浙江省诸暨市三都中学 311800
《2017年浙江省普通高考考试说明》对双曲线的考试要求是了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系。双曲线中基本知识的考查中常常涉及到双曲线基本量（a、b、c之间）的关系以及双曲线的渐近线，特别是双曲线的离心率。双曲线的离心率解题关键是挖掘出题中的隐含条件，巧用定义和性质，从而避开大量计算，达到化繁为简、化难为易的目的。
一、利用定义和比例性质求双曲线的离心率
双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，解题时可根据已知条件找到e= 的关系，从而利用定义来求出双曲线的离心率。
例1.已知F1、F2分别是双曲线 － =1（a＞0,b＞0）的左右焦点,点P是双曲线右支上一点,O为坐标原点。若|PF2|∶|PO|∶|PF1|=1∶2∶4，则双曲线的离心率为( )。
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
解析：依条件有：|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=4|PF2|，得|PF2|= ,|PF1|＝ ，从而有|PO|=2|PF2|＝ 。又2PO=PF1+PF2，且F1F2＝PF2－PF1，两式分别平方并相加得4PO＋F1F2＝2PF2＋2PF1，即2× ＋2c2= ＋ ，得c2＝2a2，故离心率e= 2。
例2.设F1、F2分别是双曲线 － =1(a＞0,b＞0)的左右焦点,双曲线上存在一点P，使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|= ab，则该双曲线的离心率为（ ）。
A．B.C.D.3
解析：不妨设P是双曲线右支上一点，根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=3b，可得|PF1|= ，|PF2|= ，代入|PF1|·|PF2|= ab可计算得9b2-9ab-4a2=0，即3b=4a，故离心率e= 。
点评：本题是2014年重庆高考题，主要考查学生对双曲线定义的理解，结合定义可以快速求出|PF1|、|PF2|。从整体上来讲本题属于中等难度。在高中阶段，我们接触到的都是标准的双曲线 － =1(a＞0,b＞0)的离心率e= ，其它形式的双曲线的离心率的求值问题应该根据定义来进行求解。
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李士锜认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么就说明是理解了。”在高三备考复习时,教师要引导学生回归教材和夯实基础, 要重视对概念的学习,对教材中的知识点理解透彻,做到融会贯通、学以致用。
二、利用平面几何性质求双曲线的离心率
例3．已知点P在以F1、F1为左右焦点的双曲线 － =1(a＞0,b＞0)的右支上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）。
解析：由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c，由QF1=2c,OF1=C，在直角三角形OQF1中∠QF1O= ，所以∠PF2F1= 。由余弦定理可得PF1=2 3c，则2a=PF1-PF2=2 3c-2c，所以e= = = = 。
点评：本题把双曲线的问题放在菱形中考查，掌握菱形和三角形的相关性质是解决本题的基础，利用性质和双曲线的定义计算出2a=PF1-PF2是本题的关键。
很多时候学生往往有种思维定势，我们平常的大量练习中常常引导学生找到 双曲线基本量（a、b、c之间）的关系来求离心率e= 。例2中解题时学生容易求出P(c, 3c)，将它代入 － =1来求出离心率。整个代数运算相对来说比较复杂，运算过程中出现了四次齐次方程4c4-8a2c2+a4=0，不仅花费的时间较多，而且容易出错。如果此时学生能够巧用性质，那就可以节省大量的时间。
例4.已知F1、F2分别是双曲线 － =1(a＞0,b＞0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y= x对称，则该双曲线的离心率为（ ）。
A. 2 B.C.2 D. 5
分析：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，本题可抓住对称性，构造中位线，结合双曲线的定义求出离心率。
解析：点F2到渐近线的距离为b，由对称性可得PF2＝2b。记直线y= x与直线PF2的交点为Q,在直角三角形QOF2中,QF2＝b,OF2＝c，所以OQ=a。由于OQ是三角形PF2F2的中位线,则PF1＝2,所以2a=PF2-PF1=2b-2a,则b=2a,即e= = 5。
点评:本题的解答充分利用了对称性,通过构造中位线,利用勾股定理,借助双曲线的定义快速地解决了离心率问题。这就要求学生能够善于观察。解题时有部分学生会考虑通过对称,求出P（ ,）,代入曲线方程得到- =1,经过化简整理可以得到c2=5a2,整个解答计算繁琐容易出错,整体来说不是最佳的解题方法。
双曲线的离心率问题一直是高考考查的热点,一般会出现在选择题和填空题,学生在解题时要善于探究题干背后的几何图形,掌握定义,活用性质,从而避开大量计算,减少失误,最终感受解题的乐趣。
论文作者:方佳龙
论文发表刊物:《教育学文摘》2017年2月总第220期
论文发表时间:2017/2/28
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