陕西省商洛市镇安县第二中学 711500
一、题目呈现，想法多多
（2017年高考全国卷I文16）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球的表面积为______。
二、换个视角，深度剖析
根据《高中数学课程标准》设置及高考考试大纲和考试说明，必修二《立体几何初步》这一模块知识学完后，文科学生就可以解决高考试卷中涉及所有立体几何的题目。历年来全国各地对文科学生的考察难度一般都不会太大，主要考察空间想象能力、用图形感知能力及运算能力。而此题处在选填题型中压轴题位置，高考命题专家对此题赋予的特殊作用自然不言而喻，还需要学生自己画图，考察意图非常明显。本文对此题解法进行探讨，以期对大家有所帮助。
思路分析一：由已知条件知本题是三棱锥外接球问题，而平面SCA⊥平面SCB，SC为球直径，可知三棱锥S-ABC由直角四面体S-OAB和直角四面体C-OAB组成。
解法1：（如图）连OA、OB，O为球心，由题知三棱锥S-ABC由三棱锥S-OAB和三棱锥C-OAB组成。
设球半径为r,VS-ABC=VS-OAB+VC-OAB= S△OAB·SC= × r2·2r=9，∴r=3，S球=4rπ2=36π。
思路分析二：由于本题是球的组合体问题，因此很容易联想到球体的截面特征，并把三棱锥S-ABC的平面SCA（或平面SCB）与此截面有机地联系起来。
解法2：若记平面SCA为三棱锥S-ABC的底面，由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，且SC是球O的直径，SA=AC，则△SCA为等腰直角三角形，且在球O的一个大圆上（如图）。
再由△SCB为等腰直角三角形，有BO⊥SC，又平面SCA⊥平面SCB，BO 平面SCB，平面SCA∩平面SCB=SC，所以BO⊥平面SCA。
设球O半径为r，则BO=r，SA=AC= 2r，此时VS-ABC=VB-SAC= ·S△SAC·BO= × × 2r· 2r·r=9，解得r=3。所以球O的表面积为S=4πr2=36π。
思路分析三：围绕题目的关键条件“平面SCA⊥平面SCB”，寻找直二面角A-SC-B的平面角，再结合三棱锥S-ABC的体积，也可计算球O的半径。
解法3：（如图）连接OA、OB。在三棱锥S-ABC中，SA=AC，SB=BC，SC是球O的直径，则AO⊥SC，BO⊥SC，且SC⊥平面AOB。又平面SCA⊥平面SCB，所以∠AOB为直二面角A-SC-B的平面角，即AO⊥BO。
由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，设球O半径为r，则AO=BO=r，SC=2r，此时VS-ABC= ·S·S△AOB·SC= × ×r·r·2r=9，解得R=3。所以球O的表面积为S=4πr2=36π。
思路分析四：由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，且SC是球O的直径，又由SA=AC，SB=BC，可以联想到正方形，借助平面图形翻折，或加工正方体进行间接求解。
解法4：由题意知三棱锥S-ABC可以看作是正方形ACBS（如下图左）中的△BSC沿其对角线SC向上翻折90°而成（如下图右）。
由于平面SCA⊥平面SCB，所以∠AOB恰为直二面角A-SC-B的平面角。设球O半径为r，则SC=2r，AO=BO=r，此时VS-ABC=VB-SAC= ·S△SAC·BO= × ×2r·r·r=9，解得r=3。所以球O的表面积为S=4πr2=36π。
思路分析五：可以把三棱锥S-ABC放入正方体或者可以认为切割正方体留下的部分几何体（如图）。
VS-ABC=VA-SAC= ·S△SAC·BO= × ×2r·r·r=9，解得r=3。
所以球O的表面积为S=4πr2=36π。
思路分析六：利用等体积法，三棱锥可以变换顶点和底面，但体积相等，VS-ABC=VA-SBC。
解法5：由AS=AC，SC为直径，O为球心，∴AO⊥SC。又由于平面SCA⊥平面SCB，∴AO⊥平面SCB，∴VS-ABC=VA-SBC= V△SBC·AO= · ·2r·r·r=9，r=3，S球=4πr2=36π。
通过以上几种方法的分析，一道不寻常的“高考填空压轴题”就这样彻底解决了，但由此收获的却不应该仅仅是题目解决，更是我们面对任何一道题目应有的一种态度，一种坚持。围绕一道问题所处的情境，从已知条件出发，多角度、全方位的审视题目，最重要的是解题后的反思以及问题关键步骤的成功体验，形成规范解题的操作流程。
论文作者:李涛
论文发表刊物:《教育学》2018年8月总第150期
论文发表时间:2018/8/14
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