“活络”教材的问题演绎--浅谈教材的解读方法_数轴论文

问题演绎“活络”教材——小议教材解读的方法，本文主要内容关键词为：教材论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      有句广告词：痛则不通，通则不痛；说明打通、“活络”筋脉的重要性.教材解读亦如此，若视高质量的备课是专利成果的话，则有效的课堂教学就是成果的产业化，足见备课设计的重要性.众所周知，备课需备学生、备教法、备学法、备媒体等，但都需与教材内容相匹配，足见解读教材的重要性.我们“活络”（解读）教材的观点是：从“课本内容”看“知识体系（前后关联）”，从“课本练习”定“课堂达标（基本要求）”，从“习题题目”呈“课后巩固（阶段要求）”.

      一、先谈课本内容的解读思路

      对于课本内容，我们解读的方法是：先找准新旧知识联系的中心问题，一般直接来自于文本的导入语或过渡语，再围绕之展开从简单到复杂、从基本到组合的问题演绎.

      案例1 湘教版七年级上册第15页1.3有理数大小的比较.

      文本呈现 “我们已经会比较正数的大小，例如5＞3，

；并且还知道正数都大于0.”

      文本解读 这段话就是我们找出的一个中心问题.结合这句话前后关联，我们可解读出：前面已学基础有正、负数及有理数的概念与分类，数轴、相反数与绝对值3个核心模型概念，因此在备课设计中，必须针对原课堂表现、作业情况、课前调研等作出对应策略，比如温习一下或文字或题组考查或检测等；同时在后面的加减运算中，对于异号两数相加，涉及大小比较，故知本节知识点又是加减运算的基础；因此我们做出如下演绎：

      问题演绎1 小学对于两个数大小如何比较的？用中学数学的眼光看实质是会比较什么数的大小了？如何比较大小的？

      思路意图 揭示小学会比较的是“两个正数、正数与0”的大小；用中学知识演绎就是：方法1，数轴法，先在数轴上表示出来（如5与3标在数轴上，发现5在3的右边），结合小学积累的基本经验（5大于3），发现一般结论：右边的数大于左边的数.方法2，绝对值法，算术数等于它的绝对值，结合小学积累的基本经验，对正数比较大小，绝对值大的那个数就大些.方法3，生活法，看作具体的实物！这样处理，即有对旧知的温习，更有对小学算术数大小比较运用前面刚学的知识更高层次的理解与提升（用新的概念如绝对值看旧知、新的方法如数轴几何直观看旧方法），更为后面学习做了方法上的引领与铺垫.

      问题演绎2 初中又加入了什么数（教学进程自然过渡语）？有哪些类型？如何比较它们的大小？

      思路意图 先揭示出“正数与正数、正数与0（小学已学过的）”及“正数与负数、0与负数、负数与负数”（这正是本节研究的目标），渗透与提炼分类数学思想方法.再给出具体的例子，如2与-10，0与-10，-10与-15进行具体的启发与引领.

      方法1，生活法，如书本上有的温度计观察法、海拔高度法等.方法2，类比法，类比“问题1”对于正数与正数（特例理解），一般结论数轴上右边的数大于左边的数（一般发现）得到的基本经验，先在数轴上表示出2，-10，-15，再从数轴上可直观得出：①2＞-10；②0＞-10；③-10＞-15.（总结方法）一般抽象慨括出：于①正数大于负数；于②0大于负数；于③不好说，这也是难点，如何突破？（思维节点、知识分化点、课堂高潮点，更是数学概念语言深入运用细致点）引出：

      思路1 用相反数概念化归为正数比较大小，显然10＜15（基本经验），但-10＞-15（数轴揭示）；于是一般抽象概括为：对两个负数比较大小，相反数小的反而大.

      思路2 用绝对值概念.数轴上发现-10距离原点0比-15距离原点0近，即两个负数与原点O距离（绝对值）近的反而大，于是演绎出：对于两个负数比较大小，绝对值小的反而大.

      再格式程序步骤化，如比较-10与-15的大小.解：因为|-10｜=10，|-15|=15，且|-10｜＜|-15|，所以-10＞-15.

      显然得到了与书上不同的两种方法，即：①类比法，数形结合出“数轴上右边的数大于左边的数”；②化归法，对两个负数用相反数概念化归为正数的方法.

      难点突破，结合基本数学经验化归为正数，化归为相反数、绝对值核心模型，生活化注解方式，运用数形结合数轴观，此乃真正“传承与转合”.从而突出了重点（后几种数的大小比较）、突破了难点（两个负数的大小比较）.

      归纳总结 “有理数大小的比较”方法：概念法（法则或规定）、数轴法（数形结合）、生活法（赋予生活实际意义）.启示：用现在观点（概念观、思想方法观、数形结合）看过去“结论”之本质，即“拾级而上”基础深化、不断改进与提高之举；其次为后面新内容起类比、化归导向、化生为熟之引领.

      教程设计 1）回顾与思考.

      a.不忘老朋友：小学所学数的大小比较即是什么数的大小比较.

      b.用新学知识：又可如何理解.

      c.还有哪些数可以比较，如何比较（点题）.

      2）实例与方法1（结识新朋友），数轴法.

      3）实例与方法2（结识新朋友），两个负数大小比较之绝对值法（改进数轴法，每次画图描点繁琐之缺点）.

      4）灵活运用.

      5）小结与拓展.

      教学启示 不难得知，教材文本的基本解读制约着备课的质量：挖不出联系，就没有自然的动态生成之预设策略；找不出坎坷，就只会平铺直灌，缺少引与领、对与比，缺少跳跃的支点与助推器，也不可能找出本质的知识联系，更不可能培养娓娓道来、由此及彼的逻辑推理能力与想象结合力，那学习理解的数学、数学的理解将只是一句空话.

      二、再谈课本习题的解读思路

      对教材做宏观、微观解读，不仅包括导引、正文文本，还要关注教材后面的各层次的习题.当前的实际情况，老师们很少用心“看过”教材上的习题，顶多布置做做而已，至于其间的联系，承前启后的关联作用几乎无暇问及.下面我们给出湘教版七年级下册数学教材习题中的一个案例，看我们如何解读与演绎：

      案例2 学习了七年级下册第4.5节“垂线”后对课后巩固我们找出的一个中心问题是：

      文本呈现 教材第103页习题B6.

      （1）如图1，∠AOC=60°，BO⊥OA，CO⊥OD，求∠AOD+∠BOC的度数.

      

      （2）如果将（1）中的“∠AOC=60°”这个条件去掉，其他条件不变，你能求出∠AOD+∠BOC的度数吗？

      文本解读 预测大部分学生可能呈现的方法是计算法.

      因为∠AOC=60°，BO⊥OA，∠BOC=90°-60°=30°；又因为CO⊥OD，所以∠BOC=90°-30°=60°，∠AOD+∠BOC=（90°+60°）+30°=180°.

      此法依赖条件“∠AOC=60°”，结合第2小问，我们可以提问学生：不用这个条件可以怎么做？围绕此中心问题，引导学生想出第2种方法：分解组合法.

      ∠AOD+∠BOC=（∠AOB+∠BOD）+∠BOC=∠AOB+（∠BOD+∠BOC）=∠AOB+￡COD；因为BO⊥OA，CO⊥OD，所以∠AOB=90°，∠COD=90°，所以∠AOD+∠BOC=90°+90°=180°.

      显然，此法不再依赖条件“∠AOC=60°”，通过分解组合出特殊角的思路，并可从解答的过程中发现正是“∠AOC=60°这个条件去掉，其他条件不变”下的结论，于是顺理成章地解决了第2小问，“一举两得”.在让学生亢奋之余，我们可以再次提及：反思结果它是一个什么几何模型？

      预估与引导学生找出第3种方法：补平法.

      反向延长射线OA，如图2，产生平角∠AOE=180°.因为BO⊥OA，CO⊥OD，所以∠BOE=∠BOD+∠DOE=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOC=∠DOE，所以∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠DOE=/AOE=180°.

      

      思路意图 不难知，方法1之所以不能顺带解决问题2，是因为离不开条件“∠AOC=60°”，属于计算型，是利用每步计算结果去支撑下一步的走向的.但方法2和方法3却能顺带解决问题2，明显比较方法1高级些、思维品质优秀些.法2与法3比较，前者是平角的数量模型，后者更直观揭示了结论的几何模型，显然后者更优异，思维层级步步高升.可见对教材习题的平面挖掘与模型抽象的意义非常重大！

      法2、法3的关键是揭示了互余关系的转化解题，这正是第102页习题A4看图填空，条件BO⊥OA，CO⊥OD，结论∠AOC=∠BOD提供的基本经验，把它放在前面作为预备题可为后面习题B6起到铺垫的作用.故回归教材，研判教材习题是不可或缺的备课准备的规定动作.如果就此打住，未免太可惜了，围绕上面中心问题可以设计问题链衍生拓展.

      问题演绎1 简单变式：让两个“垂直模型”变为一副直角三角板即有图3.

      （1）如图3，∠AOC=60°，∠AOB=90°，∠COD=90°，求∠AOD+∠BOC的度数.

      （2）如果将（1）中的“∠AOC=60°”这个条件去掉，其他条件不变，你能求出∠AOD+∠BOC的度数吗？

      

      学习了第5章“轴对称与旋转”后，再次变式：

      问题演绎2 两条直角边重合的一副直角三角板，让含45°角的直角三角板绕直角顶点0顺时针方向旋转得到图3，问：

      （1）图3如果旋转角为60°，求∠AOD+∠BOC的度数.

      （2）如果（1）中的“旋转角小于90°”你能求出∠AOD+∠BOC的度数吗？

      （3）当旋转角大于90°时，前两问的结论还成立吗？

      联系“两直线位置关系”的内容的复习与提高，若涉及旋转与平行要点，不妨出类似中考的压轴题：

      问题演绎3 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图4方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）.

      

      （1）若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为；若∠ACB=140°，求∠DCE的度数.

      （2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由.

      （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由.

      解此压轴题的一般方法和简洁方法与上面谈及的教材习题方法完全相同.由于有了上面的基本经验做保证，当然解之就不在话下了.（1）135°，∠DCE=40°.（2）∠ACB+∠DCE=180°.（3）存在，当∠ACE=30°时，AD//BC，当∠ACE=∠E=45°时，AC//BE，当∠ACE=120°时，AD//CE，当∠ACE=135°时，BE//CD，当∠ACE=165°时，BE//AD.

      若涉及旋转与垂直要点，亦可再变式出以下中考的压轴题：

      如图5，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=25°，△COD固定不动，△AOB绕着O点顺时针旋转α（0°＜α＜180°）.

      （1）若△AOB绕着O点旋转图6的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC=________.

      （2）若0°＜α＜90°，在旋转的过程中∠BOD+∠AOC的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个定值.

      （3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由.

      （4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）

      

      答案：（1）120°.（2）不会变化，∠BOD+∠AOC=180°.（3）成立，∠BOD+∠AOC=360°-90°-90°=180°.（4）45°，60°，90°，105°，135°，150°.

      教学启示 通过问题变式，习题串联，可以把更多的知识集同一个问题于一身，尽管形式发生了变化，但“形变、方法不变”，可以起到举一反三、触类旁通，解一题、通一片之功效.达成这个目的的一个重要举措就是回归教材、教材习题，通过对教材习题“中心问题”出现的场合和当时对应的学时和学段，有机组合演绎出如上的问题链，即可有效提高课堂的效益，更为重要的是一步一步地提高学生的思维品质和思维水平与能力，还可充分感受到，关注问题与方法的系统性是提高数学水平的一个重要捷径.因此再次呼吁，一定要看看教材、看看教材上的各层次习题；一定要研读教材习题功能，并从中找出一个“中心问题”再变式拓展演绎，让问题成串、方法成系、思路成链.

      不用多例，由此我们总结出了一种由“平面”向“立体”透细、通亮、“活络”教材易于操作的好方法：中心问题演绎法.这个“中心问题”大多就在文本中，它可打通“文本、老师、学生、媒体”四者筋脉，让“知识、思想、方法、素质”融为一体，使“预设和生成”就有了机会和期盼.同仁们不妨试试.

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