上海市吴淞中学 201900
摘 要：本文主要利用TI-nspire CX CAS图形计算器对一道关于“椭圆中的一条动直线在运动过程中所形成的轨迹图形的补集图形所对应的面积是否为定值的问题”进行探究，利用TI-nspire CX CAS计算器的图像跟踪功能及CAS计算功能推导得出相关结论，并进一步将它类比到双曲线，抛物线中进行探究。TI图形计算器是一种既能计算又能作图的新型的数学使用工具，它具备符号代数系统、几何操作系统、数据分析系统等，可以直观地绘制各种图形，并进行动态演示、跟踪轨迹等等。
关键词：图形计算器 椭圆 双曲线 抛物线 面积
一、问题描述
如图1，椭圆Ｃ的方程为： +y2=1，点Ａ、Ｂ是椭圆Ｃ上的任意两点，Ｏ是坐标原点，且ＯＡ⊥ＯＢ，设过Ａ、Ｂ两点的直线为l，集合P={（x，y）|（x，y）l}，则由P中的所有点所组成的封闭图形的面积是否为定值？如果是定值，写出探究过程；如果不是定值，说明理由。
图1
二、问题解决
1.跟踪探索。
学生对于所求问题的面积一脸茫然，原因是不清楚P中的所有点所组成的封闭图形是什么形状？这时，我们可以借助图形计算器的几何跟踪功能来探个究竟，看看P中的所有点所组成的封闭图形的具体形状是什么。
图2 图3
图中A是主动点，B是从动点，我们现在对直线进行几何跟踪，当拖动点A时，直线l的轨迹如图2所示，观察直线l的轨迹，发现其每一条运动轨迹都与圆心为点O的某个定圆相切，这表明P中的所有点所组成的封闭图形是个圆（如图3），圆心到直线l的距离是定值，这个定值就是半径r，所以只需求出半径r来，那么上述问题的封闭图形的面积就能具体计算了。
2.用运算求解。
进行分析后，用CAS运算求解得到r=，面积S= π，如图4，图5，图6，图7，图8。
图4图5
图6图7
图8
3.引申结论：已知椭圆方程是 ＋ =l（a>b>0），点A，B是椭圆上的任意两点，O是坐标原点，且OA⊥OB，设过A，B两点的直线为l，集合P=｛（x，y）|（x，y）l｝，则由P中的所有点所组成的封闭图形的面积为π· （探究过程与上面CAS运算求解过程类似，这里就不赘述了）。
4.类比探究：（1）在双曲线中的探究：如图9，已知双曲线方程为: － =1（b>a>0），点A，B是双曲线上的任意两点，O是坐标原点，且OA⊥OB，设过A，B两点的直线为l，集合P=｛（x，y）|（x，y）l｝，则由P中的所有点所组成的封闭图形面积是否为定值？见原稿图片
图9 图10
这里要注意题干中b>a>0这个条件，如果b≤a，双曲线上就不会存在A，B两点，使得OA⊥OB。我们借助图形计算器对直线进行几何跟踪，当拖动点A时，直线l的轨迹如图10所示，观察直线的轨迹，发现其每一条运动轨迹都与圆心为点O的某个定圆相切，这表明P中的所有点所组成的封闭图形是个圆，圆心到直线l的距离是定值，这个定值就是半径r（探究过程与上面CAS运算求解过程类似，这里就不赘述了），经过运算求解得r=，封闭图形面积为π· 。
（2）在抛物线中的探究：如图11，已知抛物线的方程为：y2=2px（p>0），点A，B是抛物线上不同于原点的任意两点，O是坐标原点，且OA⊥OB，设过A，B两点的直线为l，集合Q=｛（x，y）|（x，y）l｝，则由Q中的所有点所组成的封闭图形还是圆吗？
图11 图12
同样的，我们借助图形计算器对直线l进行几何跟踪，当拖动点A时，直线l的轨迹如图11所示，观察直线l的轨迹，发现其覆盖了整个坐标平面，这表明Q中的所有点所组成的封闭图形不存在，但我们发现所有运动直线都经过x轴上的一个定点，不禁好奇这个定点坐标究竟是多少，通过下面的探究发现定点是（2p，0），具体过程见图13，图14。
图13 图14
三、体会感受
今天信息技术给予教学的支持是全方位的，教师和学生可以利用技术的强大功能，做过去课堂中完全做不到的事情。课堂上教师直接灌输知识，可以让学生在短时间内得到更多的知识，但这样做很难让学生得到“探究思考”的过程。先让学生思考、感悟，经历“猜想——验证”、“发现——论证”的过程，然后上升为理性认识，这样得到的知识才能根深蒂固。越是看上去简单的知识，越要让学生去亲身感悟，从中获得“探究思考”的体验，从而将创造力的培养蕴含其中。例如，TI-nspire CAS计算器的功能设计就充分考虑到了教师教学和学生学习的实际需要。“讲解示范——模仿训练”的方式，可以在短时间内向学生传达大量知识，但不利于提高学生的批判性思维能力和想象力，不可能使学生学会发现和鉴别数学事实、对数学现象进行严谨的逻辑分析、形成对数学知识的理性认识。因此，在平时的教学活动中一定要加强实践环节，加强自主探索活动，加强合作、交流等，这样获取的知识才能根深蒂固，而这一教学活动的实现关键在教育技术的合理选择与运用上。我个人认为TI图形计算器的问世给老师和学生带来了福音，是老师展开教学活动、学生探究实践的好帮手！
论文作者:董海艳
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第313期
论文发表时间:2018/3/26
标签：图形论文; 直线论文; 双曲线论文; 如图论文; 轨迹论文; 计算器论文; 两点论文; 《中小学教育》2018年第313期论文;