例谈平面几何中几种最值问题，本文主要内容关键词为：平面几何论文,几种论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
某平面几何元素在给定条件下变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为平面几何最值问题.这类试题综合性强、能力要求高，能较全面地考查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.近年来，中考对平面几何最值问题的考查呈现出最值模式的多样化和综合化，题型也由填空题、选择题向解答题变化.本文试结合试题，将蕴涵在其中的各种最值问题显现出来，并尝试揭示出各类最值问题的解题策略.
一、线段最值问题
运用“两点之间线段最短”“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等距离知识来解决最值问题，通称为“线段最值问题”.这类问题是平面几何最值问题中较为常见的形式.
1.两点之间线段最短
例1如图1是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm.母线OE（OF）长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点.则此蚂蚁爬行的最短距离为______cm.
剖析：解决沿立体图形表面爬行最短问题的关键是将立体图形转化为平面图形，如图2，沿圆锥母线OE剪开得到圆心角为180°的扇形OEE′（即椭圆），点F为
的中点，由两点之间线段最短可知EA长即为蚂蚁爬行的最短距离，借助勾股定理得
.
2.垂线段最短
（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；
剖析：第（1）、（2）问较简单，直线AB的解析式为
，抛物线的解析式为
直线1与⊙A相切.第（3）问难点在能否由第（2）问的特殊情形所得到的结论（抛物线上的特殊点A到原点O的距离与点A到直线x=-2的距离相等）入手猜想一般情况也具有同样的结论（抛物线上任一点到原点的距离与该点到直线l的距离相等）.并在此基础上，将一般情况退到特殊情况（点P为线段DH与抛物线的交点时，△PDO的周长最小）来加以解决，着重考查学生“运动之中寻求不变”处理问题的策略、“由特殊到一般再到特殊”猜想与解决问题的常规方法.如图4，作PF⊥l，垂足为点F，得PO=PF.由DO为定长，要使△PDO的周长最小，必须PD+PO长最小，即PD+PF长最小，由垂线段最短可知，当点D、P、F在同一直线时，PD+PF长最小.
例1的处理策略是将曲面上两点之间长度的最值问题转化为平面上两点之间的距离——线段的长；例2改变了以往在考查“周长（或线段和）的最小值”这一类问题时，动点只能在直线（或线段或射线）上运动的形式，“动点在曲线（抛物线）上运动”着实令人眼前一亮，大部分考生受思维定势影响：从作出点D关于x轴（或y轴）的对称点或作出线段DO的中垂线等角度来思考，缺乏变通能力.
二、轴对称最值问题
相传，海伦是古希腊亚历山大城精通数学、物理的学者.一天，一位将军向他请教一个问题：如图5所示，将军准备从A点出发，想让马到一条笔直的河流上去饮水，然后再去B地，那么走怎样的路线最短呢？海伦稍加思索，构建出下面数学模型，顺利解决了问题：如图6，把河岸看作直线l，取A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或B′A），与直线l交于点P，则点P就是将军饮马的地点，PA+PB为最短路线.
这就是著名的“将军饮马”故事（可借助辅助点
利用三角形三边关系来说明此时P+PB最短），其所构建的几何图形常称为“轴对称最值模式”，在解决问题时，关键是要把握好三个要点：适用的条件（定直线同侧两个定点）、解决的问题（直线上的点到两定点距离之和最短）、处理的方法（作其中一点关于此直线的对称点）.
例3 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
温馨提示：如图7（1），可以作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了.
（2）如图7（2），若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
“轴对称最值问题”是几何最值问题中最为活跃的一类题型，是中考热点，不少省市将其与坐标系相结合放置到压轴题的高度加以考查，并呈现出较多的变式：一点关于两直线对称、两点关于两直线对称、平移对称等，这类问题处理的策略为通过轴对称变换（有时还要结合平移变换）把几个路径变到同一条直线上.
三、直径最值问题
圆中的最值问题常常与直径有关，主要运用以下知识：直径是圆中最长的弦，过圆内一点的所有弦中以垂直于过该点直径的弦最短，非圆上一点（不为圆心）到过该点及圆心的直线与圆的两个交点的距离最长或最短，弧的中点到弧所对弦的距离最长等.
例4 如图9，将一直径为17cm的圆形纸片（如图9（1））剪成如图9（2）所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体（如图9（3））形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为______
（1）求证：AC·CD=PC·BC；
（2）略；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S.
以上两例中均用到了“直径是圆中最长的弦”这一知识，所涉及的最值线段具有特殊的位置，处理的实质还是反复运用三角形的三边关系.
四、等周最值问题
这是一类特殊的几何最值问题，即对平面图形的周界加了一些限制，要求找出最大面积的平面图形.有以下两个重要的结论：边数相同周长相等的多边形中以正多边形的面积最大、周长相等的所有封闭的平面图形中以圆的面积最大.反过来，面积相等的平面图形中以圆的周长最小.
例6用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒摆成一个三角形（允许连接，但不允许折断），在所有摆成的三角形中，面积最大的三角形的面积为______
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五、配方最值问题
有不少代数与几何的综合题需运用代数知识来解决几何最值问题，通常要处理好以下两个环节：依据几何性质建立关系式；选用完全平方公式、一元二次方程根的判别式、二次函数顶点式（实质是配方法的具体应用）等知识对算式进行变形以确定最值.有时要注意取值范围的限制.
剖析：点P坐标为
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，y最大，并求出最大值.
通过以上各例的剖析我们发现平面几何最值问题的形式较多，但大致可分为两类，一类是应用几何知识加以解决，关键是把若干线段归结到同一条直线上；另一类是借助代数知识处理，核心是配方法的灵活运用.在平时的学习过程中，要积极积累并自觉使用这些相关模式，而不少最值问题具有非常规背景和情境，在具体解决时，还需转化或分解问题，需要对模式加以叠加综合、重组创新，也就是说需努力突破固有问题的思维束缚，才能得心应手地解决各类平面几何最值问题.