后期维特根斯坦论逻辑和数学的基础，本文主要内容关键词为：维特根斯坦论文,后期论文,逻辑论文,数学论文,基础论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在对维特根斯坦思想的研究文献中，有这样一种看法，认为维氏本人在数学方面的造诣远不及他在逻辑学方面深厚，因而，他所有关于数学问题的讨论，在某种程度上，只能看作是一种学生的练习而已，根本不具有真正数学研究的性质。有人甚至极端地认为，维特根斯坦基本上不懂数学。那么，事实上究竟是不是这样的呢？因为如果这种看法正确的话，那么，维氏关于数学以及逻辑问题的观点也就变得没有价值了，至少失去了原来认为的价值。
我们知道，从1930年初开始，维特根斯坦就对数学基础问题作过专门的讲座，并写下了大量的笔记。后来，不仅这些笔记经他本人整理题为《关于数学基础的评论》，并在他嗣后于1956年正式出版，而且他的讲座也经他的学生整理以《维特根斯坦关于数学基础的演讲》为题于1975年出版。当然，仅凭出版了这些著作，并不能完全表明维特根斯坦在数学和逻辑方面具有深厚造诣，重要是要看他在这些笔记和讲座中究竟说了些什么，这些内容对数学和逻辑学的发展究竟有什么样的价值。
根据《关于数学基础的评论》一书的编者前言，该书写成于1937～1944年，尔后，维特根斯坦就再也没有谈过这个问题。不过，早在1929～1932年，他曾对这个问题谈了许多，当时的思想属于他思想发展的中期阶段，非常接近《逻辑哲学论》的思想。而《关于数学基础的评论》则属于《哲学研究》思想的一部分。（注：参见L.Wittgenstein:Remarks on the Foundations of Mathematics,（ed.by G.H.von Wright,R.Rhees,G.E.M.Anscombe,tr.by G.E.M.anscombe,The M.I.T.Preas,1967.以下简称为RFM）编者序言，第vi页。）事实上，这本书的许多内容都是《哲学研究》的初稿，特别是该书的开头一节就被收入到《哲学研究》的第189～190页中。全书共有五个部分：第一部分主要讨论的是数学的演算和逻辑的推理问题，其中包含了两个附录，讨论的是数学中的惊奇和哥德尔关于不可证明之物存在的定理；第二部分是关于罗素的从逻辑演算中派生数学的观念，他在这里试图表明他对数学证明性质的看法，提出了‘数学的混合性’(the motley of mathematics)概念，建立了不同演算技术之间的联系，反对一切形式的数学基础观念；第三和第四部分主要是为第五部分的内容所做的前期准备工作，讨论的是数学中的公理，证明以及遵守规则、布劳威尔和直觉主义的关系、排中律和数学的存在以及数学中的内涵与外延观念等同题；第五部分还讨论了数学命题与经验命题的关系、矛盾和一致性概念、遵守规则问题、数学证明以及逻辑推理等。
我们在这里将集中分析维特根斯坦在书中对数学的演算、逻辑的推理、证明的形式、公理的自明等问题的讨论，因为这些问题不仅属于数学和逻辑的范畴，而且具有相当普遍的意义：维特根斯坦对这些问题的看法，直接透露出他后期哲学的精神。
一、数学演算和逻辑推理
通常认为，当我们使用数学演算时，我们的每一步演算都是由数学的公式确定的。譬如，当我们使用公式
时，我们用相同的数代入x，我们就会得到相同的y值。这里的步骤是由这个公式决定的。但维特根斯坦则认为这种通常的看法是错误的。
首先，他指出，我们通常在使用数学演算时，总以为那是有关各种量的演算，因而，我们在演算中关注的往往是由什么样的常量推出相应的变量。但事实上并不是这样。我们的所有数学演算其实只是关于数学公式的演算，是对数学公式的应用，而与公式中代入的量值无关。如果把通常的数学公式变换一种形式，我们就可以清楚地看到这一点：公式“”可以变换为“按给定的x值决定数y的公式”；同样，公式“
”也可以变换为“给定x值不能决定数y的公式”。可见，这两个被变换后的命题都是关于这两个数学公式形式的陈述，它们与其中的x和y的数值无关。
其次，他还认为，在数学演算中使用什么样的公式，就事先决定了演算的各个步骤。那么，又是如何确定是否正确地使用了公式呢？他认为，这就需要根据使用经验，例如，它可以是经常使用公式的那种方式，也可以是别人教给我们的使用公式的方式等等。无论如何都是根据以往的使用方式，事先决定演算的各个步骤。
再次，维特根斯坦指出，数学演算本身并不是揭示数的或形式的本质之类的东西，它只是一种约定而已。他写道：“如果你谈论什么东西的本质，你就只是在注意到一种约定。但人们在这里也许会反驳说：在关于深刻本质的命题与关于纯粹约定的命题之间并没有巨大的差别。但我的回答是：我们在本质中看到的深度，就符合对约定的深厚需求。”在他看来，这里所谓的本质就是约定。譬如，在几何图形中看到的东西，如果要询问它们的本质，我们就只是询问，人们通常使用它们是指什么，也就是通常对它们的约定是什么。又如，我们通常把演算看作是在证明某种结构的内在属性或本质属性。但这种所谓的对内在属性或本质属性的证明，其实就是对原有结构的展现，而且这种展现是没有时间性的，就是说，无论在任何时间场合，使用相同的数学公式，都应当得到相同的结果。当我们说“这个命题来自那个命题”时，这里使用的“来自”就是没有时间性的。例如，我们可以说“白色比黑色亮些”，这就是一个非时间性的表达式，它表达的是一种内在关系的存在事实。
但我们能够进一步说，这种内在关系不就是这个命题的本质吗？根据维特根斯坦的看法，当然不能这样说。因为，这里所谓的内在关系并不是传统唯心论者诸如布拉德雷、迈农等人认为的那种能够最终确定命题意义的东西，相反，维特根斯坦认为，它只是命题内部的结构排列。根据布拉德雷和迈农等人的看法，在上面那个命题中，由于“亮些”是白色的特性，所以这个命题的意义就取决于白色与黑色之间的这种内在关系。但维特根斯坦指出，这完全是对该命题的猜想性解释，因为这里并不存在什么白色的特性，也不存在所谓可以决定命题意义的内在关系，我们在这里只是按照日常语言对“白色”、“黑色”、“亮些”等这些词的通常用法使用它们；我们的命题完全是非时间性的，因为表达的只是这些语词之间的关系。这就像是我们通常会说“这个物体比那个要亮些”，而不会去说“这个物体的颜色比那个物体的颜色要亮些”。当我们从日常表达式中排除了后一种说法，也就可以理解为什么不存在所谓的本质了。因为一切都存在于我们对这些语词的使用当中，也就是说，存在于我们对这些语词使用的约定当中。
弄清了维特根斯坦对数学演算的看法，现在就来看看他又是如何理解逻辑推理的，因为两者在性质上是一致的。但在他看来，与数学演算略有不同的是，逻辑推理则完全是从一种推断向另一种推断的过渡。但这种过渡并不意味着在这两个推断之间存在某种神秘的过程，所以才能够从第一个推断推出第二个推断。
的确，我们通常理解的逻辑推理正是这样的一个过程：它出现在两个命题之间，当从一个命题能够推出另一个命题时，我们就会说这两个命题之间一定存在某种推理关系。这样，就把推理看作是一种特殊的活动，一种理解的过程。但在维特根斯坦看来，这种看法是错误的。因为通常在推理中看到的只是从一个命题到另一个命题。虽然在命题之间或许构成了某种推理线索，但这样的线索也只是我们所看到的命题之间的过渡，而构成这种过渡的过程就出现在这个线索之间。这就像是我们在纸上写下一个命题，为了解释这个命题，就会写下另一个或另一些命题。同样，在说话时也是一句一句地说，而在所有的命题之间并没有什么神秘的过程。
当然，如果不同的命题被前后放在一起，那么，在它们之间就一定存在某种联系，这种联系决定了把它们放在一起才有意义。但维特根斯坦认为，这种看法其实只是一种猜测而已。因为在那里看到的只是命题，而为什么人们会把不同的命题放在一起，这取决于人们对这些命题的理解和使用它们的方式。对命题的理解和使用方式的不同，命题之间的逻辑推理关系就会不同。例如，我们现在通常使用“结论”一词表示一个命题是从另一个命题派生出来的。但如果有人用“结论”一词指我们通常所说的“前提”，并且能够正确地进行逻辑推理，那么，决不会说他错误地使用了“结论”一词，这就是因为他是在不同的方式上使用“结论”这个词。
然而，根据什么来判定某个逻辑推理是否正确呢？维特根斯坦提出，这就需要看是否遵守了使用规则，正确的逻辑推理，应当是根据规则从一个命题推出另一个命题。在这里，规则就起了关键的作用。我们通常使用的加减乘除，都是根据四则运算的规则，即使在使用它们时并没有做出任何的逻辑推理，但仍然可以正确地使用它们。由此可见，在逻辑推理中，重要的并不是命题之间的某种神秘联系，也不是命题之间的演算，而是使用命题的规则。规则决定了一个逻辑推理是否正确。
但这是否表明，只能使用遵守了规则的逻辑推理呢？是否表明，一切得到的结论都一定遵守了推理规则呢？不，维特根斯坦并不这样认为。他认为，逻辑本身是一种超物理的东西，它描述了世界的“逻辑结构”，我们是通过一种超经验的东西而认识到逻辑的。因此，逻辑的推理就像是心中想到这样的情形：炉子正在冒烟，所以烟囱就又乱了套。但在这里，炉子和烟囱的关系并不是逻辑上的推理关系：并非炉子一冒烟，烟囱就一定会乱了套。就是说，这个前提并不一定会带来这样的后果。而我们之所以会想到这种情形，是因为我们需要在这两个表达式或命题“炉子正在冒烟”和“烟囱又乱套了”之间进行转换，从而寻找一个可以解释两者之间关系的方式。这就是逻辑推理的作用。所以，维特根斯坦写道：“我们所谓的‘逻辑推理’是我们对表达式的一种转换。例如，从一种量度转换为另一种量度。一把尺子的边上是用英寸做刻度，而另一把则是用公分。我用英寸丈量这张桌子，然后用尺子转换为公分。当然，在从一种量度转换为另一种量度的过程中会有对错之类的事情；但在这里，符合‘正确的’实在是什么呢？大概是一种约定，或一种用法，也许是我们的实际需要。”这番话清楚地表明，维特根斯坦心目中的逻辑推理，并非我们通常理解的逻辑中的命题推理，即命题形式的演算过程，而是我们在日常语言中使用命题的不同方式，即对命题的不同使用。因此，我们要理解逻辑推理，就必须在实际的语言活动中去不断地使用各种命题，从中找到它们之间的联系，并在不同的语言游戏中理解不同的推理步骤。
如果真正从逻辑的角度看，这种对逻辑推理的理解或许会使人感到多少有些荒谬；但在现实生活中使用的逻辑推理却正是如此。在这里，维特根斯坦并非不懂逻辑和数学，他对罗素和怀特海的《数学原理》做了大量的分析，指出了他们记号体系中存在的矛盾。而他之所以根据日常语言的使用来理解逻辑的推理，其实正是基于他对数学演算与逻辑推理的深刻认识：一切所谓的逻辑推理，都不过是对不同命题的转换而已，因此，命题之间的推理过程，其实就是命题之间的翻译；由此得知，从一个命题中被推导出来作为结论的命题，也并不是什么新的命题，而是在被推出之前就早已存在的，它作为结论而被推出，不过是变换了一个位置而已。这样，我们就能理解维特根斯坦为什么在专门讨论数学和逻辑的笔记中却很少使用这些领域的专业符号。因为在他看来，从数学演算和逻辑推理中提出的问题，并不单单属于数学和逻辑领域，相反，它们反映出人们使用日常语言的真实情形，同时也表现出数学演算与逻辑推理在使用语言上对我们的极大误导。这种误导不仅表现在对命题演算和推理的不恰当理解，而且表现在对证明的不恰当使用上。所以，维特根斯坦在《关于数学基础的评论》中用了大量的篇幅讨论证明问题。
二、中证明的作用
证明是我们在日常语言中大量使用的推理方法。在日常语言中，证明通常是指用许多不同的命题推出一个相同的命题，并且这个过程在不同的时间地点都应当是相同的。例如，我们经常用许多方法来证明自己某个行为的正确性。但在这里，是考察维特根斯坦所理解的数学、逻辑、语法上的证明。在他看来，这样的一些证明从根本上说都是来自日常语言的证明，但实际上更多的却是误用了日常语言中的证明。
根据维特根斯坦的论述，一种论证结构之所以可以被称做证明，必须具备两个条件：其一是人们很容易地重新得到它；其二是人们反复得到的应当是相同的结构。这就向我们揭示了证明的基本结构：能够重新得到相同的论证。证明的这种可复制特征决定了任何形式的证明在不同的时间或地点或以不同的方式都必须是相同的。正是由于这种特征，所以，维特根斯坦反复强调，数学的证明必须是清晰的”，因为数学中的证明充分地显示了这种一致性。同样，文字证明比图形证明具有更大的优势，也正是由于文字证明复制上的精确性。
他在书中的许多地方都谈到，证明应当被看作是一种图像；证明是一种模式，一种实验。但如何理解证明与实验的关系，在维特根斯坦那里却并不清楚。
可以说，证明与实验的相似在于，它们都可以被毫无改变地复制出来。这对数学证明来说的确如此，但对实验本身来说则不然，因为实验的一个基本特征就是能够改变。在维特根斯坦看来，数学证明与自然科学中的实验有所不同，它必须是确定无疑地、毫无改变地被复制出来。所以，维特根斯坦相信，数学证明必须是一种结构，以它的完全复制可以是确定无疑的。这种复制不像是一片颜色或一种手迹的复制，因为后面这些复制只能被先前留下颜色或手迹的人所认可，而数学证明的基本特征则是，能够理解证明的人都可以认可这个证明中的一切步骤。如果一个证明只是被给出它的人所相信而没有被我们所接受，那么，它就不是一个真正的证明。这就表明，每个令人信服的证明都必定是清晰的，也就是说，证明的每一个步骤都必定是显而易见的，用维特根斯坦的话说，“证明必定是一个显而易见的步骤。或者说：证明就是显而易见的步骤”。
然而，在什么意义上可以说我们确信一个证明是真的？或者说，判断哪个证明为真究竟是否存在一个标准？根据维特根斯坦的看法，如果我们在证明的每一步都严格地遵守规则，那么，最终一定会在证明的结尾出现一个结果。所以，必定存在一种规则，只有遵守这种规则，证明的每一步才能进行，才能得到展现。但是，这种规则本身却并不像图像那样直接展现给我们，同时，它也不是隐藏在证明的所有步骤之后的东西。实际上，这种规则正是通过证明的每一步而得到展现的，而每一步又都只有遵守了规则才能正确地进行下去。在这种意义上，当一个证明被从证明图像(proof-picture)中抽取出来时，它就确定了一种新的标准。例如，200加200就带来了加法概念。这个加法步骤的确会产生400，但我们在这里是把这个结果看作正确地对这些数学进行加法运算的标准。所以，维特根斯坦提出，证明本身就创造了新的概念。
由此可见，维特根斯坦心目中的证明不只是数学的、逻辑的或其他任何形式的公式推导，更重要的是证明这种形式本身所揭示出的意义，或者说是证明的作用，即命题形式的转换和新概念的创造。
首先，维特根斯坦清除了人们通常对证明的错误认识，即认为证明过程是对某种证明之外的东西的显示，因而，证明本身只是一种手段，目的在于说明证明背后的某个东西。他指出，实际上并不存在这种隐藏于背后的东西，因为我们在证明中所看到的只是不同命题之间在形式上转换，即从求证命题中找到事先早已隐含在其中的东西，把它们清楚地表现出来，也就是说，把求证命题从一个位置换到另一个位置，这种形式的或位置的转换并不意味着产生了某种新的东西，而只是带来了他所说的“模式”。维特根斯坦写道：“人们会说，证明不只是表明它的确像是这个，而且表明它是怎样像这个的。它表明了13+14是怎样得到27的。‘一个证明必须能够被采纳’意味着：我们必须去准备把它用做我们做出判断的指导路线。”“证明必定是我们关于这些步骤如何得到一个结果的模式和图像，‘求证命题’表达了必定从证明图像中得出的东西。这个证明现在就是我们正确计算200个苹果加上200个苹果的模式；就是说，它定义了一种新的概念：‘把200个对象与200个对象放到一起的计算’。或者我们也可以说：‘未曾增减任何东西的新的标准’。这个证明确定了‘正确的加法计算’。这个证明是我们关于所产生的具体结果的模式，它是被用做真正转变的比较对象。”
这些论述表明，在维特根斯坦的心目中，证明不过是用某种图像或模式使我们确信某种东西，我们在证明中并不是想得到求证命题中所没有的东西，相反，我们只是通过证明而得知求证命题是如何得到某种结果的。同时，证明本身为我们提供的也并不是什么隐藏在它背后的东西，相反，它只是把原有的命题通过形式的转换而使我们更好地或更容易地理解或使用。因此，既不要把证明看作是对某种隐藏事物的揭示，也不要把它看作是为我们提供了新的东西。证明就是证明，它就像是一幅图画一样清晰地、毫无掩饰地层现在我们面前，在证明中看到的也只是命题形式的转换，即从求证命题到结果命题，命题从一个位置到另一位置。如果要追问这种形式的转换有什么意义，或者说，追问这种转换想要说明什么，那么，这个追问本身就是毫无意义的。因为我们在证明中看不到任何超出它本身的东西，如果存在这样的东西，那么就只能是对证明的想象而已。而对证明的想象显然不能作为证明的组成部分。
其次，在维特根斯坦看来，证明的作用在于提供新的概念，就是说，为求证命题提出一种新的证明方法。这里所谓的“新概念”不是指对求证命题的新认识或新观点，而只是说新的用法。譬如，在200+200=400的证明中，我们并不关心这个证明的结果400，而是关心它是如何得到这个结果的，由此我们就学会了加法的使用。因此，这个证明本身提供的只是加法的概念，而不是这个结果的由来。他写道：“当我说一个证明引进了一个新的概念时，我是指：这个证明在语言范式中提出了一种新的范式；就像是当某人混制了一种特别的红蓝色时，他多少就确定了这个特殊的混合色，并给它起了名字。但即使我们倾向于把一个证明称做这样一种新的范式——那么这个证明与这样的一个概念模式之间极其相似的东西是什么呢？人们可能会说：这个证明改变了我们语言的语法，改变了我们的概念。它带来了新的关联，创造了这些关联的概念。（它们的存在并不确定；在带来它们之前，它们并不存在。）”
可见，维特根斯坦是把证明理解为一种极为普通的东西，如同我们的日常活动。而无论是算术和几何学中的证明还是数学和逻辑学中的证明，它们都不过是向我们表明了某种概念或定义的使用方法。在这些证明中，维特根斯坦特别偏向几何学的证明，因为在他看来，其它的证明形式似乎都可以用几何学的证明加以说明。譬如，罗素使用的逻辑证明只有在具有几何学证明的说服力时才是有效的。而这种说服力则来自无条件的确定性，即几何图形的直观性。同样，真正的逻辑证明也具有特别的绝对的说服力，这来自于基本逻辑规则和一般推理规则的绝对确定性。但证明的这种逻辑确定性又绝没有超出几何学的确定性。因此，维特根斯坦指出，逻辑证明的说服力完全在于它的几何学上的说服力。
然而，维特根斯坦在逻辑证明与几何学证明之间的关系上，似乎存在着前后不一致的说法。他说，我们在接受一个证明时，并不需要把它看作是一个几何学的证明。他在那里是想表明，采纳一个证明就意味着能够从中得知如何根据某种规则而得到真的命题。而这种得知是与经验事实有关，是与我们正确使用这个证明的具体事实有关。因此，几何学的证明在这里并不比逻辑的证明具有更大的直观性和优先性。
其实，维特根斯坦这里的不一致并非像英国哲学家哈克和贝克认为的那样重要和严重。在哈克和贝克的著作《维特根斯坦：规则、语法和必然性》中曾指出，一个证明可以是由某种几何结构组成的，而像前提、结论和推理等这样的概念却不是能用于这些几何结构的。因此他们认为，几何学证明（如果存在的话）是与逻辑证明不同的、完全超验的证明形式。（注：C.P.Baker and P.M.S.Hacker,Wittgenstein:Rules,Grammerand Necessity.Oxford:Blackwell,1986,P.6.）然而实际上，他在这里只是从不同的角度讨论了逻辑证明与几何学证明的特点，强调它们与经验命题之间的不同，因此并没有在逻辑证明与几何学证明之间分个高低不同。
不过，在数学证明与经验证实之间的区分问题上，哈克与贝克倒是正确地阐明了维持根斯坦的观点。他们指出，数学证明与经验证实之间的对比，就如同在给出某人行动的理由与阐述这个行动的原因之间的不同一样。而一个理由与它所辩护的东西之间的关系则是内在的。所以，数学证明也正是确立了一种内在的关系，正如计算过程与计算结果之间的关系一样。（注：C.P.Baker and P.M.S.Hacker,Wittgenstein:Rules,Grammerand Necessity.Oxford:Blackwell,1986,P.17.）维特根斯坦这样写道：“‘证明必须能够被接受’实际上只是意味着：一个证明不是一个实验。我们不接受一个证明的结果，是因为它仅有一次这个结果，或者因为它常常是这个结果。但我们在证明中看到的是这种说法的理由：这必须是这个结果。所要证明的东西并不是说，这个关联带来了这个结果——而是说，我们被劝说把这些表象（图像）看作像是某个东西的模式。……当我们在证明中说：‘这必须产生’——那么，这并不是我们不理解的理由。使我们接受这个证明，并不是由于我们得到了这种结果，而是由于它在这个线索的终端。使我们确信的东西——那就是这个证明：没有使我们确信的结构并不是证明，即使它能够向我们表明阐述了求证命题。这意味着：为了向我们表明已经得证的东西，不一定必须对证明结构做一番物理的研究。”
从这些论述中可以看出，证明中的内存关系其实只是从求证命题转变为结论命题的逻辑确定性。而这种确定性的根据则在于公理的自明性。正如哈克和贝克所指出的：“算术或几何学中的证明似乎提供了一种解释，但最终，证明的结构则是基于公理，它们的真被看作是自明的，即我们凭借我们的直觉能力而感知到的东西；我们只能理解成，它们必然是真的。”（注：G.P.Baker and P.M.S.Hacker,wittgenstein:Rules,Grammer and Necessity.P.275.）
三、公理的自明
通常所说的公理的自明性，就是指公理具有比一般命题更大的确定性，或者说，作为公理的命题或证明应当是排除了一切不确定性的命题或证明。当我们说可以证明某个命题时，就意味着我们可以确立这个命题在数学中的确定性，这就像是在法庭上，我们用事实上的证据来证明某个判断的真实性一样。当然，数学证明与事实证据是完全不同的：法庭上的事实证据是用来识别真的或假的判断；而数学证明则是用来决定数学中的命题，确定某个数学概念，以便能够有意义地谈论各种数字关系。
从对证明的分析中得知，一个证明就表明了某个命题确切为真，而正是由于这种确切性，才能够使用它并使这种使用得到确认。这种证明看上去是无情的，把它所要证明的东西看作是绝对确定的。但这种无情的证明从何而来呢？又是什么迫使我们去这样做呢？根据维特根斯坦的看法，解释只有一个，那就是接受的是作为公理的证明，而公理本身当然是确定无疑的，自明的。
这里需要进一步说明的是，公理的这种自明性又是从何而来呢？人们通常会认为，这种自明性来自经验事实，我们通过观察而理解公理的自明性。然而维特根斯坦却认为，虽然经验在其中起到一定作用，但这里的经验并不是人们直接期望的那种经验。事实上，这个公理本身就是自明的，就是说用于表达这个公理的命题自明的，而至于这为什么会是自明的，完全无关紧要，只需要接受它就够了。而对我们来说，更重要则是，如何使用它。所以，维特根斯坦指出，这个命题就是描述了一个图像，而这个图像则是可以接受的。他写道：“我想说：当给定了（例如）表达平行公理的语词，这个命题所具有的这种用法以及它的意义就会被看作是完全未定的。而且当我们说这是自明的，这就意味着我们为尚未意识到的命题已经选择了一种确定的使用方法。如果我们并不把这个命题严格地用做这个目的，那么这个命题就不是数学公理。”
维特根斯坦总是把公理的自明性看作是无须解释的，无论是用逻辑的还是用经验的方法。我们只能接受自明的公理，但无法用任何方法解释它为什么是自明的。但这样不就陷入了神秘之中了吗？因为，既然无法解释，就只能依靠直觉和想象来理解公理的自明性。他明确写道：“是经验告诉我们两点成一线吗？或是两个不同的颜色不能在同一个地方？可以说：是想象告诉我们这个的。这里有着真理的萌芽；人们必须把它理解为正确的。在命题之前，概念仍然是可以变通的。但经验并没有决定我们却抛弃公理？！是的。不过这在经验命题中并不起作用。”
例如，为什么牛顿定律被看作是数学公理，就是因为我们可以很容易地想象出另外的情形。当然，这只是在与其他命题做对照时赋予某个命题的某种作用，譬如说“这可以被想象出另外的情形”或“我们也可以想象出相反的情形”等命题，就赋予了一种经验命题的作用。因此，被看作不可能想象成不真的命题，是与那些被看作可以不真的命题有着不同的作用。在这里，所谓的“不可能想象成不真的命题”，显然就是公理，而“不可能想象成不真”就意味着不存在任何的不确定性。
可见，维特根斯坦所谓的公理自明性，其实是人们对公理无条件地认同和接受，而人们之所以这样做，靠的是人们对公理的直觉。当然，这种直觉并不是从天而降的，而是人们对公理的约定，这种约定是在人们使用公理之前就业已存在的。在这个问题上，他更像是一个约定主义者，而不是达米特所认为的建构主义者。达米特在他的《维特根斯坦的数学哲学》中认为，维特根斯坦接受了一种极端的建构主义看法，即把可以断定为一个证明的结论看作是数学陈述的本质，相反，他又指出，对于一个柏拉图主义者来说，能够直接地而不是通过推论去理解数学真理，这并不完全是荒谬的。尽管达米特最终仍然是把维特根斯坦的思想看作一种彻头彻尾的约定主义，但他相信，这种约定主义不同于通常意义上的约定主义，因为它更强调语言约定的逻辑必然性。（注：参见M.Dummett:Wittgenstein's Philosophy of Mathematics,in Philosophy of Mathematics,edited and with introduction by P.Benacerraf and H.Putnam,Prentice-Hall,Inc,1964,p.498.p.493～494.p.495）
然而，在维特根斯坦那里，所谓的语言约定并不存在什么逻辑的必然性。如果说真有这样的必然性的话，那么，它只能是指约定的不同变性，这就是说，我们只能接受约定，但不能改变约定，因为约定对我们来说是在先的，是我们在使用语言之前早已存在的，这种观点显然不同于达米特解释的看法。在这里，遵守或违反约定都不是公理自身的规定，也不是根据逻辑关系的推理结果，而只是我们的一种习惯性反应，是我们理解或使用约定的结果。所以，维特根斯坦说：“数学公理的作用是这样：如果经验迫使我们放弃一个公理，那么这并不会使它的反面成为一个公理。‘2×2=5’并不意味着：‘2×2≠5’不起作用。所以说，人们会用一种特殊的断定记号开始一个公理。某个东西成为公理，不是因为我们把它当作最有可能的并且是最确定的的东西加以接受，而是因为我们赋予了它一种特殊的作用，这是一种与经验命题相冲突的作用。我们赋予公理一种不同于经验命题的认可。而我这样做并不意味着，‘认可的心理行为’是不同的。我愿意说，一个公理是言语的一个不同部分。”
维特根斯坦反复强调，当我们听到某人说某个数学公理是可能的时候，我们就会立刻断定，这个人知道这里所说的“是可能的”是什么意思；因为这个句子形式对他来说一定是很熟悉的。因此，我们对公理自明性的认识，是基于我们对自己所使用的命题形式的认可，当然也是对我们日常使用的命题意义的认同。譬如，我们不会在某个具体情形中自问道“‘某某东西不存在’这种命题形式的意义究竟是什么”？因为假如我们真的提出了这种的问题，我们就会举出一些不存在的东西来解释什么叫做“不存在”，但我们不会对“存在”或“不存在”的这些语词做出某种逻辑的分析。
可见，维特根斯坦这里所理解的公理的自明性并不是数学家和逻辑学家谈论的自明性，而是根据对“自明性”概念的日常理解。所以我们看到，在他所有冠以“数学”或“逻辑”研究的讲座、笔记以及嗣后出版的著作中，很难找到他真正从数学或逻辑本身的角度探讨问题，譬如给出一个公式或用某种命题论证去说明某个问题等等。这也正是一些研究者认为维特根斯坦可能不谙数学的主要原因。但这恰好表明了维特根斯坦思想从前期的逻辑研究向日常语言研究的转变：在他这时看来，逻辑和数学研究并不像他以前认为的那样具有基础性的和根本性的作用，因为从日常语言的角度看，它们不过是我们使用的所有语言中的一种，与其它的语言具有同等的地位。而这种同等地位突出地表现在，它们都必须遵守规则。
从维特根斯坦对逻辑推理和数学演算的论述中，我们可以深切地感受到他后期思想的精神，这就是注重日常语言的使用和人们通常持有的常识概念，强调以日常感觉评判一切理论的或形式的认识结构。他以日常语言的使用和常识的概念为基础对逻辑和数学展开的批判，充分显示了维特根斯坦在数学和逻辑领域的娴熟分析能力和对这些领域中重要问题的深刻认识。
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