福建省永泰县教师进修学校 350700
摘 要：数学思想是数学素养的重要组成部分。一次函数是研究运动变化的基础数学模型，通过一次函数教学载体渗透学生数学思想，使学生逐渐形成数学视野、数学思维、数学方法。
关键词：数学思想 一次函数 基础数学模型
数学思想是指人们对现实世界的空间形式和数量关系的本质认识，是对数学内在规律的揭示。数学思想会牢牢扎根在我们心中，成为我们思维组成的一部分。我们运用数学思想去发现提出问题、思考解决问题。数学思想是数学学科的灵魂，是数学素养的重要组成部分。我们知道函数是研究运动变化的重要数学模型，在初中数学中占据重要地位。而一次函数是最简单、最基本的初等函数，学好一次函数对后续的反比例函数、二次函数的学习奠定良好的基础。
下面我就以一次函数为载体来介绍初中阶段所涉及到的重要的数学思想。
一、数形结合思想
数形结合思想是指有些代数问题可以从几何的角度，利用几何图形的性质和几何的直观性来研究代数问题中的数量关系，以寻求问题解决，或有些几何问题可以利用精确的数量关系来研究几何图形的性质，以达到问题解决的一种数学思想。
例.若函数y=kx+b的图象如图所示，那么当kx+b>0时，x的取值范围是 （ ）。
A.x＞1 B.x＞2 C.x＜1 D.x＜2
分析：我们可以利用函数图象过（0，1）、（2，0）两点，求出函数解析式，进而求出不等式的解集。但是我们可以利用数形结合的思想，从图像上直观地找出来，kx+b＞0即y＞0，函数图象在x轴上方的自变量x的取值范围，就容易得到x＜2，这样解题就显得更为便捷。
利用数形结合思想，可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，它兼有数的严谨和形的直观的长处，是优化解题过程的重要途径之一。
二、方程思想
方程思想是分析数学问题中变量间的关系，找出变量间的相等关系式，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题，使问题获得解决的一种数学思想。
例．已知一次函数y=3x-b的图象经过点P（1，-1），则该函数图象必经过点（ ）。
A.（-1,1） B.（2，2） C.（-2，2） D.（2，-2）
方程思想是对方程概念的本质认识，我们要善于从问题中寻找变量间的相等关系，利用方程或方程组的观点来解决问题，例如用待定系数法求函数解析式其实就是利用方程思想。
三、函数思想
函数思想是用运动变化的观点，来分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系式，运用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得解决的一种数学思想。
例.为了应对国际金融危机，国家加大力度扩大内需，加强基础设施建设。某公司在A、B两地的挖掘机分别为16台和12台，要调往甲、乙两地支援建设，其中甲地需15台，乙地需13台。从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和300元；从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是700元和450元。设从A地运往甲地x台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为y元。
（1）写出y与x的函数关系式。
（2）公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的费用最省？
分析：这是一道应用问题，我们可以利用函数思想，从丰富的背景中提取有用的信息，分析运送挖掘机的总费用与从A地运往甲地挖掘机的台数间的关系，建立起函数关系式，并利用函数的有关性质来解决问题。
解：（1）y=500x+300（16-x）+700（15-x）+450（x-3）
=-50x+13950
x的取值范围为3≤x≤15（x为正整数）
（2） 在y=-50x+13950中，∵-50<0，∴y随x的增大而减小。∴当x=15时，能使运这批挖掘机的总费用最省。
运送方案是将A地的挖掘机运往甲地15台，运往乙地1台；将B地的挖掘机运往甲地0台，运往乙地12台。
我们知道一次函数y=kx+b，当y=0，即kx+b=0就转化为一元一次方程，当y＞0，即kx+b＞0就转化为一元一次不等式。y=kx+b可以转化为二元一次方程kx-y+b=0，我们利用函数思想，可以把一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组有机联系在一起，站在更高处对这些知识进行研究，体验函数的重要性，提高分析问题和解决问题的能力。
四、化归思想
化归思想就是将某个数学问题通过某种手段转化为其它问题以达到求解目的的一种数学思想。具体表现为：化未知为已知、化复杂为简单、化生疏为熟悉、化抽象为具体、将综合问题分解为若干个基本问题等等。
例.已知A（3，2）、B（5，4）两点，在x轴上求一点P，使得PA+PB的和最小，并说明理由。
分析：我们知道，已知两点A、B，在已知直线l上求一点P，且到这两点的距离和最小，若给出的两点A、B，在已知直线l的两侧，则根据两点之间线段最短，直线AB与已知直线l的交点就是所求作的点。但本题所给出的两点A（3，2）、B（5，4）都在已知直线x轴的上方，于是我们必须通过转化思想，将x轴上同侧的两点转化为x轴上异侧的两点。为此，作点A（3，2）关于x轴的对称点A1（3，-2），则直线A1B与x轴的交点就是所求的点。
化归思想的实质就是事物之间是相互联系的，我们要用运动变化发展的观点去看待问题，可以将一个问题转化为另一个问题去解决。化归思想渗透于整个初中数学，教学中教师要正确把握，让学生在学习过程中有意识地体会它，这样学生在解决问题中才能做到思路通畅、方法得当，达到事半功倍的效果。
五、分类讨论思想
分类讨论思想就是将所研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学思想。运用分类讨论思想可以克服思维的片面性，使思维更为全面、思维过程更显得有条理。
例.点A（5，0）和直线l：y=2x，求直线l上的一点P，使得△AOP为等腰三角形。
为什么要进行分类讨论，这是由于数学概念、公式、定理的限制条件而引发的讨论，或是图形的不确定性而引发的讨论，或是由于问题中含有字母而引发的讨论，等等。在对问题进行分类讨论时，必须做到按同一标准分类，使分类做到不重不漏。
以上我们以一次函数为载体，介绍了五种初中常见的数学思想。数学思想需要以数学知识为载体，离开数学知识，单纯强调数学思想的教学，只会使教学缺乏根基，成为无本之木、无源之水，学生也就难以领略到丰富的数学知识；反过来，数学教学不能只重视知识的讲授，而忽略数学思想的渗透。那样学生对知识的认识只会停留在一个比较肤浅的阶段，不利于学生对所学数学知识的真正理解、掌握和运用。因此数学思想的渗透与知识的讲授应融为一体。
总之，数学思想是数学的灵魂，教师通过数学课堂教学不断向学生浸润，让学生在知识产生和形成过程中去感悟数学思想，在思维活动展开过程中暴露数学思想，在知识总结和归纳过程中概括数学思想。这样才能用数学眼光看世界、数学思维想问题、数学方法解决问题。
参考文献
[1]沈文选 中学数学思想方法[M].长沙，湖南师范大学出版社，1999。
[2]顾泠元 数学思想方法[M].北京，中央广播电视大学出版社，2016。
[3]钱佩玲 邵光华 数学思想方法与中学数学[M].北京，北京大学出版社，2014。
论文作者:陈宝真
论文发表刊物:《中小学教育》2019年第364期
论文发表时间:2019/5/27
标签：思想论文; 数学论文; 函数论文; 方程论文; 挖掘机论文; 解决问题论文; 直线论文; 《中小学教育》2019年第364期论文;