综合题的类型、编制和解题策略，本文主要内容关键词为：策略论文,类型论文,综合题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学综合题一般是指涉及一科中较多的数学知识或是涉及多科数学知识的题目，这类题目由于应用知识广泛，结构新颖，解法无固定程式可循而有一定难度。而从某种意义上说，题目的各种解题思路，渊于它的编制方法，深入考察综合题的编制思想，有助于从根本上提高解题能力。要解好综合题，还要使解题者深刻理解数学中各科的基础知识，准确熟练地掌握数学中出现的常见数学思想方法，才能应付自如。
1 综合题的类型
综合题按不同的标准有不同的分类方法。
1.1 按所涉及的知识内容可分为纵向型和横向型
例1 （1994年吉林）如图1，已知抛物线y＝－3x[2]－（2c－b）x＋a[2]，其中a、b、c是一个直角三角形的三边长，且a＜b＜c，又知这个三角形两锐角的正弦分别是方程25x[2]－35x＋12＝0的两个根。
求：（1）a∶b∶c，（2）设这条抛物线与x轴的左、右交点分别为M、N，与y轴交点为T，顶点为P，求△MPT的面积（用只含a 的代数式表示）
说明 该题由代数4个知识点，几何1个知识点，三角一个知识点综合而成，属横向联合型（或代数、几何、三角综合型）
例2 （1999年广东）已知点P在一次函数y＝2x＋1的图象上， 点P的横坐标和纵坐标是关于x的一元二次方程x[2]－（m－3）x＋m＝0的两个根，求m的值。
说明 本题由代数的4个知识组合成的，属纵向联合型， （或代数单科型）
1.2 按知识的组合方式，分串联型和并联型
例3 （1997年天津）如图2，已知抛物线y＝x[2]＋px＋q与x 轴交于A、B两点，交y轴负半轴于点C，∠ACB＝90°，且1／OA－1／OB＝2／OC，求△ABC的外接圆面积。
说明 此题由代数5个知识点，几何3个知识点组成，且环环紧扣，属横向联合（或代数、几何双科型）的串联型。
例4 （1986年南宁）已知a、b、c分别是△ABC三个内角的对边， 若方程Ax[2]－（B＋C）x＋A＝0有两个相等的实数根，且bcosC＝ccosB，求证：△ABC是正三角形。
说明 本题由代数3个知识点，几何2个知识点组合而成，且彼此独立，所以是并联型（或代数、几何双科型）
1.3 按结论形式分成一题一问型和一题多问型。
例2、3、4是一题一问型，例1是一题多问型。
例5 （1993年成都）已知抛物线y＝ax[2]＋bx＋c（a＜0）与x 轴交于A、B两点（点A在B点的左边），且A、B两点的横坐标分别是方程x[2]－2x－3＝0的两个实数根，又点C（0，m）在抛物线上，在△ABC中，∠ACB≥90°。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求a的取值范围；
（3）若y取最大值时的抛物线的顶点为M，求抛物线的解析式；
（4）求△ABM的外接圆的直径。
说明 此题的各个小题步步深入，解决后面的小题必须在解决前面小题的基础上进行，这类一题多问型综合题既属递进式，也属串联型（或代数、几何双科型），又属横向型综合题。
例6 （2000南京）如图3，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，与BC相交于E点，
（1）若BC＝
，CD＝1，求⊙O的半径。
（2）取BE的中点F，连接DF，
求证：DF是⊙O的切线。
（3）过D作DG⊥BC，垂足为G，OE与DG相交于点M：①求证：DM＝GM，②连接BM并延长与OC交于点N，试判断以N为圆心，经过点E的⊙N与⊙O的位置关系？并说明理由。
说明 该题各小题各自互相独立，属并列式一题多问型综合题，（或几何单科综合题），又属纵向型、并联型。
2 综合题的编制
编制综合题要根据考查的知识点和能力的需要而定基本题、图形（或课本例、习题），然后逐步改造、拓展、引伸等手段，且考虑到能力立意的原则。
2.1 由课本例题编制综合题
义务教材人教版《几何》第三册p.94例2。
如图4，AD是△ABC的高，AE是其外接圆直径，求证：AB·AC＝AD·AE。
改编的综合题：
例7 （1994年武汉）如图5，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC与边BC和△ABC的外接圆分别交于点D、E。
求证：（1）△ABD～△AEC；
（2）若作EF⊥AB于F，则AF＝（1／2）（AB＋AC）；
（3）AD／AB＋AD／AC＝2cos（∠BAC／2）。
2.2 由中考题编制综合题
（基本题）（1995年台州）如图6，已知PA切圆O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，M是
的中点，AM交BC于点B、C，EC为直径，PA＝PD，DF⊥PC于D。求证：PD[2]＝PB·PC。
在基本题条件不变的情况下得综合题。
例8 已知：原题
求证：BD·PC＝DC·PD。（1996年长沙）
2.3 将几个基本题叠加为综合题
例9 （1995年南昌）如图7，PA为⊙O的切线，A为切点， 割线PBC交⊙O于点B、C，EC为直径，PA＝PD，DF⊥PC于点D，交⊙O于F，PE延长线交⊙O于F，求证：PC·PE＝PD·PF。
将此题与1995年台州（基本题）拼在一起得综合题。
例10 （1997年咸宁）如图8，从⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，EC是直径，M是
的中点，AM交PC于D，作DF⊥PC交PE 延长线于F，求证：
（1）PA＝PD；（2）PC·PE＝PD·PF。
3 综合题的解题策略
由前面对综合题的类型及编制的探究，对综合题的结构和本质有一定的认识，对解综合题的策略大有启示。
3.1 分析法与综合法结合起来思考
例11 如图9，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，交BC与D。
求证：tan∠ABC·tan∠ABC＝AD／DE。
分析 先挖掘图形中隐含的性质。
由AE是⊙O的直径，联想：①连BE、CE得Rt△ABE和Rt△ACE。 ②得到△ABD～△CED，△ACD～△BED。
由tan∠ABC·tan∠ACB，联想：①Rt△ABE与Rt△ACE中，tan∠ABC＝tan∠AEC＝AC／CE，tan∠ACB＝tan∠AEB＝AB／BE，tan∠ABC ·tan∠ACB＝（AB／CE）·（AC／BE），②△ABD～△CED，AB／CE＝AD／CD，△ACD～△BED，AC／BE＝CD／DE。
所以tan∠ABC·tan∠ACB＝（AD／CD）·（CD／DE）＝AD／DE。
分析法与综合法同时使用，即为两头凑，是经常用的解题方法。
3.2 从正反两方面来思考问题
在解综合题时，既要注意到问题的正面，还要考虑到问题的反面，谨防思维定势。
3.3 把陌生的新问题与熟知的问题结合起来思考
注意到综合题与熟知的问题结合起来思考往往能起到较好效果，陌生的新问题通过变形或变换转化为已知的、熟知的问题或基本题或基本图形，使陌生问题得到解决。