论广义弗雷格谜题，本文主要内容关键词为：广义论文,弗雷格谜题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在过去50年中，语言哲学家提出了众多新指称理论，似乎我们对名字有了极好的理解，因为克里普克这样的哲学家让我们相信，名字没有涵义，只有指称。①然而，弗雷格1892年的论文《论涵义和所指》中提出的弗雷格之谜，却成了指称论天空上的一朵乌云。弗雷格之谜引起了许多哲学家之间的争论。本文将集中考察基特·范恩（K.Fine）提出的语义关联论，及其解决语义形式的弗雷格之谜的方法，引入使用一阶语言中其它符号得到的广义弗雷格谜题，从语义关联论的角度对它们予以解释；最后提出一个有关逻辑常项的新问题，即从语义作用上区分真值函数的句子联结词（包括等词）和非真值函数的句子构造算子。
一、范恩对弗雷格之谜的解决方案
什么是弗雷格之谜？弗雷格认为相等是对象的名字或记号之间的关系，而不是对象之间的关系。考虑两个陈述a＝a和a＝b。前者是分析陈述，它的真仅依赖于表达式的形式，因此没有什么认知价值；而后者不是分析陈述，它的真依赖于a和b这两个名字有共同的指称，它有认知价值。例如，只从形式上便知“晨星＝晨星”真，而“晨星＝昏星”的真是天文学重大发现，有很大认知价值。若相等是对象间的关系，这种认知价值就不会产生。（Frege，p.151）弗雷格说，“如果一种差异会出现，那么记号之间的这种差异便对应于所指事物的表达方式的差异”。（ibid，p.152）弗雷格区分名字的涵义和所指：所指是用名字指称的对象；关于涵义，只说到表达方式包含于涵义之中。（ibid）弗雷格立场的问题在于如何合理说明名字的涵义。
现在我们来看范恩对弗雷格之谜的重新建造（Fine,2007，p.34）②。以“西塞罗＝西塞罗”和“西塞罗＝塔利”两个相等句子为例。弗雷格之谜基于下述五个假设：（1a）认知差异：两个相等句子是认知不同的；（1b）认知联系：如果两个句子是认知不同的，那么它们是语义不同的。（2）组合性：如果两个句子语义不同，那么两个名字“西塞罗”和“塔利”语义不同；（3）指称联系：如果两个名字“西塞罗”和“塔利”语义不同，那么它们指称不同；（4）指称相同：“西塞罗”和“塔利”这两个名字不是指称不同的。这五个假设不一致，这就是弗雷格之谜，解决它要合理地说明应该放弃哪些假设。请注意范恩之前的约定：称两个句子是认知上不同的，如果这两个句子对理解它们的人能传达不同的信息；称两个句子语义不同，如果这两个句子在意义或语义作用上不同。（Fine,2007,p.34）接下来范恩说他限于讨论弗雷格之谜的语义简化版本，用如下语义差异命题取代（1a）和（1b）：两个相等句子是语义上不同的。弗雷格承认语义差异而不承认指称联系。相反，指称论的观点则否认两个相等句子直觉上的语义差异。弗雷格立场的问题是要合理地解释名字的意义或涵义的差异。（ibid）范恩为解决弗雷格之谜，没有采取支持指称论或弗雷格立场的方式，而是采取了第三条道路：拒绝组合性。（ibid,p.37）下面看如何拒绝组合性，这是解决弗雷格之谜的关键。
范恩为解决他所提出的经典一阶逻辑中的变元悖论，提出了语义关联论。（ibid,2003,2007）范恩认为，这个悖论首先由罗素在《数学原则》第93节提出（Russell，pp.93-94），而且它与弗雷格之谜密切相关。对变元悖论的解决将为弗雷格之谜的解决提供思路。变元悖论表述如下：（SS）任何两个变元（以给定的个体域为范围）有相同的语义作用；（SD）任何两个变元（以给定的个体域为范围）有不同的语义作用。显然不能毫无疑义地接受上述两个命题。考虑两个变元x和y，假定它们都以自然数集合为范围。根据（SS），它们有相同的语义作用。在两个不同的公式中，比如“x＞0”和“Y＞0”，两个变元起相同的语义作用，差异仅是形状、记号或字面不同。用弗雷格的术语说，两个公式是谓词（概念词），代表大于零这个概念。变元x和y本质上是可用数词补充的空位。然而（SD）说两个变元x和y有不同的语义作用。在单个公式中确实如此，如“x＞y”代表大于关系，尽管x和y占据两个要以数词补充的空位，但这两个空位的语义作用是不同的。
变元x和y在跨语境时没有语义差异，而在单独一个表达式中却有语义差异。公式“x＞y”中的语义差异可以被这样一个事实显示：我们不能用y替换x而不改变整个表达式的语义作用。公式“x＞y”可满足，而“x＞x”不可满足。因此，x和y在单独一个公式中的语义差异表现为有序对＜x，x＞和＜x，y＞的跨语境语义差异。变元悖论更加确切地表述为：（SS'）变元x和y没有跨语境的语义作用差异；（SD'）变元组＜x，y＞和＜x，x＞有跨语境的语义作用差异。塔尔斯基语义学似乎为变元的语义作用提供了绝妙的说明。然而，塔尔斯基方法不能解决变元悖论——无论把变元的语义作用看作由变元值的范围（个体域）给定，还是等同于给定语义下的语义值。范恩建议使用语义关联论解决变元悖论。他的计划是为一阶逻辑谋求一种关联语义学，其核心观念是为每个表达式序列指派一种语义关联。给定序列
，它的语义关联[e]是其中表达式序列的语义关联
的函数。这不同于从表达式组成部分的语义值计算整个表达式语义值的经典组合原则。事实上经典组合原则失效了。然而一种新的组合原则产生了：一个表达式序列的意义是它的组成部分的意义的函数，只要整个表达式以整体的方式来解释，以便它包含组成部分之间的语义关联。语义关联论把表达式之间的语义或意义关联作为语义学的第一等公民来处理。一般地说，表达式序列是首要的语形对象，语义是赋予这些序列的。这种方法同时尊重表达式的涵义（意义）和语义值。
为建立一阶逻辑的关联语义学，范恩从词典和原子公式开始。例如，给定表达式序列＜x＋y，x＞y，z＞，该序列中的语义关联将包含所有指派给组成部分语义值的序列，比如＜5，假，6＞和＜6，真，2＞等等。句子联结词很容易加以解释。对量词情况，考虑序列＜Ex（x＞0），x＞（这里Ex（x＞0）表示存在x使得x＞0，Ex是存在量词）。序列（真，0）属于该序列语义关联当且仅当存在自然数n使得＜n，真，0＞属于序列＜x，x＞0，x＞这个序列的语义关联。问题立刻出现了：前两个变元x必须取相同的语义值。范恩解决该问题的办法是引入协作这个新概念。它是变元之间的关系。在序列＜Ex（x＞0），x＞中，指派语义关联时前两个x应该协作。我们可以处理协作化的序列，即带有协作模式C的表达式序列，说明同一变元的哪些自由出现应该协作，比如＜x，x＞0，x＞中前x的前两次出现应该协作。
现在看语义关联论如何解决弗雷格之谜。范恩以变元而不是名字重新表述弗雷格之谜如下：（1）相等公式x＝x和x＝y在语义上不同；（2）如果这两个相等公式在语义上不同，那么变元x和y在语义上也不同；（3）变元x和y在语义上不是不同的。假设（2）表达组合性。变元没有弗雷格所说的涵义，因而这里只好拒绝（2）。根据语义关联论，真正的组合性要求承认：如果x＝x和x＝y语义上不同，那么＜x,x＞和＜x， y＞语义上不同；但内在性要求如果＜x，x＞和＜x，y＞语义上不同，变元x和y语义上也不同。范恩认为，拒绝了内在性论题也可以承认真正的组合性要求，即引入新的组合原则。（Fine,2007,p.38）此外，范恩为彻底解决弗雷格关于名字涵义的谜题，进一步提出关于名字的语义关联论。指称论语义学忽略了符号之间的语义关联，而关联语义学要解释这些联系。语义关联的差异显示了语义内容（涵义）的差异。在句子a＝a中，a的两次出现应该协作，以此表明它们代表相同的对象。然而在句子a＝b中，a和b不应协作，它们可以指相同的对象，也可以指不同的对象。可能有人认为a和b代表不同的对象，然而事实上它们的指称相同。（ibid，pp.53-56）因此，协作装置可用于表明两个句子的语义差异。协作的关键特征是它解释了句子中名字出现之间的语义关联。
二、广义弗雷格谜题
弗雷格之谜原本只关心名字，这里再谈几种形式的广义弗雷格谜题。经典一阶语言中除句子联结词和等词，其它的符号（包括项、谓词、量词、句子模式）都会产生弗雷格类型的谜题。此外，内涵或模态算子也会产生弗雷格谜题。首先声明，这里仍然主要谈语义版本的谜题，认知版本也会偶尔论及。前文已经提及的变元式弗雷格式谜题，它更具一般性，抓住了弗雷格之谜的实质。变元x和y记号（印刷体）不同，所对应的差异是语义上的，而非直接是“表达方式”的字面差异。给定个体域和指派，假设变元x和Y的值都是某个个体d，则x＝x和x＝y都是真的，然而其真之方式却不相同：前者对任意个体都是真的，并不取决于对x指派什么；后者必须在x和y的值是同一个个体的情况下才是真的。笔者把弗雷格之谜所说相等句子的语义差异归结为真之方式的差异，若是同意涵义决定指称，则涵义属于句子的真之方式。因此，变元之谜的表述抓住了名字之谜的本质。
比变元和名字更一般的一阶语言的表达式是代表个体的项。不难构造如下语义谜题，例如（1.1）清朝的首都是清朝的首都；（1.2）清朝的首都是明朝的首都。前一句子没有提供任何关于清朝首都的信息，而后一句子却提供了信息，因此它们有不同的认知价值。从语义角度看，现在承认这两个句子语义上不同，考虑组合性：如果它们语义不同，则两个项“清朝的首都”和“明朝的首都”语义不同。根据指称论的观点，这两个项指相同的个体，因此语义上不是不同的。即便不使用同一个函数符号也会形成语义谜题，两个项的“表达方式”的差异有时是明显的，比如“2＋4”和“3×2”。指称论的观点告诉我们“2＋4”和“3×2”都指6这个数，因此两个句子“2＋4＝2＋4”和“2＋4＝3×2”语义相同。但直觉上，两个表达式的语义显然不同，根据组合原则，两个项的语义应该不同。正如处理变元悖论那样，可以提出新组合原则：若两个句子语义上不同，则两个项组＜2＋4，2＋4＞和＜2＋4，3×2＞语义上不同，由此可以解决关于项的谜题。
前面都只谈到相等句子引起的困难，下面谈句子模式的语义谜题。一个句子模式A是一个句子形式，使用该语言任何句子统一替换句子模式中的字母便得到具体句子。比如“如果A，那么A”和“如果A，那么B”。用句子“哥德尔是数学家”和“哥德尔是哲学家”分别替换A和B便得到两个句子：（2.1）如果哥德尔是数学家，那么哥德尔是数学家；（2.2）如果哥德尔是数学家，那么哥德尔是哲学家。这里再次看出，两个句子的真之方式不同：前一个句子的真是自明的，后一个句子的真依赖于其中包含的两个子句都是真的。但是根据指称论的立场，两个句子都是真的，因此语义上没什么不同。此时，根据前面的经验，拒绝旧组合原则仍然行得通，不难设想新组合原则应该如何。
第三个谜题是关于谓词的。一个谓词是一个表达式，它是从句子删除一个或多个专名的一次或多次出现而得到的③。据此“定义”便从句子（2.1）和（2.2）得到：（3.1）如果x是数学家，那么x是数学家；（3.2）如果x是数学家，那么x是哲学家。无论x被指定什么样的对象b，公式（3.1）对b都是真的，然而（3.2）并非必然真。谓词“x是数学家”和“x是哲学家”有不同涵义。弗雷格关于谓词所指的说法是清楚的：一个谓词的所指是它所代表的概念，一个概念是一个其值总是真值的函数④。按指称论观点，对任何对象b，如果把b指派给x，两个谓词产生相同的真值，因此这两个谓词所代表的函数相同，所以它们不能是语义上不同的。进一步考虑组合原则：若（3.1）和（3.2）语义上不同，则两个谓词语义上也不同。弗雷格极少谈到谓词的涵义，无法说明（3.1）和（3.2）直觉上的语义差异。然而，拒绝旧组合原则的策略仍然行得通。
第四个谜题是关于量词的。一个全称句的形式是（x）A（x），它是以谓词为自变元的函数。在《论函数和概念》中，弗雷格区分了表达式层次：谓词表达以个体为自变元的第一层函数，而量词表达以第一层函数为自变元的第二层函数。（Frege,p.147）构造量词谜题稍显复杂，不过借助变元容易做到。考虑（4.1）（x）（x＝x）和（4.2）（x）（y）（x＝y)。给定个体域，（4.1）说每个个体等同于自身，它的真是自明的。然而（4.2）是假的，除非个体域是单元集。根据组合原则，如果（4.1）和（4.2）语义上不同，那么（x）和（y）语义上不同，或者x＝x和x＝y语义上不同。后一种情况已讨论过，它归约为变元谜题的情况。在前一种情况下，从指称论观点看，两个量词有相同语义作用，它们是第二层次的函数，代表由个体域组成的单元集，因此（x）和（y）有相同语义作用。继续拒绝组合性的策略，新关联论语义学对量词的解释可以达到目的。
最后是模态词之谜。只考虑必然算子（用N表示）。对任意句子S，考虑这样：（5.1）如果N（S），那么N（S）；（5.2）如果N（S），那么NN（S）。首先（5.1）在所有框架上有效，它只不过是重言式的一个代入特例罢了。然而（5.2）只在传递框架上有效，在任何传递模型上都是真的。这两个句子的有效性的条件不同，因此语义作用也不同。再看组合原则：如果这两个句子语义上不同，由于两个句子唯一差异在条件句后件，仅是NN（S）和N（S）不同，在NN（S）中N的第二次出现和第一次出现的语义作用不同。但根据指称论的观点，任给一个传递模型，在该模型的某个可能世界上，这两个句子都是真的，所以这两个句子不是语义上不同的；在句子NN（S）中必然算子两次出现，但它们的语义作用相同，即“在所有可及世界上真”。这个谜题仍然适用于其它模态词，比如“知道”、“相信”等等。
三、语义关联论方法
范恩的语义关联论可推广到许多情况。考虑下面的谜题：（A）西塞罗是演说家这个信念不同于塔利是演说家这个信念；（B）如果这两个信念是不同的，那么它们的信念内容是不同的。按旧组合原则，两个信念中对象性成分在语义上不同。但是很明显，这两个信念的对象是相同的。为拒绝表达组合原则的论题（B），使用信念中名字之间的协作概念，也可以为表达式序列指派语义关联。下面研究五个弗雷格谜题，它们可以形成五个相应的悖论。
项模式悖论
一个项模式可以看作能被任何项代替的语言字母t。在给定语义下，一个项的语义值是个体域中的个体。项模式的悖论与变元悖论类似：（
）任何两个项模式s和t有相同的语义作用；（
）任何两个项模式s和t有不同的语义作用。可以把这个悖论变为：s和t没有（跨语境）语义差异，而项模式组＜s，s＞和＜s，t＞语义上不同。从单独表达式到表达式序列的改变，是表述项谜题所需，即从s＝s和s＝t的语义差异得出＜s，s＞和＜s，t＞的语义差异，这是真正的组合原则。加上指称论观点，如果＜s，s＞和＜s，t＞语义不同，那么s和t语义不同，就得到悖论。一种自然的解决方案是拒绝组合原则，转而为表达式序列指派语义关联。需要注意，对＜s，s＞和＜s，t＞指派语义关联之前，需要协作化处理，给出协作模式说明在序列＜s，s＞中s的两次出现是协作的，而在＜s，t＞中s和t不是协作的。对s和t中出现的变元、名字和函数符号，都需要协作模式说明它们之间的关系，才能完整说明全部协作关系。
谓词悖论 只考虑一元谓词符号。在一阶逻辑中，考虑在自然数集合上解释的一元谓词符号“x＞2+3”，和“x＞1+4”。从指称论观点看，二者语义值相同，都指大于5的自然数集。但从直觉上看，这两个谓词的涵义不同。在一阶逻辑中有如下悖论⑤：（
）任何两个指称相同的谓词的语义作用相同；（
）任何两个指称相同的谓词的语义作用不同。指称论者忽略谓词涵义的差异，自然赞同（）而不赞同（）。但再考虑如下两个句子：“如果x＞2＋3，那么x＞2＋3”，和“如果x＞2+3，那么x＞1+4”。前者对任何自然数都真，而且它的真仅依赖于语言。后者的真需要2+3等于1+4这个事实，因此两个句子的语义不同。根据组合原则，如果两个句子的语义作用不同，那么这两个一元谓词符号的语义作用是不同的。再次运用语义关联论：在前一个句子中，谓词“x＞2＋3”的两次出现是相互协作的，在后一句子中两个谓词不是相互协作的。注意：前面讲到原子公式的语义关联论解释时，已经明确如何给含有谓词的表达式序列指派语义关联。
量词悖论在一阶逻辑中，由于量词与变元结合在一起，称为量词—变元记号，从变元悖论可以得到量词悖论。考虑句子“Ex（x＞2）”和“Ey（y＞2）”。这两个句子中的量词所约束的变元不同，但是它们的语义作用相同。对后一句子中存在量词约束的变元y易字可得到前一句子，正好比“x＞2”和“y＞2”中变元的语义作用。在同一句子中考虑，如“ExEy（x＞y)”，不能将y易字为x，易字规则乃是变换之后不能被其它量词约束。于是自然有如下悖论：（
）任何两个存在量词的语义作用相同；（
）任何两个存在量词的语义作用不同。前面谈到量词谜题，从指称论观点看，存在量词的所指是给定个体域上所有非空子集的集合，因此任何两个存在量词没有语义差异。为拒绝旧组合性，给表达式序列指派语义关联，比如＜[e]，真，[f]＞属于＜e，ExEy（x＞y），f＞的语义关联当且仅当存在自然数m和n使＜[e]，m，n，真，[f]＞属于＜e，x，y，x＞y，f＞的语义关联。这里需要协作模式，即x的两次出现和y的两次出现都是相互协作的。然而解释＜e，Ex（x＞2），Ey（y＞2）＞时，x和y不协作。
模态词悖论 模态词的情况稍微复杂一些。考虑“N（3＞2）”和“N（4＞3）”。在可能世界w上，必然公式N（A）真当且仅当A在w的所有可及世界上真。用R（w）表示w的可及世界集。因此，断言N（A）在w上真的充分必要条件是A在R（w）中所有世界上真。上面两个句子的语义作用相同，因为在世界w上必然算子指｛R（w）｝。但考虑“NN（3＞2）”，必然算子两次出现的语义不同，后一次出现指R（w）中世界的可及世界集。于是有如下悖论：（
）必然算子的任何两次出现在语义上相同；（
）必然算子的任何两次出现在语义上不同。借助一阶逻辑的公式，N（A）可以写成（y）（xRy→A（y）），而NN（A）可以写成（y）（z）（xRy&yRz→A（z）），由此把模态公式问题转化为一阶公式问题①。进一步应用语义关联论，只需考虑对相应的一阶公式进行。此外，＜N（A），N（A）＞这个序列中必然算子的两次出现不是相互协作的，而＜N（A），NN（A）＞中必然算子的两次出现应该相互协作。
四、语义作用悖论与逻辑常项
细心的读者会注意到，在一阶逻辑的形式语言中，只论及项（包括变元和名字）、谓词、句子模式、量词的悖论，而没有论及句子联结词和等词。在经典逻辑的解释中，句子联结词和等词的语义作用似乎是清楚的，它们的任何两次出现的语义作用相同。由此产生一个问题：句子联结词和等词区别于量词和变元，如何说明这种区分？塔尔斯基在1986年的著名论文《什么是逻辑概念？》中，使用任何模型中个体域上的排列来说明逻辑符号和非逻辑符号的区分。（Tarski,1986）现在要问，逻辑符号中句子联结词和等词与其它符号如何区分？前面谈到的语义作用悖论似乎提供了一条标准。在一阶语言的表达式序列中，对任何两个符号e和f，或者同一个符号的两次出现，（1）e和f跨语境语义相同，并且（2）＜e，e＞和＜e，f＞跨语境语义不相同，当且仅当e和f不是句子联结词或等词。句子联结词和等词的特点在于，它们在任何语境和给定的模型中语义作用解释为语义值。
直觉主义逻辑对句子联结词的处理又是另一番景象：直观的语义概念是“可证”，否定和蕴涵两个联结词皆有模态涵义。（Chagrov and Zakharyaschev，pp.23-26）以否定为例。在直觉主义模型中，在当前状态上一个否定句～A是真的当且仅当在所有后继状态上A都是假的。由于直觉主义模型都是自返传递模型，若一个句子真，则它在所有后继状态上都真。在可证性解释下，排中律是不成立的，在皮亚诺算术系统中，有些句子及其否定都不可证（哥德尔不完全性定理）。这样，据前述语义作用悖论，直觉主义的否定和蕴涵都会出现悖论。考虑直觉主义否定，“～A”和“～B”中，两个否定的语义作用是相同的；但在句子“～～A”中两个否定的语义作用是不同的。
这向我们提出了一个一般性问题：如何研究逻辑符号集的细致结构？塔尔斯基在1936年发表的波兰语文献《论逻辑后承的概念》中，提出了如何区分逻辑符号和非逻辑符号的问题，原话如下：“我们整个构造背后隐藏着一种划分，把所讨论语言的全部词项分为逻辑词和非逻辑词。这种划分肯定不是随意而为。比如，要是我们把蕴涵记号或者全称量词纳入非逻辑符号，那么我们关于逻辑后承的定义便会导致与通常用法相矛盾的结论。另一方面，我还不知道有什么客观的根据，允许我们在两组词之间划一道明确的界线。”（Tarski,1956，pp.418-419）在1986年的论文《什么是逻辑概念？》中，塔尔斯基明确提出使用“在任何模型中排列不变”这个性质来划分逻辑词和非逻辑词，这一成果无疑是逻辑哲学的巨大进步。现在，对任意的逻辑语言L，假定有了区分逻辑符号和非逻辑符号的标准，下一步问题就是研究逻辑符号集的细致结构。
在一阶语言中，塔尔斯基标准区分了逻辑符号和非逻辑符号，现在笔者提出以语义作用悖论为“标准”，区分句子联结词（等词）与量词和个体变元符号。显然，这种区分不是任意的，量词不能用联结词来定义。全称量词不能用合取定义，存在量词不能用析取定义，即便是无穷合取和析取都达不到这个目的。但“语义作用悖论”这个标准不严格，因为无法定义“语义作用”这个概念。范恩提出的悖论使用语义作用这个概念，只是不加定义的宽泛概念。因此，要得到一条清楚的界线，用以区分逻辑常项中句子联结词（等词）和量词，以此更加细致地划分逻辑符号类型，仍然是没有解决的问题。把事情颠倒过来看，即便对范恩的关联语义学有了数学式的准确表述，也还是要考虑如何在新语义下提出新的逻辑常项标准，然后再考虑细致化问题。
对于命题模态语言来说，模态词是特殊的，笔者也提到它们是局部量词，因此区别于句子联结词。现在，有人以“互模拟不变”取代“排列不变”作为模态词是逻辑常项的标准。（Benthem and Bonnay）如果这个取代成功了，剩下的问题就是区分命题逻辑语言的句子联结词和模态词。过去常在模态逻辑教科书中看到，模态词是非真值函数句子联结词，然而真值函数和非真值函数的区分也只是以举例的方式借助直觉来说明。此外，直觉主义逻辑中还有这样的问题：否定和蕴涵是带模态意味的逻辑符号，合取和析取不带模态意味，二者的区别应该如何解释？根据笔者提出的标准，前一组符号会产生语义作用悖论，而后一组符号不会。但由此产生的问题是，究竟怎样划出一道明确的界限来呢？
注释：
①列举对名字持指称论观点的哲学家对于本文的讨论并不重要，只要指出他们的观点就足够了。一般来说，指称论者断言比如“西塞罗”和“塔利”这样的名字没有语义差异。要是它们在语义上不同，它们就会有不同的指称了。克里普克指出，如果说话者把两个名字与相同的信息或信念联系起来，这两个名字便不能有不同的涵义。（Kripke,pp.27—33）
②我国哲学界也有人论及范恩的关联主义在解决弗雷格之谜方面的作用，如叶闯先生2010年的论文。但是叶先生认为，范恩在《语义关联主义》（Fine,2007）一书中“提出了指称主义框架下的一种新方案，企图借助关联或关系来改进指称主义，以便解决信念之谜等哲学难题”。（叶闯，第86页）叶先生的说法似乎没有确切把握范恩的本意，本文对此提出了不同看法。
③这个“定义”是达米特在他的《弗雷格：语言哲学》中提出的。（Dummett,p.28）戴维森在《真与谓述》中使用这个说法作为谓词的定义。（Davidson,2005,p.96)本文仅把这个说法当作谓词的定义而不加论证。
④参见弗雷格的论文《论函数和概念》。（Frege,pp.130—148)在《对涵义和所指的解释》中，弗雷格也谈到谓词的所指，但很少谈到谓词的涵义。（ibid,pp.172—180）
⑤在二阶逻辑中，考虑两个一元谓词变元P和Q，它们的语义值是个体域的子集。与一阶逻辑中变元悖论的情况类似，“Px”和“Qx”中两个谓词变元的语义作用相同。然而在“Px并且并非Qx”中两个谓词变元的语义作用不同。于是有这里所说的关于二阶逻辑中谓词变元的悖论。解决悖论的办法也比较明显，只要为表达式序列提供语义关联。
⑥从技术上说，在模型层次上，所有模态公式都可以翻译为一阶公式，而且保持语义上对应。（cf.Blackburn,et al.,
2,4）
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