影响两地市场的联动效应，这与“深港通”政策实施的目的也是相符的。
d L (A ,B )=1⟺θ 1(x i )+θ 2(x i )=2且θ 3(x i )=1⟺
且
max(|u A (x i )-u B (x i )|,|v A (x i )-v B (x i )|,
A (x )=(1,0,0),B (x )=(0,1,0)或
A (x )=(0,1,0),B (x )=(1,0,0)。
因此,d L (A ,B )满足定义6的条件(P 3)。
(P4)A 和B ,B 和C ,A 和C 之间的距离可分别表示为
(24)
(25)
(26)
显然
|u A (x i )-u B (x i )|+|u B (x i )-u C (x i )|≥|u A (x i )-u B (x i )+u B (x i )-u C (x i )|=|u A (x i )-u C (x i )|
(27)
|v A (x i )-v B (x i )|+|v B (x i )-v C (x i )|≥|v A (x i )-v B (x i )+v B (x i )-v C (x i )|=|v A (x i )-v C (x i )|
(28)
|(u A (x i )+1-v A (x i ))-(u B (x i )+1-v B (x i ))|+|(u B (x i )+1-v B (x i ))-(u C (x i )+1-v C (x i ))|=
|u A (x i )+v B (x i )-u B (x i )-v A (x i )|+|u B (x i )+v C (x i )-u C (x i )-v B (x i )|≥
|u A (x i )+v B (x i )-u B (x i )-v A (x i )+u B (x i )+v C (x i )-u C (x i )-v B (x i )|=
|u A (x i )-v A (x i )+v C (x i )-u C (x i )|=|(u A (x i )+1-v A (x i ))-(u C (x i )+1-v C (x i ))|
(29)
|πA (x i )-πB (x i )|+|πB (x i )-πC (x i )|≥|πA (x i )-πB (x i )+πB (x i )-πC (x i )|=|πA (x i )-πC (x i )|
(30)
(31)
因此,可得到d L (A ,B )+d L (B ,C )≥d L (A ,C )。
证毕
于是,可以得到结论,因为满足性质(P1)～(P7),所以d L (A ,B )为论域X ={x 1,x 2,…,x n }上IFSsA 和B 之间的距离测度。
当提出一种新的距离测度时,常常以克服其他方法存在的反例来说明方法的优越性,这些反例通常是以单元素IFSs的形式出现。文献[7]总结了过去文献中出现的反例并建立了由6组不同单元素IFSs构成的人工测试框架,用以测试直觉模糊距离和相似性测度。虽然这些例子不能涵盖所有的反例,但它们具有代表性。在文献[6]中,PAPAKOSTAS等人认为所有新提出的方法都应该经过这一人工框架的检验。为了进一步说明所提距离测度的有效性,我们利用人工框架中所有的测试IFSs对所提方法和现有方法进行比较。此外,为了反映出直觉模糊信息的特点,在人工框架测试集中加入了一组新的单元素IFSs,扩展的测试集如表1所示。
表1 测试的IFSs
Table 1 Test intuitionistic fuzzy sets
表2是直觉模糊距离反例测试结果的比较。其中,加粗斜体为反例，不难看出d nH ,d nE ,l h ,l eh , 不满足性质(P3),因为这些方法在计算{A =(x ,1,0),B =(x ,0,0)}时结果等于1。类似地,d nH ,l eh 在计算{A =(x ,0,0),B =(x ,0.5,0.5)}时也不满足性质(P3)。距离测度d nH ,l eh 和
认为第1组测试IFSs之间的距离与第3组测试IFSs之间的距离相等,显然不合理。距离测度l h ,d 1和计算第4组测试IFSs之间的距离与第5组测试IFSs之间的距离都为0.1,表明他们无法有效区分积极和消极的差异。当使用方法d nH ,d nE ,l h ,l eh ,d 1和
计算第3组测试IFSs之间的距离与第7组测试IFSs之间距离时,前者大于等于后者,这是不合理的,因为根据定义2的得分函数和精确函数,以及IFNs的比较法则,有C >B >A ,表明A 与B 之间的距离应该小于A 与C 直接的距离。此外,所有现有方法计算第6组测试IFSs时都为零,结果不合理。IFSs比传统FSs能够更加有效的描述不确定信息,是因为其引入了犹豫度来刻画“亦此亦彼”的状态。在本例中,因为犹豫度自身包括不具体的信息且支持和反对的比重不确定,所以实质上无法确定IFSs所表示的信息之间没有差异。
基于对表2的分析,可以得到如下结论,现存方法虽然各有侧重点且满足所有或大部分直觉模糊距离测度的性质条件,但这些方法绝大多数存在反例,那么会导致在一些应用中无法有效的区分IFSs之间的差异。本文所提方法是唯一的,不存在表2中的反例的方法,且满足所有直觉模糊距离测度的性质,考虑了犹豫度可能带来的潜在差异。
表2 距离测度之间的比较
Table 2 Comparison between distance measures
3 基于新距离测度的直觉模糊VIKOR 法的MADM 步骤
在新距离测度的基础上,本节给出所提直觉模糊VIKOR法的详细步骤。对直觉模糊环境下的MADM问题,设A i (i =1,2,…,m )为备择方案集合,A i 表示第i 个备择方案,C j (j =1,2,…,n )为属性集合,其对应的权重信息表示为
为决策者集合,决策者权重表示为
受经典VIKOR法和其拓展方法的启发,基于新距离测度的直觉模糊VIKOR法具体步骤如下:
步骤 1 生成评价信息。决策者D q (q =1,2,…,l )以IFNs的形式(或由IFNs表示的语言变量形式)给出关于备择方案A i 的属性C j 的评价
则D q 给出的评价信息可表示为
(32)
步骤 2 生成决策者的客观权重信息。根据决策者提供评价信息的模糊性和未知程度,利用直觉模糊熵公式客观地得到决策者的权重信息λ q (q =1,2,…,l )。模糊性和未知程度越小、直觉模糊熵越小,权重越大。通过式(5),决策者D q 的直觉模糊熵为
(33)
则决策者D q 的客观熵权可以定义为
(34)
式中,l 表示决策者的数量。
步骤 3 建立直觉模糊决策矩阵。通过式(4),对所有个体决策矩阵D (q) 进行集结,进而得到合成的直觉模糊决策矩阵:
(35)
式中,
步骤 4 生成属性的客观权重信息。类似于步骤2,利用直觉模糊熵确定属性权重w j (j =1,2,…,n )能够更准确客观地反映评价属性的重要程度,减少主观随意性。通过式(5),可得到评价属性C j 的直觉模糊熵:
(36)
则属性C j 的客观熵权可定义为
(37)
式中,n 为属性的数量。
步骤 5 确定正负理想值。属性C j 对应的正理想值
和负理想值
可被定义为
(38)
(39)
步骤 6 计算群体效用值S i ,个体后悔值R i 和折衷评价值Q i 。利用新的直觉模糊距离计算备择方案的3个关键取值:
(40)
(41)
(42)
式中,
γ 称为决策机制系数,γ >0.5表示根据最大化群体效用的决策机制来选择,γ =0.5表示根据均衡折衷的方式选择,γ <0.5表示根据最小化个体遗憾的决策机制进行决策。
步骤 7 对备择方案进行排序并得到最终决策方案。将S i ,R i 和Q i 数值按升序排列,得到3组排序S [·],R [·]和Q [·]。然后根据以下两个判断准则来进行优选决策,对于在Q [·]中排序第一的备择方案A (1),如果同时满足下面两个判断条件则被视为最佳折衷决策结果。
条件 1 可接受优势准则
(43)
式中,A (1),A (2)分别为Q [·]中排序前两位的备择方案。
条件 2 可接受的稳定性准则:如果方案A (1)在序列S [·]和R [·]中也是排序第一,则说明A (1)在决策过程中是稳定的。
如果不能同时满足可接受优势和可接受稳定性准则,说明有多个备择方案非常接近,将得到一组折衷解。具体情况如下:
(1) 当只有条件2不满足时,备择方案A (1)和A (2)皆为最优决策结果;
(2) 如果条件1不满足,则得到一组方案A (1),A (2),…,A (u) ,其中A (u) 由公式Q (A (u) )-Q (A (1))<1/(m -1)决定。
4 算例分析
4.1 VIKOR 方法进行推荐排序
本文以某高校信息管理系统选择为例,进一步阐明所提出的基于新距离测度的直觉模糊VIKOR方法,表3为算例评价语言变量与IFNs的对应关系。
为了全面了解备选的高校信息管理系统,拟聘请3位专家(专家DM1、专家DM2和DM3)组成评估小组,通过评估备选信息管理系统五方面属性:C 1系统性;C 2全面性;C 3可操作性;C 4可信度;C 5时效性,对4个备择高校信息管理系统A 1、A 2、A 3、A 4进行排序和优选。评估小组3名专家首先根据语言变量对4种备择方案的属性进行评价,评价信息如表4所示。
表3 语言变量与IFNs的对应关系
Table 3 Corresponding relationship between language variables and IFNs
表4 决策者给出的评价信息
Table 4 Evaluation information given by the decision maker
通过式(33)和式(34)确定各决策者的直觉模糊熵权,得λ 1=0.322 0,λ 2=0.324 4,λ 3=0.353 6。通过式(35)可建立综合的直觉模糊决策矩阵为
通过式(36)和式(37)确定各属性的直觉模糊熵权,得w 1=0.195 0,w 2=0.212 9,w 3=0.198 0, w 4=0.196 6,w 5=0.197 6。通过式(38)和式(39),进一步对属性值进行排序,得到属性的正理想值和负理想值为
不失一般性,设γ =0.5。通过式(40)～式(42),计算各备择方案的群体效用值S i 、个体后悔值R i 和折衷评价值Q i ,结果如表5所示。
由表5可知,各备择方案优先序为Q 3<Q 1<Q 4<Q 2,其中最小值为A 3。判定所选方案是否满足可接受优势准则和可接受稳定性准则,A 3在S i 和R i 中排序第一,且Q 1-Q 3=0.329 8≥0.25,这意味着A 3是该问题唯一的折衷评价值。
表5 备择方案的 S i 、 R i 和 Q i 值
Table 5 Values of S i , R i and Q i for the alternatives
4.2 与基于海明距离的直觉模糊VIKOR 方法排序结果比较
在文献[4]中,ROOSTAEE R等人提出了一种基于海明距离的直觉模糊VIKOR法。为了证明本文所提出方法的有效性,将该方法与文献[4]中基于海明距离的直觉模糊VIKOR法进行了比较,基于海明距离的直觉模糊VIKOR法的计算结果如表6所示。结果表明,这两种决策方法一致认为第3种信息管理系统更适合该高校。
表6 基于海明距离的直觉模糊VIKOR法备择方案的 S i 、 R i 和 Q i 值
Table 6 Values of S i , R i and Q i for all alternatives by the hamming distance based IF-VIKOR method
在本例中,需要指出的是,专家所提供的评价处于较低的犹豫度,如表3和表4所示,语言值的最大犹豫度数值为0.1,表示评价的不具体性(缺乏知识)程度较低。在这种情况下,两种方法都可以有效地对备选方案进行评价和排序。然而,文献[4]基于海明距离的IF-VIKOR方法并不总是能够得到有效的结果,尤其是在犹豫程度高的MADM问题中。它可能会产生一些违反直觉的情况,从而可能会得到不合理的结果。
4.3 参数敏感度分析
在直觉模糊VIKOR法中,决策机制系数γ 对备择方案排序结果非常关键。因此,我们将参数γ 在区间[0,1]范围内以步长为0.1取值进行了敏感度分析,本节通过考察参数γ 不同取值变化对折衷解决方案的影响程度,以说明本文所提方法在处理MADM问题时的有效性。
我们将参数在区间[0,1]范围内以步长为0.1取值,利用本文提出的决策方法分别计算本文算例与文献[17]算例的排序结果,并将排序结果呈现于表7和表8中。基于表7和表8中不同决策机制系数γ 的排序结果,我们发现参数γ 的值从0变化到1,各自算例的折衷解决方案是一致的。这也是说,折衷方案的最终选取结果对参数γ 的取值并不敏感。通过参数敏感度分析,可以得出折衷方案选取结果具有较强的稳定性,这也进一步证实本文所提出的方法是有效的。
表7 不同决策机制系数 γ 的排序结果(本文算例)
Table 7 Ranking results of different decision-making mechanism coefficient γ (Example in this paper)
表8 不同决策机制系数 γ 的排序结果(文献[17]中的算例)
Table 8 Ranking results of different decision-making mechanism coefficient γ (Example in[17])
具体而言,本文所提方法主要特点和创新点如下:
(1) 与基于IFSs拓展形式的VIKOR法[18-19]相比,本文IFSs具有完备的理论基础,例如基本定义与运算、比较法则、信息融合方法和测度理论。所提方法可以充分利用这些理论,更加利于实际应用。
(2) 虽然ROOSTAEE等人基于海明距离将VIKOR法拓展至直觉模糊环境下,但其方法有时会存在反例且没有考虑IFSs的波动性。新方法基于新的距离测度可以有效反映出直觉模糊信息的特点。并且该距离测度在文献[7]提出的人工框架测试中不存在反例。
(3) 与文献[18,20]方法采用直觉模糊算子计算“群体效用”和“个体后悔度”相比较,本文运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度,得到的结果是精确值,计算量更小且更加直观,所得决策结果更加合理。此外,决策机制系数可以根据实际需求设定,以平衡群体效用和个体后悔,增加了决策的灵活性。
5 结 论
考虑到直觉模糊环境下信息波动性与不具体性因素,本文补充拓展了直觉模糊测度定义,并在此基础上提出了一种新的直觉模糊距离测度公式,一方面能尽可能避免反例出现,另一方面能够有效地体现IFSs信息特点。针对属性与决策者权重未知且方案属性值为IFNs的MADM问题,提出了一种基于新距离测度的直觉模糊VIKOR法多属性决策方法。该方法利用直觉模糊熵确定属性与决策者权重,然后运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度进而得到决策结果,从算例分析可验证本文所提出的方法是合理和有效的。本文所提出的直觉模糊距离测度能应用于模式识别、故障诊断和目标分类等领域,所提出的MADM方法能应用到诸如供应商选择、人力资源管理等MADM问题,具有较好的理论意义和实用价值。
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Extended VIKOR method of multi -attribute decision making under intuitionistic fuzzy environment based on a new distance measure
WANG Rugen, LI Weimin, LUO Xiao, LYU Chengzhong
(Graduate School ,Air Force Engineering University ,Xi ’an 710051 ,China )
Abstract : A multi-attribute decision making method is proposed based on an intuitionistic fuzzy distance and VlseKriterijumska optimizacija I kompromisno resenje (VIKOR) for multi-attribute decision making problems in which attribute and decision maker weight are unknown and scheme attribute values are intuitionistic fuzzy numbers while fully considering the information non-specificity in the intuitionistic fuzzy environment. Firstly, the definition of intuitionistic fuzzy measure is extended and an intuitionistic fuzzy distance formula is constructed to reduce the lack of decision information on this basis, intuitionistic fuzzy entropy is used to determine the attribute and decision maker weight, and then the new intuitionistic fuzzy distance is applied to calculate the group utility and individual regret of VIKOR to obtain the decision result. Finally, the rationality and effectiveness of the method are verified by actual case analysis.
Keywords : multi-attribute decision making (MADM); intuitionistic fuzzy numbers; information volatility; intuitionistic fuzzy distance measure; VlseKriterijumska optimizacija I kompromisno resenje (VIKOR) method
收稿日期: 2018-05-18;修回日期： 2019-03-19;网络优先出版日期: 2019-08-22。
网络优先出版地址: http:∥kns.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20190822.1024.033.html
基金项目: 国家自然科学基金(61273275)资助课题
中图分类号: C 934
文献标志码: A
DOI: 10.3969/j.issn.1001-506X.2019.11.16
作者简介：
汪汝根 (1993-),男,博士研究生,主要研究方向为作战运筹分析、决策支持。
E-mail:wrg7507@qq.com
李为民 (1964-),男,教授,博士,主要研究方向为作战运筹分析。
E-mail:784849082@qq.com
罗 骁 (1990-),男,助教,博士,主要研究方向为作战运筹分析。
E-mail:wrg75071523@qq.com
吕诚中 (1991-),男,博士研究生,主要研究方向为空天防御系统与工程。
E-mail:1651311060@qq.com
标签：多属性决策论文; 直觉模糊数论文; 信息波动性论文; 距离测度论文; 多准则妥协解排序法论文; 空军工程大学研究生院论文;