例题教学中引导学生提出问题，本文主要内容关键词为：例题论文,引导学生论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“发明千千万，起点在一问.”人民教育家陶行知的话充分说明了学生主动探索，自己发现问题、提出问题的重要性.[1]“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则是让学生自己提问.”[2]美国教育家布鲁巴克言简意赅地告诉我们，什么是教学的最高境界，教学应该追求什么，要培养学生怎样的能力.新课程改革特别强调培养学生的主体意识和问题意识，培养学生提出问题和解决问题的能力，旨在培养学生的创新意识和创新能力.一般来说，提出问题比解决问题更重要，也更难.由于受到年龄和知识的限制，中学生很难提出有意义的数学问题，这就需要我们广大教师在平时的教学中有目的地去加以引导培养，下面谈谈在例题教学中如何引导学生提出问题.
一、利用类比推广
对已知数学成果作类比和推广，这是产生有价值的数学问题一个很重要的途径，这种产生问题的方式既具有可模仿性，又对学习者的知识水平具有普遍的适应性.[3]一类典型的具有可模仿性的类比推广问题是圆锥曲线，仔细研究，大多数圆的性质都可以用某种方法推广为圆锥曲线的性质.这类探究性问题适合高中学生的知识水平.
例1：圆的切线具有一个简单性质：圆的切线垂直于过切点的半径（简称切线性质定理）.
问题：怎样把圆的切线性质定理推广到一般的圆锥曲线上？
思考：（1）为了对圆锥曲线研究的方便，用法线来表述相应的切线性质.曲线的法线是指过切点且与切线垂直的直线，圆的切线性质定理用法线方式表达为：圆的法线与过切点的半径一致（即交角为0）.
（2）关于圆锥曲线的半径，我们作以下约定：椭圆上一点P有两条焦半径，即P与两个焦点的连线；双曲线上一点P也有两条焦半径，只是其中一条在点P所在的双曲线分支之外，如果用其延长线来代替这条线外的焦半径，则双曲线上一点P在同一分支内也有两条焦半径；抛物线上一点P，只有一条焦半径，但可以认为抛物线有另一个焦点在无穷远处，这样把过点P所作的与抛物线对称轴平行的射线也当成一条焦半径，抛物线上的点P也有两条焦半径.研究不难发现，在上面关于圆锥曲线焦半径观点之下，圆的切线性质可以推广到一般圆锥曲线上.
定理：圆锥曲线上一点的法线（切线的垂线）平分两条焦半径的夹角.
现代科学的发展使我们相信，每一个特定的规律都可能是另外某个更为一般规律的特定情形，定理法则的永恒的可推广性是科学的魅力之所在.如果我们在平时的例题教学中，多做一些这样推广的尝试，久而久之，学生会在不知不觉中学会利用类比推广方法来提出问题.
二、运用迁移原理
心理学上把一种学习对另一种学习的影响称为迁移.[4]高中的数学知识包括代数、三角、立体几何、解析几何与概率统计，它们各自内部以及它们相互之间的联系非常紧密，知识与方法可以互相迁移，从而使数学的思想（如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想等）与方法的内涵更加丰富.在例题教学中，我们要紧紧抓住数学知识与方法的可迁移性，引导学生提出问题.
例2：设抛物线
=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明：直线AC必过原点.
这是2001年全国高考理科数学第19题.虽然此题是课本习题的改编题，但它高于课本，解题切口较宽，方法多样，内涵丰富.笔者在例题教学后，要求学生前后4人一组讨论，如何把这一命题“移植”到椭圆上（不管命题的真假），然后要求组与组之间交流成果，巡视发现学生研究讨论后，得出以下两个命题.
命题1：设椭圆
（a＞b＞0）的一个焦点为F，经过点F的直线交椭圆于A，B两点，点C在点F相应的准线l上，且BC//x轴，则直线ac过椭圆相应的顶点.
命题2：设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F，经过点F的直线交椭圆于A，B两点，点C在点F相应的准线l上，且BC//x轴，则直线AC过线段EF的中点D（E为l与x轴的交点）.
再让提出命题1或2的小组，用证明例题的方法（方法的迁移）自己研究证明命题的真与假，让学生经历成功与失败，最后得出只有命题2正确，这时，学生自然地会提出问题，这一命题移植到双曲线如何？很快得到下面命题.
命题3：设双曲线
（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，经过点F的直线交双曲线于A，B两点，点C在点F相应的准线l上，且BC//x轴，则直线AC过线段EF的中点D（E为l与x轴的交点）.
这样的例子不胜枚举，只要我们在平时的例题教学中多做一些这样的尝试（哪怕移植的命题不真），学生就会在潜移默化中学会提出这样的问题：老师刚讲的例题，可不可以“移植”到其他方面上去？如果能，应该怎样“移植”？得到的新命题是真的还是假的？
三、反思课本例习题
高中教材上绝大多数的例习题都是很典型的，我们应该鼓励学生在解题后，能进行积极的反思，目的就是给学生以发现、探索、总结、发展的空间.培养学生的反思习惯，即元认知的意识，目的就是让学生能大胆地发现问题和提出问题，现以高中数学第二册（上）（试验修订本·必修）为例，从以下几个方面引导学生发现问题和提出问题.
1.概括型问题
引导学生对已有结论之间进行对比分析，独立概括.对知识的系统化，学生的知识建构都有一定的作用，如：
笔者与学生共同用分析法探讨完题1之后，就让学生们分组去做题2至5，发现学生都能用分析法完成，至此笔者并没有罢休，而是引导学生观察、比较，一会儿，有学生发现：3＋8=1＋10；6＋7=8＋5等.经过同学们的讨论发现，不等式成立的关键理由为：3×8＞1×10；6×7＞8×5.于是进一步猜测是否有命题：a，b，c，d
，a＋b=c＋d，且ab＞cd，则
，易证明此命题为真.于是笔者又引导学生再深入一步：在3＋8=1+10；6＋7=8＋5的前提下，3×8＞1×10；6×7＞8×5的奥秘何在？笔者与同学们一起探讨发现6和7较近，8与5较远，于是有一位平时善于思考的同学就提出了这样问题：如果a，b，c，d，a＋b=c＋d且|a-b|＞|c-d|，那么ab＜cd.
2.猜想型问题
牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”.[5]翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史，可见猜想与数学发现是形影相随的，我们可以反思课本上的例习题，引导学生从合情推理中进行猜想，培养他们提出问题的能力.
题6：点M与椭圆
的左焦点与右焦点的距离的比是2∶3，求点M的轨迹方程（教材p.103习题10）.
3.探究开放型问题
结合课本设计一些探究型问题，是学生喜欢追根问底好奇心的需要.这就需要我们做个有心人，多了解学生，钻研教材时多问几个“为什么”，可以引导学生对命题进行一般化、特殊化或逆向思维，提出探究型问题，如：
题7：在椭圆
上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直（教材p.132复习题6）
在习题课上，笔者发现学生都能顺利完成题7，于是就问同学们是否在任意椭圆上都能找到满足该条件的点呢？于是有同学把题7改为：
题8：在椭圆
上是否存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂直？若能，求出该点；若不存在，请说明理由.
此处，鼓励同学们动手做，仿造题7做法，学生发现满足条件的方程式组无解.发现好多学生并没就此罢手，还若有所思.于是，笔者趁势把题8改为：
题9：在椭圆
上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，求b的取值范围.
通过以上3个题目的运算，笔者引导学生反思解题过程，有的学生发现这些问题的实质是椭圆与圆在运动变化中的关系.自然有学生就提出了这样的问题：
题10：其他条件不变，把椭圆方程改为：
，此时，b应该满足什么样的条件？
这题笔者并没有解答，而是让学生带着问题走出课堂.
四、变更条件与结论
任何一个数学命题均有条件、结论两部分，是否可逆？定理、公式、法则能否逆向应用？如何从反面探求思路？怎样利用逆向思维解题？如何掌握“正难则反”的方法，逆命题是什么？是真命题还是假命题？等等，可见值得提问探讨的问题很多.
如：1，2，3，6这四个数中，任意三个数的和是第四个数的倍数，那么推而广之，会有什么结论呢？即四个不同的自然数a，2a，3a，6a（a是任一非零自然数）中，任意三个的和是第四个的倍数.如果我们逆过来思考，就会有问题：如果三个不同的自然数的和是第四个数的倍数，那这第四个数是怎样的数呢？
又如平面截球，交线一定是圆.反过来如果平面与某个曲面相交，其交线都是圆，那么已知的曲面是否一定是球面呢？
通过考虑一个命题的逆命题是否成立，是提出问题的最常用方法之一.学了有关的判定定理后，因尽可能地让学生想它的逆命题是什么？是否是真命题？即使一时证不出它的真假，也能让学生有所收获.让我们看下面一个例子：
一位当代的计算数论家Carl Pomerance回忆中学时代参加一次普通的数学比赛，一个题目要求分解整数8051，Pomerance没有采用通常的因数检验法，依次用小于
的素数去除8051，他力图寻找更简便的方法求出8051的素因子，但最后没有在限定时间内找到简便分解法，而实际上
，但是失败并没有让这位未来的数论家放弃对这个问题的进一步探究，相反失败使Pomerance发现一个一般性的问题：是否一个能够分解的整数都能通过平方差的形式分解呢？令人惊讶的是这个问题的答案是肯定的.我们能够证明：每个奇合数的分解必定是平方差形式的分解.
总之，引导学生提出问题需要一个不断的循序渐进的过程.在例题教学中，要引导学生逆向提问，鼓励学生大胆运用类比推广、迁移或反思例题，让学生自己提出问题，自己尽可能地去解决问题.在学生提出问题的过程中，教师要选择好引导的时机，把握引导的力度，讲究引导的方法.要善于捕捉学生的“闪光点”，对他们提出的问题要及时做出判断、反应，并加以指导.及时给予肯定、鼓励和表扬（即使学生提出的问题古怪、幼稚可笑甚至是错误的），最大限度地激活学生的好奇心，使学生们时刻保持着对数学学习的兴趣和信心.