高中数学高才生与普通生的数学认知结构差异比较、析因与教学建议，本文主要内容关键词为：高才论文,认知论文,高中数学论文,差异论文,生与论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学认知结构是指学生在数学学习中对数学概念的网络化联系、数学命题之间的关系、数学技能的操作系统以及数学思想、方法加以个人组织和构建的头脑中的数学知识结构.许多重点中学的数学教师会遇到同样的问题：同样勤奋，同样拥有升入重点大学迫切愿望的高中生，为什么数学学习成绩截然不同呢？原因肯定是多方面的，由一般教育研究的结论[1]，我们能推论到数学认知结构的差异应是导致学生数学认知成绩不同的一个重要原因.而从文献来看，关于高中阶段数学高才生与普通生认知结构差异的研究还较为薄弱，笔者力图对此做些初步探讨工作.我们希望通过对高才生与普通生认知结构的比较研究，揭示二者在数学学习活动中认知过程的差别，从而帮助我们寻找教学途径，达到促进学生深刻理解数学知识、培养学生能力、提高数学学习效率的目的.
一、研究方法
1.样本的选取
如何选取样本，与如何认识数学高才生与普通生息息相关.有学者认为，数学考试成绩最优秀的5％的学生是数学优秀生；有学者认为，在数学奥林匹克竞赛中能得奖的学生是数学优秀生；有学者认为，那些不必花费太多的时间和精力，就能得到较好数学成绩的学生是数学优秀生；有学者认为，智商高且数学成绩好的学生是数学优秀生.[2]美国全美数学教师协会（NCTM）对数学高才生界定为：对数学有兴趣，能主动地进行数学学习，且数学学习速度在相对较快水平的学生.[3]Maker（1982）指出了数学高才生是指那些数学学习进度快、深度掌握数学概念、对所学的数学课程有着浓厚的兴趣的学生.[4] Johnson提出数学高才生具有浓厚的数学学习兴趣、数学学习速度快、对所学的数学知识深刻理解、能用独特的方法解决数学问题、具有寻求最佳方法解决数学问题的能力、不需要督促，能主动、独立地思考数学问题.[5]这些认识，有的侧重数学学习结果，有的侧重数学学习过程，有的兼而有之，我们更赞同兼而有之的全面性认识.我们认为，界定数学高才生既应排除那些不具备内在数学学习动力、学习效率不高、但靠“模仿记忆”和“搞题海战术”也能获得较好数学认知成绩的学生，又应排除那些天赋不错，但缺乏学习毅力、数学学习成绩不能维持在稳定状态的学生.基于此，我们将数学高才生界定为数学学习兴趣浓厚、数学认知成绩好并维持在稳定状态，而且数学学习效率高（从过程看，能够向时间要数学学习效益；从结果看，能从数学认知学习要教育效益）的学生.普通生是指那些数学学习兴趣与数学认知成绩一般，数学学习效率不高的学生.
天津一中是天津市五所市直属重点中学之一，连续三年高考成绩居全市第一，同时一批学生在各级各类学科竞赛中取得了优异的成绩.益中学校是依托于天津一中的一所民办公助学校，学生高中入学成绩相当于区属重点中学水平.本课题对就读于天津一中高三年级八个班的412名学生以及益中学校高三年级五个班的 243名学生自高一以来历次统一测试中的数学成绩以及平时的数学学习过程进行分析，从天津一中挑选出历次数学成绩名列前40名，并被数学教师普遍认为数学学习兴趣浓厚、学习效率高的10名学生，从益中学校挑选出历次数学成绩均在100～150名范围内、数学学习兴趣一般，但数学学习较为勤奋的10名学生分别作为高才生与普通生的样本.
2.研究方法
我们采用了观察、问卷调查、访谈的方法对所选的样本进行个案分析，特别对高才生与普通生的“两角和与差的三角公式”的认知学习进行了详细比较研究，试图以此推测数学高才生与普通生的数学认知结构的差异.
二、研究结论
1.高才生认知结构的内容具有丰富性，普通生认知结构的内容是贫乏的
普通生认知结构中的数学知识数量并不少，但不意味着其中的内容是丰富的.普通生在同一数学知识的不同表征形式与不同数学知识之间的相通认识方面存在着一定的贫乏性.调查表明，与普通生相比，高才生在关于“两角和与差的三角公式”的认知学习中提及了更多的相关公式（其中一些是教材中没有的）、解题策略以及相关知识.其他章节内容的掌握同样如此，高才生通过回忆能够唤起大量的相关内容，体现在：能够给出数学知识的不同表征，具有对数学知识与问题进行变式与变形的能力；能够洞察相关数学知识之间本质的联系；建立了大量的问题解决模式及其解题思路与解题方法，并熟知其应用的条件；在学习活动中积累起来大量书本以外的重要结论；对解题时需特别注意的环节了如指掌；拥有对解题过程起支配作用的解题策略.而普通生认知结构中的内容相对较少，其特征表现为：习惯于只是记住所学数学知识的内容，不具有深究所学数学知识的意义的意识；习惯于识记数学知识的常规表征形式，对数学知识的非常规表征形式，识别能力较差；仅仅记住了一些题目的解题模式及解题思路，但对其应用的条件系统重视不够；对书本以外的一些重要结论的学习缺少敏感度；缺乏对概念、命题本质的深刻认识；缺乏灵活多变的解题策略；对解题容易出错之处没有足够的警惕性，对数学学习中需要注意的地方缺乏明确的认识.简言之，高才生认知结构的内容相当丰富，而普通生的认知结构中的内容相对贫乏.
2.高才生的认知结构中的内容具有整合性，普通生的认知结构的内容是零散的
数学高才生的数学认知过程正如孙维刚先生所言——“数学学习应是八方联系，浑然一体；漫江碧透，鱼翔浅底.”[6]高中数学高才生不仅具有结构性较强的数学认知结构，而且他们在数学认知加工过程中，能将生活经验、物理、化学、生物、地理、历史甚至文学艺术融入数学学习中.这种数学认知加工，使所习得的知识、信息成为一个个与外界知识与经验充满联系的知识组块，并最终形成一个有层次、有条理、又不割裂的知识网络结构.他们的认知结构从“静态的结果”看就像一座存放有序、类别分明的图书馆，而从“动态的过程”看数学认知过程将相关知识融入认知结构中就像海纳百川一样.
譬如，对于“两角和与差的三角公式”，高才生按公式导出的顺序，把学过的公式整理成公式链（其中公式C[，α+β]与S[，α+β]处于核心地位），他们既能重点突出又能在相互联系中学习三角函数公式.考察高才生的数学学习过程可知，大多数高才生每学过一个单元以后，都要对知识、技能、策略进行归纳整理，最后还要对整章的内容进行提炼.在对知识的精练过程中，他们不是罗列学过的概念、定理、公式、法则等，而是注重建立知识间的内在联系，分清主次，找出基本思想、方法.
普通生对于“两角和与差的三角公式”这部分内容，罗列了几组公式的同时，未能对解题时涉及的题目类型，解题思路、技巧、注意事项进行分类，头脑中笼统地存下了相关的几项内容，数量有限而又零碎.研究普通生的数学学习情况，发现他们在数学学习中，理不清知识层次，形不成知识网络，虽然能将重要数学知识储存在长时记忆之中，但却不能做到在解决问题的过程中有效提取数学知识.虽然普通生也能记住一些重要的数学结论，在解决熟悉的问题时，与高才生相比没有劣势，与数学学习困难生相比具有优势，但由于知识的关联密度与程度不如高才生，在解决不熟悉的问题时，劣势就会显现出来.
3.高才生提取认知结构中的内容具有灵活性，普通生则是僵滞的
数学普通生认知结构中贮存的数学知识数量远远要超过数学学习困难生，但与高才生相比较，在提取数学知识时具有僵滞性.高才生在学习中，总是能够在原有的认知结构中为新内容寻找固着点，这样许多表面看似无关而却有内在联系的知识就被他们储存在一起.在应用时，就能够在其不同的心理表征之间进行转换，体现出一种较强的灵活性.普通生在解决不熟悉的问题时易桎梏于思维定势，而高才生可以突破思维定势，在灵活解决问题的活动中显现一定的创新才能.
譬如，对于
这样一个无理式，如果令其等于y，于是就可以得到一个关于x的函数表达式y=，那么也便可以画出它的图象.所以在面临：“设a＞0，解关于x的不等式＞1-x”这一问题时，当普通生还在苦苦进行分类讨论的时候，高才生早已通过观察函数y=与y=1-x之间的关系，直观地看出了分类标准.又如在求解“已知实数x、y满足x[2]+y[2]=3 （y＞0），求m=（y+1）/（x+3）及b=2x+y的取值范围”的时候，高才生不仅将m=（y+1）/（x+3）与b=2x+y看成函数表达式，而且，他们通过把m看做半圆x[2]+y[2]=3（y＞0）上的点与定点A（-3，-1）连线的斜率，b看做过半圆x[2]+y[2]=3（y＞0）上的点且斜率为-2的直线的纵截距，这样通过数形结合获得了较好的解题思路.普通生由于其认知结构中的内容是僵滞的，因而不能在式与形之间进行灵活的转换，大多数人采用了代数式求最值的繁琐解法.
4.高才生的认知结构具有个性特征，普通生的认知结构具有共性特征
高才生能够在学习中挖掘出蕴含在知识深处的数学思想、方法，并在实际应用中加深对数学知识的认识和理解，以达到完善和发展数学认知结构的目的.高才生的认知结构虽然具有丰富性、整合性等共性，但每个人的认知结构又因人而异，很大程度上表现出一种“个性化”.
譬如，对于一元二次不等式ax[2]+bx+c＞0（a＞0，x[，1]和x[，2]是ax[2]+bx+c=0的两个实根，x[，1]≤x[，2]）的解，学生普遍能够结合一元二次函数的图象加以学习，而有一位高才生却利用数轴上的实线、尖点对不等式的解进行编码，可以说是自己独立产生的表象.
由于认识问题的角度不同，高才生的认知结构中表征数学知识与问题的方式是具有个性特征的，他们在写数学学习小结时，往往是简约又不尽相同的数学学习心得体会，在解决熟悉数学习题时，有时也会寻求自己的独特解法，而在解决不熟悉的数学问题时，更会有自己的奇思妙想.
普通生在学习中缺乏对知识的深入思考和加工，对于知识的理解往往停留于满足听懂老师的授课内容.从调查的结果来看，他们头脑中的知识结构具有一定的共性，那就是仅仅经过表浅加工，并以陈述性知识为主.他们写出数学学习小结往往是带有共性特征的知识小结，一般是概念、定理、公式、法则以及教师笔记中标题的逐条罗列.在解决熟悉的数学问题时，常常是照搬熟悉的解法，而在解决不熟悉的数学问题时，往往是一筹莫展.
三、数学高才生与普通生的认知结构存在差异的原因
学习习惯与方法不同是导致数学高才生与普通生的认知结构存在差异的一个重要原因.追踪高才生的学习进程可知，高才生认知结构的建立往往是这样的：带着问题与批判性进行课上学习，带有反思性地进行课下学习，带有选择性与目的性地进行解题实践.而普通生的学习过程常常是：课上以听懂教师的内容为目的，课下盲目进行大量的解题实践.尽管大多数高才生也拥有多部参考书，但他们对参考书的使用更注重于拓宽知识，深化对已学知识的理解，能够对典型例题与好的习题进行挑选，不盲目解题，通过做题进一步深入体会解题方法和解题策略.而普通生也有参考书，但他们更注重完成书中的习题，有时在一些偏题、怪题上纠缠过久，学习效率偏低，并常把考试成绩不够优秀归因于习题做得不够多、不够全和不够难.
元认知水平的不同是导致数学高才生与普通生的认知结构存在差异的另一个重要原因.调查发现，普通生普遍缺少反思的意识，不能在行之有效的自我监控中学习数学内容，他们不是不能够利用旧知学习新知，而是有时不能有效避免旧知识对新知识的负迁移，他们不是不思考，而是缺少对思考内容的反思.而对这10位高才生的数学学习进行分析，发现他们均善于反思，他们具有自我追问与反问的学习习惯，不仅能够有效避免认知结构中旧知对新学习内容的负迁移，而且能够做到通过新知的学习深化对旧知的理解，他们不仅具有深入思考的数学学习习惯，而且思考的内容始终处于自我监控之中，并随时对思考的内容做出调整，思维效率较高.通过对高才生与普通生的实际解题过程的比较，我们发现，两者的元认知水平的确表现出了较大的差异.普通生不假思索地便采取某一方法或解题途径，而且经常在各种可能的“解题途径”之间徘徊，而对自己在干什么，特别是为什么非这样干始终缺乏明确的认识.另外，在沿着某一解题途径走下去时，不能做出必要的调整，而只是“一股劲地往前走”，导致在解决陌生的数学问题时陷入僵局，却不能自拔.由此可见，导致普通生解题活动不如高才生的一条主要原因是其“未经充分思考”便贸然解题，在解题活动中自我监控能力较差，在整个解题过程中表现出了很大的盲目性，而且解题过程是就题论题，学习效益不高.
高才生解题过程也是摸索着前进的，尽管高才生也会采用一些不恰当的方法，但是由于他们整个推理过程始终处于元认知监控之下，因此显现了较强的解决数学问题的能力.可见高才生在解题活动中清楚地表现出了如下的“素质”：在具体地采用某一方法或解题途径前对各种可能性进行了仔细的考虑；在整个解题过程中做到“心中有数”，他能对目前解题策略与方法是否有效做出评估与进行必要的调整.最后在成功地解决了问题之后，他又能自觉地对所进行的解题活动进行回顾，考虑所学到的数学知识、技能在其中的作用，特别是体味其中的数学思想、方法.通过元认知监控解题过程，高才生应用与进一步体悟统帅性强的数学思想、方法，有助于他们认知结构不断得到完善，不断增强解题能力.
四、教学建议
高才生组织良好、内容丰富的认知结构为他们的数学学习提供了坚实的认知基础，其中大量的策略性知识，更使他们能够经常获得解题的成功.而普通生相对贫乏、组织不良的认知结构很可能成为他们深入学习数学知识与进行思维训练的障碍.那么如何帮助大多数普通生优化认知结构呢？在这里我们基于本课题的研究结论，提出以下教学建议.
第一，每个数学新知的教学，都应是在“见树木更见森林，见森林才见树木”的状况下进行，帮助学生建立新旧知识的联系.受到奥苏倍尔的“有意义学习”等理论的影响，许多数学教师均重视利用学生已学旧知学习新知，以达到促进对新知的理解.但要注意，在学习过程中，学生认知中会有许多错误认识与经验，学生的学习过程还是对以往认识的解构，数学学习有时需要悬置学生的经验.因此，在教学中既需要从学生已经获得的知识出发，重视旧知与新知如何发生联系，有时也需要从新知出发，重视获得新知后的反思，引导学生反思如何通过新知的学习，扬弃认知结构中片面乃至错误的经验与认识，反思新知如何与旧知发生关联，进一步加深对旧知的理解.
第二，引导学生精练所学知识，有意识地整合知识，完善知识结构.数学认知结构也有一个形成、发展和优化的过程.因此，每到一个阶段，就要引导和督促学生对所学过的知识、思想与方法作一回顾，进一步消化理解，建立起知识间的有机联系，提炼出关键性的和核心的知识，略去多余的信息，使知识由“点”成“线”，再成“网”，分层次组成一个知识系统，从而改进和完善认知结构，以便于进一步学习和利用.
第三，对学生进行指导性的学习.培养学生良好学习习惯的意义不必赘言，在此需要说明的是，通过我们的实践表明，教师组织学习经验交流会，教师进行有效的总结是指导学生有效进行数学学习的好方法.
第四，教会学生习得与应用策略性知识.我们可将数学学习中的策略分为两个层次：
第一层次，数学思想、方法的学习.数学思想、方法是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学知识的深刻认识，同一种数学思想、方法往往概括了许多不同的知识和具体方法.因此，重视数学思想、方法的教学，能够帮助学生建构起思想、方法层次上的数学观念，使他们的认知结构不断得到完善.在解题时，还将起到灵活选择解题思路、简约解题过程的指导性作用.当然，目前，数学教师大多重视“数学思想、方法”的教学，但有的教师将解决问题的具体手段乃至巧法当做了“思想、方法”，忽视了对集合思想、对应思想和化归思想等概括性强的数学思想的提炼与引领.其结果是，将一招一式的解题手段当做“思想、方法”，误导了学生学习概括性强的数学思想、方法，将大量的巧法当做“思想、方法”，再加上“熟能生巧”的古训，导致了学生陷入题海，而不能自拔.
第二层次，指向学习者内部的调控数学思维的自我调控策略.既然研究结果表明，高才生与普通生对数学学习活动和结果的自我观察、自我评价、自我监控和自我调节存在很大差异，那么就应让学生认识到，在数学学习过程中养成调控数学思维活动的习惯是至关重要的.教师不应只满足于发挥了“启发者”“质疑者”的作用，在教学中还应尽力丰富学生的元认知知识，并经常对学生进行元认知训练，使学生成为具有自我监控意识、会学数学的学习者.
第五，创设良好的问题情境.如果新知识不能自然而然纳入认知结构中，教师就要充分重视创设问题情境，使新的知识信息与学生原有认知结构的相关知识发生冲突，尽量使学生发现运用已有的知识不足以解决所面临的问题，从而产生认知上的不平衡，使学生认识到只有通过努力思考，才能实现认知上的平衡.在数学学习中，通过创设新的问题，使学生产生新的认知不平衡，通过认知平衡与不平衡之间的循环往复，使得认知水平得以不断提升.实践表明，适当的提问和恰当的举反例是实现上述目标的两个有效的措施.
第六，充分重视每个学生在数学思想、方法认识上的特殊性.由于认知活动离不开主体的主动建构，即使对同一数学内容的学习，不同的个体也完全可能由于知识背景和思维方法等方面的差异而具有不同的思维过程，表现出一定的差异性和个体特殊性.数学思想、方法的学习是帮助学生构建良好认知结构的关键所在，但在数学思想、方法的教学中我们不应过分地去追求统一性，而应看到数学思想、方法的学习是具有“个体化”的.在各种思想、方法和认知策略之间，并无绝对的“好、坏”可言.普通生与高才生相比较，基本知识与基本技能的学习往往不存在问题，而往往是在数学学习中不求甚解方面存在问题.数学学习离不开基本技能与基本知识，但不能停留在基本知识与基本技能层面上，更不能就题论题，数学教师要引导学生有效学习数学思想、方法，但要允许学生在数学思想、方法的学习中有个人的建构性.