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［中图分类号］：B027 ［文献标识码］A ［文章编号］1007-5674（2010）03-0001-04
一
由于众所周知的历史原因，辩证法被庸俗化了，因此辩证法（包括自然辩证法）的名誉受到伤害。然而，我们至今仍然相信，真正的辩证法应当经受得起分析哲学的批判性分析，绝不应该是“思想懒汉的避风港”。看来情况还不至于十分糟糕：使人感到欣慰的是，在系统科学学者中有苗东升研究着《系统科学辩证法》，在该书中他宣称：“要描述混沌运动，形式逻辑显然不够用，必须使用辩证逻辑”。[1]224-5“混沌研究从多方面揭示出“周期性与非周期性”这对范畴的辩证性质。”[1]226“这就是矛盾结构，只能用辩证逻辑来理解。”[1]228在科学哲学兼系统科学学者中，有张华夏那样的学者至今还深深地保持着“辩证法的情节”,早在1970年代，他就发表过论述微积分辩证法的系列论文；在数学哲学学者中有李浙生着力于研究《数学科学与辩证法》，关注着非标准分析与标准分析，关注着无穷集合的辩证法；有数学哲学兼逻辑学者朱梧槚在《数学与无穷观的逻辑基础》（2008）中，在充分考虑数理逻辑和数学推理的严密性的前提下①，力图以辩证法和辩证逻辑的思想为锐利武器破解潜无穷／实无穷的两重性和无穷悖论之谜。朱梧槚在2005年5月上海的全国数学哲学会议上，提到他研究悖论差不多有50年了。接着，他以通俗又风趣的方式说出了一段非常有代表性和特色性的话：积累半个世纪的研究经验，终于悟出一个道理来，原来有一半的数学定理是借助于潜无穷概念来证明的，而另一半数学定理则是借助于实无穷概念来证明的，两者凑合在一起就会闹出矛盾来。朱先生深刻地指出，无穷的两重性＝潜无穷／实无穷＝引发悖论与矛盾的真正根源所在。
我们的态度是：鉴于自己的理工科背景，加上哲学方面的领悟和亲身体验，愿意加入有“辩证法和辩证逻辑情节”的学者的行列。
在我国政治家中，毛泽东是特别关心逻辑并且喜爱辩证逻辑的“哲人政治家”之一。笔者特别注意到，他本人实际上肯定了《矛盾论》的辩证逻辑性质。最直接的证据是，毛泽东在1958年9月2日写的《对北戴河会议工业类文件的意见》中说：“所谓不大懂辩证逻辑，就工业来说，就是不大懂工业中的对立统一，内部联系，主要矛盾与次要矛盾的分别……”。[2]另外，笔者特别注意到，毛泽东晚年关于“分析与综合”的两次哲学讲话（1964年8月8日和1965年12月21日），[3]是他对有关“分析与综合”的辩证逻辑方法的最重要的新贡献。[4]由此可以折射出，在毛泽东心目中的辩证逻辑的基本形象。在《矛盾论》里，毛泽东喜欢用辩证法的观点看待数学和各门自然科学的基本特征。例如：在初等数学里的加与减，以及在高等数学里的微分与积分这类“辩证矛盾”。笔者还特别注意到，在以钱钟书先生为主译的英文版《毛泽东选集》中的《矛盾论》里面，对恩格斯的引文在英文语境中必须得到更为完整的补足：
…one of the basic principles of higher mathematics is the contradiction [that in certain circumstancesstraight lines and curves may be the same]…[5]
意即：“高等数学的主要基础之一就是这样一个矛盾：在一定条件下直线与曲线应当是一回事”。
辩证逻辑是注重辩证思维的形式结构的学科，尤其关注概念、判断、推理在语义、句法上的辩证结构及其相应的推理有效性的规律。与一般辩证法相比，辩证逻辑更重视从思维逻辑的角度考虑问题，但它仍以科学与日常推理中的未经修饰的朴素辩证法为现实原型。从根本上说辩证逻辑与辩证法是难分难舍的。正是普遍意义的辩证法映射到逻辑中而生成特殊的辩证逻辑。从某种意义上说，辩证法在发挥逻辑学功能时就是以“辩证逻辑”面貌而出现。
二
龚昇教授的论文《对微积分中主要矛盾的认识》（1999）[6]重新唤起了我们对数学中的辩证法和辩证逻辑强烈的学术兴趣。龚昇先生对微积分辩证法的把握，脉络非常清晰。若用我们自己的语言来转述，这就是：微分与积分以及导函数与原函数之间的辩证矛盾规定了微积分这门学科的特殊性质。微分学的基本问题，是从给定函数（后来称作原函数）求其微商（称作导函数）或微分。积分学的（第一）基本问题则是一个反问题，就是从给定的微商（即导函数）或微分倒过来求原函数。微积分基本定理（即牛顿与莱布尼兹公式）则集中体现微分与积分以及导函数与原函数之间的既对立又统一的关系。每一条微分学原理或公式在原则上都有一条与之相应的积分学原理或公式。因此，基本微分表与基本积分表一一对应。对微分运算而言，具有根本的重要性的是关于函数的和、积以及复合函数的微分公式。与之相应地，对积分运算而言，具有根本的重要性的则是将被积函数分拆成几个易求积分函数之和再求积分，分部积分法与换元法这样三种积分法。从辩证逻辑眼光看，“微分”与“积分”、“直线”与“曲线”、“弦”与“弧”等等都属于“流动范畴”。而不再是“固定范畴”。
到目前为止，所说的只是一元微积分。假若推广到涉及高维空间的多元微积分，同理可解。按照对立统一观点这条主线，微积分的主要内容仍然是微分、积分以及建立两者间联系的微积分基本定理。不过情况显得更为复杂些。多元的微分学将导数及微分推广成偏导数、方向导数与全微分；多元的积分学将积分推广成重积分、线积分和面积分等；尽管多元微积分的基本定理（对三维空间），需通过格林公式、斯托克斯公式和高斯公式这样三种形式来体现，不过万变不离其宗，目标仍旧是揭示微分与积分的对立统一关系。对于三维欧氏空间，这对矛盾的一方为外微分形式，另一方为线、面、体积分。概括地说，三个公式一致地表明，高次外微分形式dω,在区域上的积分，等于低一次的外微分形式ω在区域的低一维空间的边界上的积分。在这里，外微分运算与积分运算起到了互为逆运算的作用。
实际上，龚昇先生采用了辩证法的观点把微积分的基本关系网梳理得非常清楚。以上是我们的解读或再分析。
三
对于理工科大学生而言，在学习微积分时关于弧的微分的“微分勾股定理”，
是一个给人留下深刻印象的个案。可以作为理解微积分中的辩证法与辩证逻辑思想的一个合适的出发点。初学者感到奇怪的是，勾股定理应当对于“直角三角形”才管用，可是“微分三角形”中ds是弧长而不是弦长，弧是曲线而弦却是直线，曲直决不能简单地等同。这是怎么一回事呢？矛盾如何得到解决？
这就使人想起恩格斯的两句经典名言。一是在《反杜林论》中说的：“高等数学的主要基础之一就是这样一个矛盾：在一定条件下直线与曲线应当是一回事”。[7]463二是在《自然辩证法》中说的：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。[8]70原来，情况是这样的：假若dx、dy与ds可以任意地、无限地缩小，那么整个微分三角形最终会收缩到一个点上，一切差别都将化为乌有。在这种情况下，弦与弧或者说直线与曲线当然等同起来了。难怪列宁在《哲学笔记》中要把辩证法称为研究“对立面同一”的学说。[9]111现在你看，在无限小的微分三角形中，弦与弧、直线与曲线这样的对立面不仅是统一起来了，而且真的“能够同一”，真的“成为同一”了（列宁认为，“对立面同一”的提法比“对立面统一”更准确）。可见，在微积分中包含有本来意义上的、不折不扣的辩证法，同时又包含不折不扣的辩证逻辑思想。辩证逻辑的最主要的标志就是使用“流动范畴”。而不是使用固定范畴。这里在实质上已经触及到微积分奥秘之核心。
微分三角形
不过，到此为止疑难并没有完全消解掉。当弦与弧、直线与曲线统统收缩到一点时，曲直等同自然就容易理解了。可是，一般人仍感到困惑的是，当微分dx、dy本身在数量上消逝掉的时刻，哪能有什么“数量关系”，哪能有什么“微分的勾股定理”呢？
正如列宁在《黑格尔〈逻辑学〉一书摘要》中所注意到的，黑格尔出于研究辩证法的《逻辑学》的需要，喜欢引证无穷小量这种“消逝的量”，“存在和非存在的中间物”。列宁深刻地指出：“消逝着的环节＝存在和非存在。这是辩证法的极好的规定！！”，“扬弃＝结束＝保持（同时保存）”。[9]对于我们的微分三角形来说，微分的“勾、股、弦”是处在消逝中的存在物，既有非存在的性质又保留存在的某些特性。正因为如此，马克思在《数学手稿》中才把微分看作“扬弃了的差值”，[10]恩格斯在《反杜林论》中才把微分与微分之间的关系称作“没有任何数量的数量关系”。[7]480微妙的是，dx、dy与ds本身逐渐收缩为零，在数量上逐渐消逝掉，然而dx、dy与ds之间的“勾－股－弦”关系居然依旧保持着。
四
说起辩证逻辑，恩格斯有一个著名的比喻，这就是说，辩证逻辑相当于思维的高等数学，而形式逻辑则相当于思维的初等数学。依我们看，从特定的角度说，它应当可算是相当确切的一种比喻。然而，有的形式逻辑学者对这一比喻至今仍耿耿于怀，普通逻辑教员好像自己的专业连同自己因此“低人一等”似的，就怕假想中的辩证逻辑教员盛气凌人地说：我教的是高级的思维，你教的是低级的思维。有的数理逻辑教员则对此嗤之以鼻，因为在他看来抽象、复杂又严密的现代逻辑演算与带有一定模糊性和不确定性的辩证思辨，谁高谁低岂非昭然若揭，那还用比吗？其实，这里存在着一种严重的误解，因为比喻只有相对的意义。
当代数与微积分相对之时，代数使用x，y，相当于固定范畴；微积分使用dx、dy，相当于流动范畴。这时候，“代数”（或初等数学）在比喻的意义上，处于“形式逻辑”的地位。微积分（或高等数学）在比喻的意义上，则处于“辩证逻辑”的地位。在另一个场合中，当代数与算术相对之时，代数使用x，y，z等变数，相当于流动范畴；算术使用1，2，3等常数、具体的数，相当于固定范畴。那时候，“代数”在比喻的意义上，处于“辩证逻辑”的地位。算术在比喻的意义上，则处于“形式逻辑”的地位。这难道还不明显吗？读者请不要为“代数可以在比喻的意义上，处于辩证逻辑的地位”的论断感到吃惊。
恩格斯本人确实从辩证逻辑的流动范畴的观点分析过加、减、乘、除四则运算，认真讨论过初等代数的各级运算中的矛盾转化。作为参照，在算术中加、减、乘、除四则运算属于固定范畴，加法不是减法，乘法不是除法如此等等。然而，在代数中情况就大不相同了：加、减、乘、除已经变成流动范畴，不仅同一级运算内部正逆运算可以有条件地相互转化，而且不同级运算之间也可以有条件地相互转化。正如恩格斯所分析的，第一级运算：加法与减法，由于负数的引进，减法转化为代数加法，a－b＝a＋（－b）。第二级运算：乘法与除法。由于倒数的引进，除法转化为有关倒数的乘法a÷b＝a×1/b。第三级运算：乘方与开方，由于分指数的引进，开方转化为含分指数的乘方
。还可以进一步引伸，由于对数的引进，乘除变加减，乘方开方变乘除等等。这就说明，在上述特定意义上说，代数使用了流动范畴，因而相当于辩证逻辑，算术使用了固定范畴，因而相当于形式逻辑。
这一类比，还可以进一步深化和精细化。在代数中使用了流动范畴，使减法有条件地变成了加法，使除法有条件地变成了乘法，使乘除有条件地变成了加减，但这并不是说可以将加与减、乘与除因此可以无条件地混同起来，可以在代数中随心所欲地犯算术错误。同样道理，辩证逻辑使用了流动范畴，使对立概念可以打破僵硬的固定不变的界限，有条件地相互转化，但决不意味着可以将对立概念无条件地混同起来，决不意味着在辩证逻辑中可以随心所欲地犯普通的逻辑错误、可以肆无忌惮地进行诡辩。总之，辩证逻辑与形式逻辑相容，它超越形式逻辑并在一定意义上包容形式逻辑。正像代数与算术相容，它超越算术并在一定程度上包容算术一样。
其实，毛泽东也特别关注过普通逻辑矛盾与辩证逻辑意义的“矛盾”之间的关系问题。早在《论持久战》中就说过：“怎样解释战争中提倡勇敢牺牲呢？岂非与‘保存自己’相矛盾？不相矛盾，是相反相成的”；[1]450而在《抗日游击战争的战略问题》又对同一内容作了稍有不同的表述：“其实一点也不矛盾，正确点说，是相反相成的。”[1]375-376这里，不矛盾——是从普通逻辑意义上说的；相反相成——则是从辩证逻辑意义上说的。看来通常的细致的逻辑分析与辩证法及辩证逻辑意义的思考两者总是并行不悖的。
五
关于数学中的超越与包容的关系，还可以再加引申。这就是：微积分也是既超越又包容普通代数的，特别是它总在极限情况下包容初等代数的。现代微积分教程中众所周知的定积分，作为求曲边梯形的面积、求“和的极限”的方法，在历史上，可以追溯到阿基米德的“穷竭法”。
恩格斯关于“弦弧同一”、“曲直同一”作为微积分的主要基础的思想，在曲边梯形求面积问题上得到了进一步展示和加强，曲边梯形＝无限多个无限小矩形的总和。其实，阿基米德的“穷竭法”已经包含了将作为曲边梯形特例的“曲边三角形”的整体细分为众多的小狭条矩形，包含了不断趋近的运动态势，因而包含了朴素直观的微积分辩证法思想的萌芽。这个图解，也就是一般微积分学教程“定积分作为和的极限”小节中的求曲边梯形面积的图解的特例。在更一般情况下，定积分
给出界于ox轴、函数f（x）的图形与纵坐标之间的面积（的代数和）。微分与积分是对立面的统一。本例中作为微分量的被积表达式f（x）dx所表示是无限小的矩形元素，而作为整体的定积分所表示的则是整个曲边梯形。在这里，恩格斯关于“曲线与直线同一”的辩证思想又得到进一步推广。随着区间分割的部分数n无限增加，区间宽度相应地无限减小，每个被分割的狭条曲边梯形无限地接近它所对应的狭条外接矩形以及狭条内接矩形面积。在极限情况下，从局部上看，每一小区间都收缩为一条没有宽度的线，狭条曲边梯形与狭条矩形成为同一，外接矩形与内接矩形成为同一。从整体上看，大的“曲边梯形”与内外阶的普通的“直边梯形”最终“能够同一”并且事实上“成为同一”。“曲边梯形”与“直边梯形”成为辩证逻辑的“流动范畴”。一句话，对立面同一的辩证法在“定积分作为小曲边梯形面积之和的极限”问题上又有新的特点或具体表现。
最终由不同半径的圆柱砌成的“宝塔形结构”与“回转体”两者契合无间，这两个对立面不仅“能够同一”，而且真的“成为同一”如此等等。其它种种微积分公式所暗含的辩证法与辩证逻辑的意蕴，虽然各有特殊性，但只要掌握原则并善于举一反三，就无不按同理可释。
［收稿日期］2010-03-13
注释：
① 正因为如此，朱梧槚先生多年来研究无穷观问题的成果，在英文杂志Int.J.systems & Cybernetics上作为系列论文（16篇一次性地）得以发表。
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