对一节“正态分布”优质课的简介与思考，本文主要内容关键词为：正态分布论文,优质课论文,简介论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年11月16～18日，由高中数学教育界颇具影响力的全国性、群众性学术团体——中国教育学会中学数学教学专业委员会主办的“第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”在安徽省黄山市举行.笔者有幸前往，观摩了多位教师展示的优质课以及专家们的点评.其中，T教师展示的“正态分布”一课令笔者印象非常深刻，会后笔者又仔细地观看了这节课的录像，总体感觉这节优质课特点鲜明，同时也能激发大家去思考一些问题，个人受益匪浅.
一、课堂简介
教师首先引导学生，通过高尔顿模板的实验，观察到小球的分布具有中间高、两边低的特点，引出问题：“能不能用我们以前学过的统计和概率的知识来研究小球的分布情况呢？”（2′19″.）（括号内标注的是根据课堂录像得到的时间，下同.）
学生提出了三种备用方案：（1）直接计算概率；（2）画频率分布直方图；（3）利用分布列，而其中涉及的概率用频率去估计.（4′35″.）
师生都认为利用第二种方案方便、简洁，因此开始利用图形计算器作频率分布直方图去研究小球的分布情况.再次总结出小球的分布具有中间高、两边低的特点，然后指出，身高、体重和成绩等数据的分布也具有这种特点.在此过程中教师指出，图形计算器画出来的频率分布直方图的纵坐标是频数，而教材中画的频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，由于组距是固定的，所以这两个图形相似.（11′08″.）
然后师生转向研究频率分布折线图，并得出结论：随着实验次数不断地增加，或者组距不断地缩小，频率分布折线图也是中间高、两边低，而且越来越光滑，接近一条曲线.教师以《几何画板》软件进行了动态演示.有学生说曲线的上半部分像二次函数的图象，下半部分像指数函数的图象.在要求学生举出日常生活中曲线形状的实例基础上，总结出钟形曲线的定义以及其函数表达式φ（x），然后给出正态曲线的定义，并指出这是本节课要学习的第一个内容.（17′50″.）
接下来讨论的是，已知小球的分布符合正态曲线，如何计算小球落入某个区间（a，b]的概率，以及当使用的小球特别小的时候如何刻画小球的位置.此时教师展示了图1.在这个过程中，教师引导学生发现要建立适当的直角坐标系（以高尔顿板的底部为x轴，以球槽的宽度作为刻度），把小球落下时与x轴接触的坐标记为X，则小球落在（a，b]内的概率为
教师将高尔顿模板与直角坐标系进行了整合，如图2所示.（24′56″.）
然后教师用PPT展示了关于X的三种说法：（1）X是一个障碍物作用的结果；（2）如果小球与第1个障碍物相撞后向左落下，那么小球与第5个障碍物相撞后也向左落下；（3）X主要受最后一次与小球碰撞的障碍物的影响.要求学生判断是否正确.在解决完这三个问题的基础上得出结论X是一个随机变量.接着给出了正态分布的定义.（27′20″.）
教师指出正态分布中有两个参数μ和σ，它们分别可以用样本的均值和标准差去估计，并讨论了它们的取值范围（μ没有限制，σ必需是正数）.教师指出：“一个量如果受到众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素的作用结果之和，这个量就服从或者近似地服从正态分布.”像同龄人的体重、身高、肺活量等，都近似地服从正态分布，因此有必要进一步研究正态曲线的特点，要求学生以小组为单位，从函数φ（x）的解析式和概率的性质两方面来研究正态曲线的特点.（28′52″.）
学生指出，根据解析式可以看出函数有一个最大值，根据它是频率分布直方图可以得出曲线与x轴之间的面积为1；还有学生指出用图形计算器得出曲线是单峰的，曲线都在x轴的上方，对称轴是x=μ.（35′45″.）
接下来，教师引导学生用控制变量法研究两个参数μ和σ对正态曲线的影响.学生通过图形计算器展示了相关结果，得出结论：μ影响图象的位置，σ决定图象的形状.在此基础上，师生一起总结了正态曲线的特点.（42′56″.）
以学生为主，总结本节课：通过钟形曲线引申出正态曲线，然后再到正态分布；正态曲线的特点是中间高、两边低；运用了统计的知识和特殊到一般的方法，控制变量的方法和数形结合的思想等.（44′58″.）
教师从数学史的角度简单介绍了正态分布的发展历程，提及了棣莫弗、高斯、凯特莱、高尔顿等数学家，要求学生课后了解详细情况，并作总结.（46′25″.）
二、课堂特点简述
从以上课堂简介可以看出，T教师的这堂公开课抓住了知识的主体.通过课堂，学生充分认识到了正态曲线“中间高、两边低”等特点以及正态分布中两个参数对正态曲线形状的影响，还了解到很多现实生活中的随机变量都服从或者近似地服从正态分布.
结合上课班级所使用的教材[1]（人教A版，下同），可以看出T教师仔细研读了对应教材的内容，充分利用了教材提供的各种素材，并对教材的内容进行了精心的加工.例如，T教师上课的进程基本是按照教材提供的顺序进行的，所使用的高尔顿模板也是在教材中有所呈现的.
而且，从前述的图1和图2可以看出，T教师在授课过程中，创造性地把教材中的高尔顿模板的图和正态分布密度曲线的图结合到了一起，使学生能够在直观的形象—小球的分布和理想的形态—正态曲线之间建立起联系，从而更加深刻地掌握正态曲线“中间高、两边低”等特点.
在给出了正态曲线的函数解析式和现实背景，引导学生探究正态曲线的特点时，T教师要求学生以小组为单位，启发他们从解析式和概率的性质两方面去考察，这是值得大家借鉴的.从解析式的角度容易看出对应函数最值和对称轴的信息，但从概率性质的角度无法得到这些；而从概率性质的角度可以避免求不定积分而直接得到正态曲线与x轴之间的面积为1，综合这些信息就能得到正态曲线的大部分特点.
T教师也特别注重相关数学文化知识的渗透和介绍，从一开始介绍高尔顿模板的思想到最后总结正态分布的简短历史等，都体现了这一点.
另外，通观教学录像可知，T教师在上课过程中，多次激励和启发学生进行小组探究学习，要求他们分工合作，并借助图形计算器、计算机软件等现代信息技术来展示和帮助理解有关内容；讲授有关知识时，处处注意与日常生活中的实例相结合，多处体现了新课程的有关教学理念，这里不再详述.
三、可以进一步讨论的问题
下面是笔者观看T教师的展示和课堂录像之后，所思考的几个问题，在此提出来与大家讨论、交流.
1.教师不断强调的“随着实验次数不断地增加”指的是什么？
教师在讲课中不断提到：随着实验次数不断地增加，或者组距不断地缩小，频率分布折线图会越来越光滑，接近一条曲线.那么这里的“随着实验次数的增加”指的是实验的小球个数越来越多吗？
下面先从高尔顿模板中涉及的有关概率谈起.
假设高尔顿模板共有n层钉子（也就是说每个小球从入口处落下后要与n个钉子碰撞后才能落入球槽，而模板的下方共有n+1个球槽），那么不难看出，如果小球要落入左边第k+1个球槽，那么它与钉子碰撞的过程中，有且只能有k次是往右落下的，所以小球落入左边第k+1个球槽的概率为
而且，如果m越大，上述式子中的“≈”应该越精确.
这也就意味着，对于给定的高尔顿模板来说，增加实验的小球个数，只能使得①式的“≈”越来越精确，并不能保证对应的频率折线图越来越光滑.事实上，要使得对应的频率折线图越来越光滑，并接近于正态分布的密度曲线，应该使n变大，也就是增加高尔顿模板的层数.按照T教师的说法就是：要不断缩小组距.当然实验的小球个数也要足够多才行.
另外，我们知道，随机变量X服从二项分布B（n，p）指的是
.
由此可以看出，高尔顿模板是二项分布B
的一个绝佳模型.早在18世纪，棣莫弗（A.de Moivre，1667—1754）就已经发现[2]：如果
～B（n，），则
其中
是标准正态分布的概率密度函数.这就从理论层面上保证了当n充分大时，二项分布的频率折线图将越来越趋向于正态分布的密度曲线，因而此时也就可以用正态分布去近似二项分布.这其实只是概率统计中棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的特殊情况.
2.高尔顿模板在正态分布这一内容中的作用是什么？
在这堂公开课中，高尔顿模板是中心之一，课堂中，几乎有一半时间都是与高尔顿模板及其实验有关的.
前面也谈到，课堂中T教师创造性地把高尔顿模板的图和正态曲线的图结合到了一起（图2）.但是，这样的处理也是需要谨慎的：高尔顿模板中，小球堆积出来的形状，相当于是一个频数分布直方图；而正态曲线是频率分布直方图的极限状态，虽然频数分布直方图和频率分布直方图从形态上来讲是“相似的”（严格地说，是在竖直方向做了伸缩变换），但把它们放在一起还是有让学生混淆的风险.教材中在呈现有关内容时，特别指出“刻度单位为球槽的宽度”，实际上是规定频率分布直方图中的组距为1.T教师在课堂中，以“球槽的宽度作为刻度”代替了教材中的话，如果此时能加以更进一步的说明，阐明这样做的原因的话，学生应该能更深刻地理解两张叠加在一起的图之间的区别.（教师在课堂上提到过图形计算器作出的是频数分布直方图，与对应的频率分布直方图是相似的.）
而且，在笔者看来，教材中之所以引入高尔顿模板，是为了让学生直观地了解对应的频率分布直方图，然后在此基础上引出正态曲线和正态分布这一内容，起到的应该是“情境引入”的作用.换句话说，怎样研究小球的分布情况和为什么小球是这样分布的，与本节课的内容关联度不大，因此也就没有必要花太多时间去讨论.事实上，从前述可以看出，利用直接计算概率的方法并不比画频率分布直方图的方法麻烦，虽然其中用到了排列组合的知识，但是这样做既可以复习二项分布，又可以让学生更加深刻地体会用频率估计概率的思想（正因为如此，笔者认为，高尔顿模板是验证二项分布的一个很好的模型，可以考虑利用高尔顿模板去讲授二项分布的有关内容）.
3.正态分布内容的课堂教学目标浅议
之所以提出这个问题，是因为教材对应的教师教学用书建议该内容的课时数是1，而T教师是按两个课时来设计的，所呈现的公开课是第一个课时.
《普通高中数学课程标准（实验）》中对这一内容的要求是：“通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.”
教材对应的教师教学用书上给出的正态分布一节的知识结构中，从正态分布密度曲线出发，列出了以下四个内容：（1）正态分布密度曲线的特点；（2）参数μ和σ对正态曲线的影响；（3）正态分布的意义；（4）正态分布随机变量取值在（μ-σ，μ+σ]，（μ-2σ，μ+2σ]，（μ-3σ，μ+3σ]的概率.按照课程目标、单元目标、课堂教学目标的层次[3]来分析，笔者认为，以学生了解上述四个内容作为正态分布内容的课堂教学目标，既能体现课标的要求，又能适应高中学生的认知水平.
从前面的课堂及其特点简介中可以看出，T教师的这堂课很好地完成了（1）（2）（3）的教学，但没来得及讲授内容（4）.
在内容（2）的讲授过程中，大多数教师（包括T教师）都特别重视使用计算机软件等让学生直观地了解相关结论，效果很好.但笔者认为，如果在此基础上，从这两个参数本身的意义出发加以解释的话，效果会更好.事实上，μ和σ分别是正态变量的均值和标准差，而均值又与正态曲线的对称轴有关，因此μ的变化必然引起曲线对称轴的变化，也就是使曲线的位置移动；σ变大，说明数据的标准差变大，也就是集中程度减小，因此曲线肯定变得“矮胖”；σ变小，说明数据的标准差变小，也就是集中程度增强，因此曲线肯定变得“高瘦”.不难看出，这一结论具有广泛性.
实际上，从频率分布直方图中判断标准差的相对大小，对学生来说总是有些困难.海淀区某次全区统考中，类似如下的一道选择题，绝大部分学生给出的答案是C，而不是正确答案A.
已知四组样本数据的样本容量和均值都相等，它们的频率分布直方图分别如下，则其中标准差最小的样本数据对应的频率分布直方图是（
）.
正态分布的有关内容，在高等数学的概率论中，是有了连续型随机变量及其概率密度函数的基础之后再介绍的，但这些知识目前并不在高中阶段的教学范围之内.因此应该选择正态分布的哪些内容来教，教学目标设置到何种程度最合适，怎样进行教学，如何讲解才能极大地提高课堂教学效率，“原则”怎样处理和应用，如何考查正态分布的相关知识，怎样检验学生是否达到了预定的教学目标，这些都是值得广大高中数学教育工作者研究和探讨的问题.广大一线教师已经在这方面做出了有益的尝试[4]，相信随着大家的深入交流与讨论，这部分内容的教与学都将越来越顺利.