高三复习课中的“游戏概念”--以“距离”概念为例_数学论文

刍议在高三复习课上“玩概念”——以“距离”概念为例，本文主要内容关键词为：概念论文,刍议论文,为例论文,课上论文,距离论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      自从《数学通报》2009年第8期上发表李邦河院士的《数的概念的发展》以来，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”就成为数学教育名言，在中学数学教师群体中广泛流传.本文以“距离”概念为例，谈谈笔者对“玩概念”的理解和认识.

      “在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系，我们称这些概念为核心概念”[1].章建跃先生指出，“中学数学核心概念往往具有鲜明的直观背景，简单、易懂且威力无穷，是开启中学数学大门的金钥匙”[2].“距离”是几何学、分析学中的重要概念，自然也是高中数学的核心概念，这是笔者选取“距离”概念进行教学研究的主要原因.

      在目前关于概念教学的主流论述中，大多着力于数学概念的“发生”过程，比如“数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握‘书本知识’，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力”[3].而教学实践告诉我们，整体的知识框架、数学思想方法等内容在新课学习过程中往往难以体会，需要在复习课上加以升华，复习课能挖掘数学概念的深层次内涵，从更高的层面来寻求认识过程的深化，这也是笔者探索在高三复习课上“玩概念”的初衷.

      既然知识的有机联系是围绕核心概念组织的，那么在高三复习中只要抓住了核心概念，将散落于各处的知识点重新整合，就容易实现对高中数学基本结构的掌握，从而实现对数学知识深层次和本质意义上的理解.下面就谈谈如何在高三复习课上“玩”“距离”这个概念，包括静态理解和动态赏析两个方面，无论是哪个方面，教学重心都应落在“理解数学”上.

      一、静态理解数学概念

      所谓静态理解数学概念，指的是：分析概念的定义形式、认识概念的本质、掌握概念的内涵与外延.内涵是概念性质的总称，外延是概念反映对象的全体构成的集合.通俗地说，认识数学概念就是让学生理解数学概念表述的是什么东西，这些东西有什么共性特征.

      学生在中学阶段学习了各种“距离”概念，平面几何中有“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，立体几何中有“点面距离”、“线面距离”、“面面距离”、“异面直线间的距离”等等.各种“距离”概念字面定义都是特殊情况下的两点距离，比如“点面距离”是点到平面的垂线段的长度.教师只有通过分析比较才能揭示概念的本质，这些距离概念的内涵就是“两点距离的最小值”，一般而言，两个点集之间的距离可以归结为这两个点集的元素之间距离的最小值.

      历年高考题是高三复习教学的风向标，备受一线教师的关注，而近几年的高考题中体现“距离”概念内涵的问题屡见不鲜，为我们在高三复习中深入理解“距离”概念提供了丰富的素材.比如2011年高考上海卷理科第23题定义了“点到线段的距离”：已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）.2012年高考浙江卷理科第16题定义了“曲线到直线的距离”：曲线C上的点到直线Z的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.

      从概念外延角度看，球面距离和有向距离是“距离”概念常见的两个外延概念.此前提及的距离的本质都是两点之间的直线段长度，而球面距离则是球面上两点沿着球面上的任意路径中的曲线长度的最小值，前者对应着欧氏几何，后者对应着球面几何.有向距离通常用来判断两个点是否位于直线的同侧，比如点（x，y）到直线ax+by+c=0的有向距离为

有向距离概念还可以与线性规划联系起来，从而也是命题的良好素材，比如：

      

      （1）不论δ为何值，点N都不在直线l上；

      （2）若δ=1，则过M、N的直线与直线l平行；

      （3）若δ=-1，则直线l经过MN的中点；

      （4）若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交.

      解 对于（1），若点N在直线l：ax+by+c=0上，则

，δ不存在，故（1）正确；

      

      

      故选（1）（2）（3）（4）.

      分析“距离”概念的内涵和外延，可以将解析几何、立体几何、线性规划等知识模块有机联系起来，尤其在高三复习课上可以实现知识的前后贯通，帮助学生建立完整的概念网络.

      二、动态赏析数学概念

      所谓动态赏析数学概念，指的是：通过比较、变化等联系性活动，动态地揭示其内涵和外延.因为随着数学知识的发展，数学概念的内涵和外延都是变化的.比如在函数的发展史中，函数的概念经历了流量说、变量说、映射说等，说明数学概念处于不断地运动发展状态.

      数学概念的内涵和外延的变化发展或者新概念的产生，很多时候是由于“统一表述”的需要.例如，在数的概念中，“负数”的产生主要是因为统一“加减法”的需要，有了负数，数的加、减运算可以统一为加法运算.在负数被广泛接受之前，为了使方程“符合常理”，人们刻意把系数调整成正数，以至于在求解方程时，需要对等式两边的项数进行繁冗的分类讨论.随着负数得到认可，二、三次方程的求根公式变得简洁明了，人们也得以从“解方程比赛”的泥潭中抽身，转而关注更为本质的方程根式解问题，最终催生了对现代数学产生巨大影响的群论.

      同样地，“距离”概念的变化发展，也是统一各种外延形式、不断抽象提炼的过程.比如，直角坐标其实就是点到两个坐标轴的有向距离，有了正负符号，更便于数学对象的表述和运算，解析几何方法的巨大“威力”才能显示出来.解析法的引入，使人们能够将经典平面几何的结论进行批量化的推广，而无需再顾忌线段的方向、角的顺逆等等细节问题.随着微积分和抽象代数的蓬勃发展，解析法逐步升级为黎曼几何与古典代数几何的内核.这一伟大的思想，最终演化为现代数学的基本思维方法之一，贯穿于分析、代数、几何三大数学分支之中.

      在教学中赏析“距离”概念，可以考虑抽象各种“距离”概念的共性特征，衍生出统一的“距离”定义[4]：

      设X是一个非空集，X叫做距离空间，是指在X上定义了一个双变量的实值函数ρ（x，y），满足下列三个条件：

      ρ（x，y）≥0，而且ρ（x，y）=0，当且仅当x=y；

      ρ（x，y）=ρ（y，x）；

      ρ（x，z）≤ρ（x，y）+ρ（y，z）（

x，y，z∈X）.

      这里ρ叫做X上的一个距离，以ρ为距离的距离空间X记做（X，ρ）.

      近些年来，符合上述统一的“距离”定义的“曼哈顿距离”受到了中学数学教育界的广泛关注，以此为背景的高考题也如雨后春笋般出现了.

      例2 （2006年高考福建卷理科第12题）对于直角坐标平面内的任意两点

      

      1.若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

      

      3.在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖.其中真命题的个数为（

       ）.

      （A）0 （B）1 （C）2 （D）3

      

      （1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明：ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；

      （2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）；②ρ（A，C）=ρ（C，B）.

      若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

      例2是“曼哈顿距离”首次进入高考，例3是高考压轴题首次以“曼哈顿距离”为背景，这两例的解答在众多资料中都可以寻到，本文不再赘述.各地的高考题、模拟题中有关“曼哈顿距离”的问题层出不穷，最近的高考题中就有2014年高考福建卷文科第12题（以此距离概念为背景考查轨迹问题）.对于高中生而言，“曼哈顿距离”将解析几何与绝对值性质、不等式证明等知识联系起来，符合他们的认知基础，同时考查了基本知识的综合运用能力，帮助学生从整体的角度更好地理解高中数学的相关内容.这类问题背景新颖，源于课本，又高于课本，在人才选拔方面有较好的区分功能，所以备受各地命题人的青睐.

      就问题本身而言，“曼哈顿距离”还有延拓的空间：从维数上来说，我们可以构造三维的“曼哈顿距离”：

，从而建立立体几何与解析几何的联系；从次数上来说，“曼哈顿距离”与欧氏距离一样，是“闵可夫斯基距离”的特例，我们同样可以构造出

等各种距离……在高三复习课上，整合以此类“距离”概念为背景的问题进行专题讲解，可以有效锻炼学生的数形结合能力、阅读理解和即时学习能力，同时还可以帮助学生升华对“距离”概念的理解和认识.

      笔者将“曼哈顿距离”遍地开花的这种现象，看作是中学数学教育界的广大同仁在赏析“距离”概念方面所做的有益尝试和不懈探索.

      三、“玩概念”重在理解数学

      静态理解是“玩概念”的起点，动态赏析是“玩概念”的落点，两者都基于教师对数学概念的理解，因此在数学教学中“玩概念”，重心应落在理解数学上.教师除了要有深厚的数学功底，还应熟悉高中数学教学的各个环节，包括善于研究高考试题，善于选择和整理丰富的教学素材.理解数学是教师的基本素质，教师只有了解数学概念的本质，知道如何赏玩数学概念，才能在教学实践中引导学生实现对概念的通透理解.

      当然，如何在教学实践中“玩概念”，目前还没有形成统一的认识，应该还处于“仁者见仁，智者见智”的阶段.章建跃先生在这方面做出了很好的示范，他总结了在数学教学中“玩概念”的含义，“一是定义概念（理清数学对象的要素，明确本质），二是利用概念研究数学规律，就是研究各种各样的关系，包括：数学对象要素之间的关系，概念之间的关系等等”.这实际上是从逻辑演绎的视角，着重阐述概念如何生成和如何发展.而本文从归纳的视角，着眼于高三复习中概念网络的构建.笔者以为高中数学中有一些概念值得在高三复习课上“赏玩”，比如“角”“极限”等概念都可以同“距离”概念一样进行类似地归纳和分析.

      如何在高三复习课教学中“玩概念”，也许是值得探索的教学新课题，本文旨在抛砖引玉，希望能有更多的同仁加入到概念教学讨论的行列.

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