〔摘 要〕 “数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。
〔关键词〕 数形结合 高中数学 高考
1 案例背景
在今年11月7日的周测中有道很常规的应用函数图像解决方程根的问题，可考出来我那两班的答题情况很不乐观，理科实验班仅有13人答对，对此，我很疑惑，不仅琢磨起来。我们都知道，考察函数图像和性质的题型中常用数学结合思想方法，“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。
对于广大学生而言，数形结合思想再熟悉不过。如何将抽象转化为具体，如何让原本复杂的内容变得浅显直观，这是数形结合思想优势的体现。功利化的来说，数形结合思想在解选择题、填空题中更显其优越，而学生们对这一思想的运用能力极弱，甚至害怕运用，主要体现为“遇数不会用形”。
2 案例情境再现
周测第11题：已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）2-x-1，x≤0f（x-1），x＞0若方程f（x）=x+a有两个不同实根，则a的取值范围为( )。
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0，1) D．(－∞，＋∞)
试题分析：此题考察分段函数图像，函数的周期性，应运用数形结合思想方法。
教师预备课解析：①由分段函数图像特征可先画出f（x）=2-x-1在x≤时的图像；②由f（x）= f（x-1）可知当x＞0时函数y= f（x）为周期T=1的函数，图形特点：即当x∈(－1，0]时图像即为y= f（x）在x∈(－1，0]时函数的图像向右平移一个单位，以后以周期T=1重复x∈(0，1]的图像形状，如上图。③代数式解释为：x∈(0，1]，x-1∈(-1，0]，f（x）=2-（x-1）-1，当然，能用性质和图像特征说清楚问题的一般老师们不会采用代数式；④最后，方程有两根等价于两函数y=f（x）图像与直线率y=x+a有两个交点，易得参数a的范围。
想好解法后，上课时我带着学生为什么做不出如此一道常规题的疑惑，先探了下学生：
师：同学们看到f（x±1）= f（x），f（1-x）=f（x）这样的表达式有何想法？
生：第一个说明函数的周期性，周期为T=1，f（1-x）= f（x）表示函数y=f（x）关于x=■对称（当然，有部分学生也说是关于x=1对称）。
师：那对于f（1-x）=-f（x）如何解释？
生1：（有些迟疑）T=2？
生2：对称轴为x=1？
唉，以我对学生的了解，我知道是因为曾经给学生们提过这样的结论，若f中自变量x符号相同，表示周期，即f（x+a）=-f（x）得出T=2a；若f中自变量x符号不同，表示对称性，即f（a-x）=f（x）得出图像关于x=■对称。而我对轴对称提的较多，中心对称很少举例，所以对f（1-x）=-f（x）这个函数值符号不同的表达式，学生们就开始混乱，凭印象中的记忆猜周期加倍，或者对称轴加倍都出来了，丝毫不考虑函数的图像特征。所以，学生对这些所谓的函数性质纯粹当公式记了，而不理解其中含义，自然不会应用了。事已至此，我不想再做过多解释，就索性让学生们自己好好体会一下“形”的意义。
师：请同学们用图形给我解释下f（x-1）= f（x）得出T=1和f（1-x）= f（x）表示函数y=f（x）关于x=对称。对于这个简单问题，学生尝试用图形解释，周期性很好解释，轴对称性有学生图示2如下：师：表达式f（-x）
师：相信同学们不是背出来的，应脑中先有图形意识。给同学们扯这么远，不是强化结论，而是强调同学们的“图形意识”，数缺形时少直觉！师：请同学们自己先试着订正周测11题。果真，当学生有意识的用“形”来解决问题时，问题似乎也没那么难了，我找学生说思路，描绘图像特征，正与我事先备好的讲法一致：一点是分段函数的“形”，还有，就是周期函数的“形”。学生也体会到了用“形”并非难事。
在高三复习阶段，对于那些我们老师认为很常规，学生本应该做对而没有做到的题，或是常讲常做仍旧有问题的题，我觉得需深挖其原因，必定是某个知识点本身学生不理解，或是思想方法学生根本没有掌握，我们老师只有在时时反思中才会不断发现问题根源，及时改进，或下一届让学生在最开始时就能遇到最简洁最美的数学，就像数形结合，让学生最开始时能感觉到：用“形”并非难事。
作者单位：新疆石河子第一中学
论文作者:田新兰
论文发表刊物:《教育研究·教研版》2016年5月
论文发表时间:2016/6/20
标签：函数论文; 图像论文; 学生论文; 同学们论文; 图形论文; 数学论文; 思想论文; 《教育研究·教研版》2016年5月论文;