紧扣大纲 落实课标 特色鲜明 导向积极——2007年高考数学全国卷及课程标准卷分析与思考，本文主要内容关键词为：大纲论文,课程标准论文,导向论文,鲜明论文,课标论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2007年高考除了山东、广东、海南和宁夏的考生按新课标教材参加考试以外，其他省、市、自治区的考生仍按大纲教材参加考试。山东、广东、海南和宁夏四省考生所用的试卷，我们简称为课程标准卷，其余省份所用试卷，我们简称为大纲卷。无论是大纲卷还是课程标准卷，都以能力立意作为命题的指导思想，遵循了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，较好地突出了数学学科的特点。既考查基础知识和基本技能的全面落实，又考查重点内容的理解和掌握；既考查数学思想方法的提炼和应用，又考查理性思维水平的发展和提升；既考查学生的应用意识和实践能力，又考查学生的创新意识和发展潜能。两个版本的试题既有共同特点，又有个性差异，对中学数学教学具有良好、积极的导向作用。在这里，我们仅对课程标准卷及大纲版的全国卷加以探讨。
一、特点分析
1.共同特点
(1)考查双基与突出重点相结合
大纲版《考试大纲》和课标版《考试大纲》都明确指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。2007年大纲卷和课程标准卷都较好地遵循了大纲版考试大纲或课标版考试大纲的上述命题要求。一方面，对高中数学教材各章所涉及的概念、性质、公式、法则、定理的应用都作了较为全面的考查；另一方面，在不刻意追求知识覆盖面的前提下，突出了重点内容的考查。
例如，全国甲卷理科试题中第(16)题主要考查等差数列的前n项和的公式的应用，考查数列的极限；第(21)题主要考查等比数列的定义、通项公式以及由数列
派生出来的新数列的单调性问题；第(20)题涉及了等比中项的概念。这些既是数列的基础知识，又是数列的重点内容。数列正文部分在大纲版高中数学教学中只占10课时（不包括研究性学习与复习小结），但在全国甲卷理科中命制了两道半试题考查数列，足见试题对重点内容考查的力度。
又如全国乙卷理科试题中第(4)题考查了双曲线的标准方程和性质；第(6)题考查了直线方程和平面区域；第(11)题考查了抛物线的定义、标准方程和性质；第(21)题考查了椭圆的标准方程和性质、弦长公式以及四边形的面积。通过这四道试题，较为全面地考查了圆锥曲线部分的基础知识、基本技能和重点内容。
再如，三角函数、三角恒等变换、解三角形是新课标必修课程数学4和数学5中的内容，它是继指数函数、对数函数、幂函数之后学习的又一类重要的基本初等函数。正因为它的重要性，2007年海、宁卷理科第(3)题考查了三角函数的图象变换；第(9)题考查了三角函数的化简和求值；第(17)题通过三角形中的三角函数考查了解斜三角形的应用。
所有这些，充分体现了2007年高考数学试题注重双基。突出重点的特点。
(2)考查学科特点与提高数学能力相结合
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。高度的抽象性、思维的灵活性和应用的广泛性是数学科的基本特点。
关于能力，2007年大纲版《考试大纲》中所要求的能力包括：思维能力，运算能力，空间想象能力，实践能力和创新意识。考查时以思维能力是核心，全面考查各种能力。而课标版《考试大纲》提出的能力分基本能力和较高能力两个层次。其中基本能力为：空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，应用意识和创新意识。高考中对双基和能力，特别是对理性思维能力的考查正是体现了数学的学科特点，反映在试题中，则表现为概念性强，思辨味浓，量化突出，解法多样，应用广泛。
故选A。
此题着重考查了三角函数的单调性、二次函数的性质、复合函数的单调性、二倍角的余弦公式、三角函数的求值等众多知识。尽管是一个选择题，但涉及的概念十分丰富，充分体现了数学学科概念性强的特点。
例2 （海、宁卷理科(5)）如果执行下面的程序框图，那么输出的S=( )。
(A)2450
(B)2500
(C)2550
(D)2652
此题是算法中程序框图的执行问题，给出的流程是“当型”循环结构。累加变量初始值S=0，当计数变量k=1时，k≤50成立。
此时S=S+2k=0+2×1=2×1：
由赋值语句k=k+1，得k=2≤50成立。
此时S=S+2k=2×1+2×2=2(1+2)；
再由赋值语句k=k+1，得k=3≤50成立。
此时S=S+2k=2(1+2)+2×3=2(1+2+3)
当k=49时，由赋值语句k=k+1，得k=50≤50成立，
此时，S=S+2k=2(1+2+3+…+50)=2·
=2550。
当k=50时，由k=k+1=50+1=51，知k≤50不成立。
此时，应输出S，并且S=2550。
从上述分析可以看到，当k≤50这一判断得到肯定后，反复执行赋值语句k=k+1，同时，获得累加变量S=S+2k。诚然，这一循环过程由计算机操作是“傻瓜化”的，但由学生根据流程图读出累加变量S的输出结果，却充满了思辨性。
(3)强化数学思想与坚持通性通法相结合
数学思想方法蕴涵在数学基础知识之中，它与数学知识的形成同步发展。它是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学知识的精髓，是数学思维的内核，是知识转化为能力的催化剂。随着数学教学改革的不断深入，中学数学界对数学思想方法的认识也在与时俱进。目前已达成共识的数学思想有：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想。数学基本方法有：待定系数法，配方法，换元法，割补法，放缩法，反证法等，它们是数学的通法（一般方法）的主体；数学逻辑思维方法有：分析与综合，归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等，它们是数学学习中理解、思考、分析与解决问题的常用方法。近年来，高考数学十分重视对数学思想方法的考查，倡导坚持通性通法，淡化特殊技巧。
例3 （山东卷文科(21)）设函数
，其中ab≠0。
证明：当ab＞0时，函数f(x)没有极值点；
当ab＜0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值。
函数f(x)的极值点由方程f(x)=0的根以及根的两侧附近f'(x)的符号来确定的。
显然，f(x)的定义域为（0，+∞），
。
当ab＞0时，应分两种情况讨论：
①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0。
易知，不论a＞0，b＞0，还是a＞0，b＜0，f(x)在（0，+∞）上都是单调函数。
所以当ab＞0时，函数f(x)没有极值点。
当ab＜0时，也应分两种情况讨论：
①a＞0，b＜0，②a＜0，b＞0。
根据方程f'(x)=0的根及其根的附近f'(x)的符号，易得
作为解题的完整过程，最后应将上述分类讨论的结果作相应的整合。
不难看出，存ab≠0的条件下，a，b的符号有四种不同情况。因此，恰当地进行分类讨论，是全面解答这类问题的必由之路，也是通性通法的根本所在。此外，撇开考查的具体知识，从思想方法的角度看，本题考查分类与整合思想的意图十分明显。显然，此题的设计在强化数学思想与坚持通性通法相结合方面实现了完美的统一。
例4 （大纲版全国甲卷理科试题(6)）
不等式
的解集是( )。
(A)(-2，1)
(B)（2，+∞）
(C)(-2，1)∪（2，+∞）
(D)(-∞，-2)∪（1，+∞）
此题按常规解法，应建立两个不等式组
然后分别解这两个不等式组，再取它们解集的并集即可。或者把原不等式化成整式不等式，再用序轴标根法求解。然而，上述两法都需要通过一定的计算才能做出判断。若能注意到四个选项的结构特征，只需取特殊值x=0，3，即可依次否定B、D、A，从而选C。
从解答选择题的角度看。本题既可以利用通性通法，将原不等式化成两个不等式组来求解，也可以提炼问题本身蕴涵着的特殊与一般的思想，利用特殊值否定法来解决。显然，这一试题的设计，一方面体现了解法多样性的特点；另一方面，体现了对特殊与一般思想的着意考查。
(4)注重知识交汇与发展思维水平相结合
2007年数学科大纲版《考试大纲》和课标版《考试大纲》都强调，要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。随着新课程改革的不断深入，知识网络的交汇点正在不断丰富，函数、导数、方程与不等式，平面向量与三角函数，平面向量与解析几何等新的知识网络交汇点都已经成了高考命题的新视角。2007年大纲卷和课程标准卷既注意了章内知识的纵向发展，又注意了不同章节知识之间的相互交汇。通过这类综合问题的求解，发展学生的思维水平。
显然，第（Ⅱ）问是解析几何与平面向量、数列、不等式的交汇问题。这是一个新的命题视角，具有一定的综合性。求解这类问题，需要综合运用解析几何、平面向量、数列、不等式的有关知识，并能融会贯通，而这需要有较高的思维水平作支撑。
此题是函数与导数、方程、不等式的交汇问题。对于问题(I)，只需考虑f(x)的导函数f'(x)，并在定义域内考虑导函数f'(x)的符号，即可判断函数 f(x)的单调性。
函数与导数、方程、不等式的综合问题是一类新的知识网络交汇问题，利用导数并通过解不等式 f'(x)＞0以及f'(x)＜0，求出函数f(x)的单调区间，进而判断函数的单调性，是解决这类问题的整体策略。闭区间上连续函数的最大值和最小值问题的求解，既要关注极值点的判断，又要关注极值点和区间两端点处函数值的求解与大小的比较，具有较高的思维价值。2007年大纲卷和课程标准卷都以解答题的形式对这类问题作了考查，较好地体现了注重知识网络交汇与发展思维水平相结合的命题特点。
(5)关注建模与落实应用相结合
2007年数学科大纲版《考试大纲》和课标版《考试大纲》都明确要求学生能将实际问题抽象为数学问题，能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。根据这一要求，2007年大纲卷和课程标准卷都很好地考查了数学应用问题。以理科为例，大纲版全国甲卷试题第(11)题、乙卷第(13)题、课程标准卷海、宁卷第(16)题都考查了两个计数原理；全国甲卷试题第(14)题、(18)题、乙卷第(18)题、课程标准卷海、宁卷第(11)题、(20)题、山东卷第(8)题、(12)题、(18)题、广东卷第(6)题、(9)题、(17)题都考查了概率与统计；山东卷第(20)题考查了解斜三角形的应用；广东卷第(4)题考查了函数的应用；广东卷第 (7)题号查了创新性应用问题。五份试题共考查了17道应用题，其中解答题有7道。考查概率与统计的有11道，涉及的数学模型有5种之多，充分体现了高考对数学应用问题考查的力度。
从上面的统计可看出，概率与统计模型仍是应用问题的主旋律。下面举一例予以说明。
例7 （海、宁卷理科(11)）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次。三人的测试成绩如下表
此题是概率统计应用问题，着重考查了离散型随机变量的分布列、期望、方差和标准差。虽然难度不大，但却充满了概率统计的思想。这里，容易求得甲、乙、丙三名运动员射中环数的期望均为8.5，此时仅由期望是不易比较他们成绩的稳定与波动、集中与离散的程度的，而只有进一步计算方差或标准差，才能为我们提供有力的比较依据，体现了对数据处理能力的较高要求。标准差在高考中首次出现，这是对概率与统计考查的力度逐步加大的具体体现，它是由新课程提高了对统计思想的要求所决定的。
(6)适度创新与开发潜能相结合
2007年数学科大纲版《考试大纲》和课标版《考试大纲》中对创新意识作了明确的说明：创新意识是理性思维的高层次表现。对创新意识的考查，是对高层次理性思维的考查。高考试题应创设比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样性，体现思维的发散性。求解时要求学生对试题中新颖的信息、情境和设问，能选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题，以此开发学生的潜能。
2007年的数学高考中，命制了不少新颖的试题，下面举两例予以说明。
例8 （广东卷理科(7)）下图是某汽车维修公司的维修点环形分布图。公司在年初分配给A，B， C，D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批分别调整为40， 45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点到相邻维修点的调动件次为n）为(
)。
(A)15
(B)16
(C)17
(D)18
例8图
问题的求解需要学生自己设计相邻维修点之间调整配件的方案。
显然，应从维修点A调出10件给维修点D（调动了10件次），从维修点B调出5件给维修点C（调动了5件次），此时维修点A有配件40件，维修点B有配件45件，维修点C有配件55件，维修点D有配件60件。由此知，只要再从维修点C调出1件给维修点D（调动了1件次），即完成了配件调整的整个工作。这种方案下调动件次为16。
下面说明16是调动的最少件次：
从公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点配件数及调整后需要保留的件数看，维修点A要调出 10件（调动了10件次），B要调出5件（调动了5件次）。但由于调整只能在相邻维修点之间进行，因此，仅仅通过上述15次调动，维修点D是无法得到 61件配件的。由此知，调动件次必大于15。因此最少的调动件次为16。故选B。
此题设计情境新颖，求解时没有现成的公式、法则可以直接套用，需要学生根据试题提供的信息，自己设计解决问题的思路，创造性地解决问题，充满了思辨性。显然，这类试题的求解。对于开发学生的潜能是十分有益的。
例9 （海、宁卷理科(20)）如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为
。假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。
（Ⅰ）求X的均值EX；
（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03，0.03)内的概率。
此题是以概率为模型的应用问题，着重考查二项分布、独立重复试验的概率计算，考查思维能力和实践能力。试题设计跳出了概率问题的固有模式，具有较浓的创新味。附表的给出，很好地体现了高考中“多考想，少考算”的命题要求。
2.个性差异
由于课标教材与大纲教材内容及要求上的差异，加上课程标准与教学大纲在教学理念上的不同，2007年大纲卷和课程标准卷存在着必然的差异。
(1)应用问题上的差异
以理科为例，从内容上说，全国甲卷和乙卷涉及的内容都是两个计数原理以及概率与统计。而课程标准卷涉及的内容除了两个计数原理以及概率与统计以外，还涉及函数的应用（广东卷第(4)题）和解斜三角形的应用（海宁卷第(17)题、山东卷第 (20)题）。从题量上说，全国甲卷考查了3道应用题（1大1小），乙卷考查了2道应用题（1大1小）。海、宁卷考查了4道应用题（2大2小），广东卷考查了4道应用题（1大4小），山东卷考查了4道应用题（2大2小），并且海宁卷和山东卷都以解答题的形式考查了解斜三角形的应用。以上分析看出，课程标准卷比大纲卷更注意数学应用意识和实践能力的考查。
(2)创新问题上的差异
尽管2007年数学科大纲版《考试大纲》和课标版《考试大纲》中对创新意识的考查都有着明确的要求，指出要精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题，但是，从具体的试题来看，大纲卷和课程标准卷的差异是明显的。海、宁卷第(20)题，以正方形中一个不规则图形面积的估计为切入点，设计了一个不落俗套的概率与统计应用问题，无论是试题的情境还是设问，都给人以耳目一新的感觉。但新而不难，无疑是概率与统计创新试题的一个亮点。第(19)题属于“是否存在型”问题，具有浓郁的探究味。广东卷中设计了4道创新试题。除了第(7)题“相邻维修点之间调整配件方案的设计”清新亮丽以外，第(4)题从数和形的结合上考查了函数的应用，第(8)题围绕自主定义的一个二元运算“*”，判断不恒成立的等式问题，第(18)题第（Ⅱ）问中的“是否存在型”问题，也都十分新颖。山东卷第(12)题关于质点移动的概率问题，也具有一定的创新性。相比之下，大纲卷创新味略显逊色。
(3)独有特色
由于某些知识内容是课标教材中所独有的，这就决定了课程标准卷应命制一些与这些内容相匹配的个性化试题。例如海宁卷第(5)题、广东卷第(6)题、山东卷第(10)题，都考查了算法中的程序框图问题；海宁卷第(8)题、山东卷第(3)题，都考查了三视图。又如，海宁卷第(22)题从A，B，C中“三选一”，广东卷从第(13)、(14)、(15)题中“三选二”，其中三题的内容分别为选修4～1中的几何证明选讲，选修4～4中的坐标系与参数方程，选修4～5中的不等式选讲。
二、几点思考
1.研究大纲，瞄准方向
随着2007年高考的结束，新一轮高考复习即将开始。为使复习落到实处，应当明确高考对知识、能力、个性品质的考查要求，只有这样，才能瞄准复习方向，使高考复习更加具有针对性。
2.研究试题，把握脉搏
应当认真研究高考试题，分析试题特点和发展趋势，只有这样，才能把握高考命题的脉搏，使高考复习更加具有实效性。例如，随着大纲教材的普遍使用以及课标教材的逐步实施，统计思想的地位将逐步提高。2007年大纲版全国理科甲卷试题第(14)题正态分布的考查、海宁卷理科第(11)题标准差的考查、广东卷理科第(17)题最小二乘法以及线性回归方程的考查，显示了概率与统计考查的深度和广度在加大。复习时应注意这一变化趋势。
3.关注特点，全面提升
应当关注数学学科的特点，善于从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，既要注意全面落实双基，又要注意突出重点内容：既要注意章内知识的纵向延拓，又要注意各章之间的交汇融合；既要注意数学思想方法的应用，又要注意理性思维的发展：既要注意知识呈现的背景，又要注意揭示概念的本质特征；既要注意定性分析，又要重视定量研究；既要注意解法的多样性，又要注意解法的普适性；既要注意应用的广泛性，又要注意背景的公平性；既要注意创新意识的培养，又要注意潜在能力的开发。
4.关注课改，适应过渡
新一轮课程改革正在逐步深入，最近两年是大纲教材向课标教材的过渡阶段。因此，使用大纲教材复习时，应适当关注新课程的理念，使高考复习适应过渡阶段的考试要求。