高中教师代数教学知识的调查研究，本文主要内容关键词为：代数论文,调查研究论文,高中论文,教师论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、研究问题
过去的20年，许多研究者进行了大量有关界定和测量教师的教学知识的研究.舒尔曼（Shulman）认为，教师知识主要由学科内容知识，学科教学知识以及一般课程知识组成[1].鲍（Ball）等人进一步发展了数学教师知识的分类和测量工具[2,3].近几年，关于数学教师知识的研究转向对各个具体内容的教学所需要的知识[4-7].尽管一些关于中美小学和初中数学教师知识的比较研究表明，中国数学教师具备丰富的教学策略帮助学生掌握概念和技能[8,9].但是中国高中数学教师，特别是在课程改革背景下的教学知识的特征仍然有待深入研究.
由于代数知识的重要性，特别是函数概念在高中数学中的核心地位.本研究主要关注中国数学教师以函数概念为核心的代数教学知识，回答下列两个研究问题：（1）教师的代数教学知识的一般状况是什么？（2）教师以函数概念为核心的教学知识的特征是什么？
二、研究理论框架
1.教学所需要的数学知识
舒尔曼关于教师知识作出了奠基性工作.其后，研究者从不同视角探索并发展了学科教学知识概念的内涵.近年来，静态的分析研究趋向于把教学内容知识看做学科知识、课程知识、教学知识的综合体[8].动态的建构研究则强调构成学科教学知识的各种成分是相互关联、整合在一起的一个融合体[10].许多数学教育研究者提出了教学所需的数学知识[2]（Mathematics Knowledge for Teaching），认为这是教师所特有的数学知识，是数学知识在教师的教学实践反思中，在与学生学习的互动中不断转化，创造出的一种专业知识.
2.代数教学知识
研究者们提出各种框架来描述教师的代数知识[5-7，11，12].比如，阿帝亚（Artigue）等将代数教学知识分成3类：（1）认识论知识；（2）认知知识；（3）教学法知识[11].认识论方面包括：（a）代数符号系统的复杂性和代数历史发展的艰难性；（b）如何灵活使用代数工具解决各类问题（数学和应用问题）.认知知识是指代数学习过程.其中包括：（a）理解学生代数思维发展；（b）学生对代数概念和记号的解释.教学法知识主要包括：（a）代数课程；（b）不同年级代数教学的目标等.伊文（Even）区分了7类代数内容知识：（1）本质特征；（2）多种表征方式；（3）多种方式引入同一概念；（4）概念的生成性；（5）丰富的实例来阐述概念；（6）程序性熟练和过程性理解；（7）关于数学的观念[5].这些分类强调数学知识的理解、学生学习代数的知识，以及代数课程知识.然而高中代数教学知识是与高等数学中有关的代数知识密切相关，因此，采用弗洛登（Floden）与麦克罗里（McCrory）对代数教学知识的分类：学校代数知识、高等代数知识、教学知识[7].这是一种静态的分析模型.学校代数知识是指中小学数学课程中的代数知识（主要是数与式、方程（组）、不等式、函数）及其结构组织.依据学校代数知识可以使教师在进行新知识教学时了解学生已有的知识，确定学生在解决学校代数问题时所需要的数学知识技能，决定针对学生知识水平的解释内容.高等代数知识包括与学校代数有关的微积分、抽象代数的知识.教学知识以掌握学生的思维为核心，主要包括4个方面：建立在学生的数学观念基础上的教学策略；对学生学习行为与表现的分析判断，以及针对学生的错误概念的指导方法；使学生有兴致地从事数学学习的案例知识与策略知识；促进学生的数学思考的案例知识与策略知识[8].
函数是高中最重要，也是最困难的概念之一.一些研究表明，许多教师的函数概念教学知识存在问题.例如，伊文发现[6]，许多未来教师不具有现代的函数概念，不能把函数看做两个集合之间的单值对应.诺曼（Norman）发现[13]，一些教师只具有不灵活的函数概念的表象，在变式情境下判断函数关系，以及在各种表征之间进行转换时会发生困难.
三、研究方法
1.工具
根据弗洛登的测试问卷[7]，研究者发展了一种工具.第一部分是原问卷中的17个单项选择题，包括解释代数式的意义、解释学生解方程（组）的方法、结合图象判断一个方程的解的个数、复合函数的恒等变换、确定指数函数模型的典型样例、选择利用图象可以解决的方程问题、根据函数图象解释实际问题、求特殊方程的根、讨论两直线垂直与“斜率是负倒数”的一致性、选择引进直线斜率的问题情境、求一个函数在一点处的切线的斜率、判断高次多项式方程的整数根的个数.第二部分是我们发展的与函数概念、方程与不等式、函数性质有关的7个开放题.全部问题分为学校代数、高等代数、教学知识3类.以下是3类问题的例子：
（A）只有（i）
（B）只有（ii）
（C）只有（iii）
（D）只有（i）与（ii）
（E）（i）、（ii）与（iii）
（2）高等代数：思考下列各陈述.陈述中的集合S可以使命题“对于集合S中的元素a与b，如果ab=0，则a=0或b=0.”为真的是（）.
（i）S是实数集合
（ii）S是复数集合
（iii）S是以实数为元素的2×2的矩阵构成的集合
（A）只有（i）
（B）只有（ii）
（C）只有（iii）
（D）只有（i）与（ii）
（E）（i）、（ii）与（iii）
（3）教学知识：下列各种关系中，可以用矩形的面积表示的是（）.
（A）只有（ii）
（B）只有（i）与（ii）
（C）只有（i）与（iii）
（D）只有（ii）与（iii）
（E）（i）、（ii）与（iii）
2.数据收集
由参加北方一所省属师范大学承办的省级高中骨干教师培训和研究生课程班的部分教师参加了这种调查测试.集中测试时间是50分钟.收回试卷55份，无效试卷3份.所有被试按教龄分为三组：a组教龄不超过4年；b组教龄5至9年；c组教龄不小于10年.除3位教师是专科学历外，其他的52位教师都是数学教育专业本科学历.有16人是初级职称，15人是中级职称，24人高级职称.46位教师来自县级学校，其他来自市属中学.
3.数据分析
所有的问题被分成3类：学校代数知识涉及1、3、4、12、14、17、19、22共8个问题.高等代数知识涉及8、9、15、16、21共5个问题.教学知识涉及2、5、6、7、10、11、13、18、20、23、24题.17道选择题对的给1分，错的得0分.对于开放题，研究者发展了一个五级评分标准.最低得0分，最高得4分.例如22题的评分标准如下：面向教学的代数知识的3个成分学校代数、高等代数、教学知识分别用SA、AA、TA表示，满分分别是14分、8分、23分.（如下页表1所示）
22.已知f（x）是定义在有理数集上的函数，对于任意的有理数x、y均满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，试写出f（x）的表达式及推导过程.
四、结果
结果包括两部分：（1）分析被试教师面向教学的代数知识的一般状况；（2）根据开放题中被试教师针对学生的思维方式、概念理解的分析与解释进行质性分析，重点关注教师的教学知识（TA）.测试成绩与数据汇总见表2与表3所示.
1.教师的代数教学知识
各种知识的方差分析见表4～6，不同教龄组开放题得分的平均值见表7.
表4的结果表明：P值大于0.05，所以3个组别在学校代数知识方面没有明显差异.表5的结果表明：P值大于0.05，所以3个组别在高等代数知识方面也没有明显差异.表6的结果表明：P值小于0.01，所以3个组别在教学知识方面有非常明显的差异.从表3中的平均得分看，教龄越长，得分越高；从方差看，a组的教师在教学知识的得分的方差最大，说明内部差异显著.从SA、AA、TA 3组题目的得分率看，各组被试教师均显示AA高于SA，TA最低.
在开放题中，19、22题都是学校代数知识（SA）范围的问题.21题涉及高等代数知识（AA）.19题要求利用两种本质不同的方法解一个一元二次不等式问题，均值最高.除5位教师把不等式符号抄错导致结果错误外，其他教师全部利用两种方法正确求出结果，他们大多选择了“数形结合”方法与“不等式组”两种方法，它们的本质分别是函数与方程的思想方法，与转化降次为两个一次因式.这些教师能领悟到这两种方法的本质不同，但不能明确地表述.许多a组教师提出，利用求根公式解方程或判别式的方法与“二次函数图象法”或“数轴穿根”法（转化为（x-3）（x+4）＞0）是两种本质不同的方法.这种认识还停留在关注方法的表面特征上.
22题涉及函数、有理数概念的灵活应用，均值在5个题目中较低.仅有3位教师（c组）解答全部正确，15位教师能正确证明“当x∈N时，f（x）=2x”，但不能把结果推广到有理数情形.大多数教师仅能计算出一些特殊值，例如f（0）=0,f（2）=4.解决这个问题，一方面，要求教师具有更一般化的函数概念，以及符号运用水平.另一方面，要求对有理数、分数概念的应用要灵活.即教师能把有理数看做分数
（p、q是整数），并且，教师不仅把看做一个结果，还能看做由“q个
”生成的过程.结果表明，被试教师处理一般化的符号表示的函数概念还不灵活，教师的有理数、分数概念还没有达到“对象”水平，只是形成不充分的过程性概念.
21题涉及矩阵及其运算的概念，以及简易逻辑知识.各组教师该题得分的均值在开放题中都较高，他们能做出正确判断，以及举出反例.显示他们能理解矩阵概念、所定义的矩阵运算、以及命题蕴含的逻辑关系.3个组中都有教师判断正确，但给出错误的反例，例如设A或B为零矩阵，这显示他们不明白“否定一个命题‘A=0或B=0’”的逻辑含意.有个别教师没利用举反例的策略，而试图证明自己的判断，结果失败.
2.教师的教学知识
教学知识的核心是关注学生的思维，尤其是教师怎样分析评价学生的概念或表现，以及如何针对学生的现实给以反馈，进行指导和解释.
18、23、24题涉及函数概念的教学.20题涉及教师如何评价学生的斜率概念.
18.假如一名学生认为下列两个关系式都不是函数关系.
（a）请你分别确定（i）与（ii）是否是函数关系.
（b）如果你认为“选择（i）与（ii）不是函数关系”是错误的，请你分析出错的原因.
根据18题的分析结果，虽然所有被试教师都回答（i）与（ii）是函数，但只有14位（25%）教师能比较全面地指出学生判断错误的原因：“在图形断开处，以及x为无理数时，g（x）=0”，“学生以为断开就是非函数.学生弄不清分段函数是一个函数还是多个函数”，“学生不知道对于图象怎样判断对于每一个x，是否有唯一的y与之对应，即做垂直于x轴的直线，看与图象交点的个数”.大多数教师仅指出“不熟悉图象表现的对应关系”，或简单归为“不理解函数概念（定义）”.
这些教师对学生困难的分析显示，他们仅仅认为“函数定义”是学生头脑中已有的知识，是解决该问题所必需的知识.这在对（ii）式的分析中更为明显.他们没有关注“有理数”概念、“无理数”概念对学生判断的影响，没有关注问题的表征形式对学生的影响，这也使得他们在后面的解释策略中除定义外，想不出更有效的方法.
23.（a）分别确定（i）与（ii）是否是函数关系.（b）如果你认为“选择（i）与（ii）不是函数关系”是错误的，请分析出错的原因，以及你将如何向他们解释.
（i）｛（1，4），（2，4），（3，9）｝；
（ii）｛（4，1），（4，2），（9，3）｝.
从23题的结果看，正确率相当低.只有6位教师判断正确，且较全面分析学生产生错误的可能原因.例如：“学生可能读不懂题.或者定义不清，或者直觉上想找对应关系：
，但都不满足.”他们还给出解释的方法.例如，提出在坐标系下画出对应的图象，或用学生更熟悉的形式代替，例如可以把每个数对的横纵坐标分别填入两个椭圆，然后把对应的点用线连起来.而大多数教师只是认为学生不理解函数概念，解释也只限于“让学生审清题目中的数对，观察有没有确定的对应关系”，“复习函数定义.一对一、多对一都符合函数定义”.
12位教师认为，有序数对不能表示一个函数关系，例如，｛（1，4），（2，4），（3，9）｝.“因为函数关系是指关于两个数集的对应，而不是关于有序数对的对应”；“学生的错误在于，可能认为.f：（x，y）→（y，x）是函数”，建议应向“判断错误的学生”强调“函数定义中的A、B两个集合是非空数集，而题目中的集合是点集”.有5位教师也判断错误，认为“函数的3要素是确定性，而（i）与（ii）的对应关系都不确定”.
有7位教师判断“（i）与（ii）是函数关系，对应法则是横纵坐标互换”，这样的解释超出中学函数知识的范畴，反映出这些教师对函数概念本质的准确把握.但也表明，教师不熟悉用“集合符号｛｝”与“有序数对”形式表征的函数问题，所以没有理解问题的意图.
（a）你认为这名学生的解法正确吗？（b）如果你认为正确，请说明理由.如果你认为这个解法错误，请分析导致错误的可能原因.
24题，34位教师能做出正确判断，并给出正确解法.这些教师根本不需要按步骤从上至下分析学生结果，而是根据“用韦达定理应先判断△≥0”、“用求根公式应先判断△≥0”、“没有讨论实根存在的条件”，就得出学生的解法是错误的结论.只有3位c组教师指出学生错误的实质是“没有树立函数思想.函数思想要求先讨论m的定义域”.有6位a组教师回答“因为
最小值只可能是正值，不可能是负值”，这种分析是结果倾向的.5位a组老师无判断或认为学生解答正确.
20题，教师要求一位同学去写出坐标系下经过点A和原点O的直线.这位学生说：“我们可以利用直线y=x作为参考直线.直线AO的斜率应该大约是直线y=x的两倍.因为直线y=x的斜率是1，所以直线AO的斜率应该大约是它的斜率的两倍，即它的方程大约为y=2x，那我们说y=1.9x.”
20题在教学知识（TA）中得分较低.23位教师没有回答或认为学生的方法正确，只是“应该用两点式求出直线方程，这种方法不精确”，或者“若要求解出精确方程，这样说不行.若仅要求估算，应该没关系”，他们没有理解学生错误的实质.有些教师能意识到学生的方法有问题，但不能明确表述.例如“从图上看不出直线AO的斜率为直线y=x斜率的两倍，而且也不是两倍”.
五、结论与讨论
上面结果显示，3个组别的被试教师在学校代数知识（SA）、高等代数知识（AA）方面没有明显差异，但在教学知识（TA）方面有非常明显的差异，教龄越长，得分越高.各组被试教师的高等代数知识得分率都最高，教学知识的得分率最低.具体来说，（1）在高等代数知识方面，教师能理解一些基础而重要的概念，并掌握公式算法.但理解涉及逻辑知识的一些符号表示的复合命题时有困难.（2）在学校代数知识方面，大多数教师显示出扎实的代数基础知识与技能，特别是常规问题的解法明确，运算准确.但一些问题的解答同时表明，许多教师关注的是解决问题方法的表面特征，不能明确表述或区分不同解法背后的思想本质的异同.一些教师难以理解函数作为两个集合之间的特殊对应、直角坐标系下的子集合，这与国外研究发现一致[6].教师倾向利用代数符号表征、图象表征来判断一个对应关系是否是函数关系，强调“可见”的对应关系是他们进行判断的主要依据.得分低于高等代数知识的一个主要原因是，大多数教师在处理学校代数的探究性问题上能力尚需提高，需要形成更灵活的数与式的概念，以及符号表示和推理能力.（3）被试教师在教学知识方面相对薄弱.他们理解学生错误的实质有困难，不能针对数学问题解决所必须的知识技能与学生的知识经验与思维水平，以及问题的表征形式全面分析学生的表现，这也使得他们反馈学生的策略方法单一，除了反复强调定义外很难提供更有效的解释.
研究表明，高中数学教师具体较为扎实的学校代数与高等数学中有关代数的知识，但在理解学生的学习困难，错误概念等方面有待提高.在中国课程改革的背景下，数学教学更加关注学生的理解，发展学生的探究与合作学习能力于提高教师的数学素养，掌握学生学习的规律提出挑战.受高考的影响，许多教师坚信：熟能生巧！“为理解而教”对于许多教师，特别是农村教师还是一个新的观念.
致谢：感谢华东师范大学数学系张奠宙教授和鲍建生教授提供宝贵题目用来发展调查问卷！
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