试论数学直观，本文主要内容关键词为：直观论文,试论论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教育是人类最大的教育，没有地域和语言之分.若数学是一种语言，那么它是迄今为止唯一一个人类的共同语言，是锻炼思维促进人类科技发展和揭示宇宙奥秘的法宝之一.数学直观是整体把握数学的有效方法，具有发现功能，数学家往往依赖直观来推动数学发展.因此，培养良好的数学直观对个体数学素养的提升和数学问题的解决有着重要意义.
一、数学直观的涵义
史宁中教授指出：“建立直观是非常必要的，就教育而言，直观是一种判断能力，是凭借专业直觉对事物作出直接判断的能力，包括由条件预测结果的能力，也包括由结果探究成因的能力.”[1]数学本质上是研究那些脱离具体内容的形式和关系，数学发展就是从直观到抽象，从粗糙到精致，从不严密到严密的过程.
数学发展与客观世界有着紧密联系，它既可以是描述事实的直观模型，也可以反映不同层次概念或规律的数学抽象，遵循“直观—抽象—推理—直观”的螺旋式发展模式，通过形式化而实现精确性.从数学史料的很多典型范例可以了解到，诸多数学家的洞察、联想和抽象能力对数学发现与发展所做出的杰出贡献，这些基于数学知识之上的看穿事实本质的“眼光”就是数学直观.例如，笛卡儿创造的颇具直观意义的数学工具，即直角坐标系；欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为简练的数学直观图，使解决问题过程达到以简驭繁之效果.数学家克莱因认为：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握.”[2]
数学直观是对客观事物进行数学抽象之后所形成的对象概念与关系概念的直观理解之上的，以具体背景为载体，未经演绎推理而对问题做出的一种迅速的直接的识别、猜想、类比、联想、转化、估计或判断的思维能力.数学直观思维就是体验与经验因素同数学问题的本质直接联系的个体判断力，体现了数学思维形式的整体性和综合性，思维过程的简约性和直接性，思维方式的自由性.数学直观是哲学中的康德主义，其核心思想是“存在必须是被构造”；而笛卡儿认为，直观是纯粹理性的，理性并不能完全摆脱或无视某些经验，虽然直观不能保证普遍原理的确定性，但是具有发现真理的功能.
依据数学研究的不同分支，数学直观分为几何直观、代数直观等若干类别；还可以依据个体修养的高低，分为从低级到高级的不同层次的数学直观，各种著名的数学猜想就是高层次的数学直观.假设有若干个真命题A
B，BC，CD，DE，EF，FG…….如果没提起结论B的前提下从条件A直接能想到B是最基本的数学直观的话，那么没提起B、C、D、E、F的前提下从条件A直接能想到G就可称之为较高层次的数学直观.
直观与日常生活和工作学习等一系列人类活动也有着紧密联系.例如，瓦特见壶盖在动，萌发一种联想，发明了“瓦特蒸汽机”，促进了工业大变革；人们相互交流不可能按照演绎模式，而是凭借个体直观所得观念进行的；又如各领域都存在不同需求的评价，不可能每种评价都要依据严格的标准进行测试，而是凭借个体的直观标准做出适当评价.
直观既然是依赖个体经验的一种判断，其结论不是严格的，需要严格证明或举出反例来否定.
二、数学直观的形成
直观是先天的、本能的，也有后天在成长环境中随着个体素养提升自然形成的.本文所谈论的数学直观，是指按照数学教育的总体目标与个体需要通过教育教学活动和情境有意识地培养的直观，是个体数学素养的重要组成部分.数学直观能力的形成与发展，依赖于个体的问题意识、知识结构、洞察与联想能力、思维模式与专业实践经验.
（一）数学直观来源于问题意识
个体数学直观来源于问题意识.教师既要关注提出问题的眼光，又要关注问题的来源与本质.人们在研习和运用数学的过程中总遇到一些难以解决的、疑惑的实际问题或理论问题，并产生一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，并不断提出问题或寻求解决方法，唤起深入持久的思考，这就是数学问题意识.对个体来说，因为了解数学发展史与文化的程度、理解实践与理论前沿问题的程度以及个人养成的专业习惯、体验、经验的不同，问题意识的层次都存在着很大差异，从而产生直观思维能力的差距.问题意识是发明创造的源泉，可是有些结论没被人们接受之前感觉很荒谬，是因为习惯了演绎思维.总之，个体问题意识的层次差异导致关注度的差异，从而影响数学直观的发展.
（二）数学直观依赖于知识结构
数学发展的最基本形态是：借助推理把关系概念应用于对象概念，得到数学基本命题.[3]由于有了概念，人类的思维才更为抽象，才能摆脱事物中零散的细枝末节的干扰.围绕概念所形成的知识结构是数学直观形成的载体，只有深入理解各种数学概念的本质与演变过程，并且整体把握学科知识才能提高洞察事物的“眼光”.就像康德说的那样：缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的.每位个体数学直观依赖于头脑中的数学知识的数量和结构，是在形成知识结构的过程中逐步发展的，即概念来源——形成过程——表征方法——理解维度——同化——数学联结——概念图——应用思维——数学直观.[4]也就是说，从具体到抽象、抽象到具体的螺旋式升级过程中，人的知识从线性结构到网状结构、简单关系到复杂关系，进而深层次地理解和重建新的概念结构，生成更多的新概念，形成数学直观.
（三）数学直观形成于训练过程
数学直观是多年的体验、经验与专业实践的结晶.要想很好地建立数学直观，那么在数学的教学实践中就要精心提炼、有意渗透、反思优劣、反复孕育、经常应用、逐步推进、分层达到.典型案例的收集和探究是训练数学直观的切入点和突破口.例如，几何、估算和代数问题的数形结合以及概率统计中的直观图等教学内容就是训练直观的天然载体.而数学训练内容的计划、过程的设计、方法的选择是关键.
整个训练过程要融思想性、教育性、挑战性、实用性为一体，使学生亲身经历或体验于情景之中，使受训学生转换思维、转变观念、重塑自我，树立正确的人生观和价值观，改变原有的训练态度和方式.既要注重知识技能的训练，又要注重思维方法与综合实践能力的训练，避免单一刺激或主观偏见或盲目加强演绎思维训练，凸显主体的感觉体验、领悟和认知.在训练活动中，引导学生资源共享、共建最有效的交流平台，指导学生收集和利用自身经验大胆做出直观推断，使学习过程变成学生解决问题的探索过程.
（四）数学直观发展于专业实践
世界上一切事物都不是孤立存在的，彼此之间存在着千丝万缕的联系，我们对概念以及概念相关背景详加分析、考察、比较，调动大脑丰富的储备再进行判断，不断发展自身的直观能力.数学经过充分形式化后，有必要结合史料和典型案例进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和应用要求，这依赖专业实践来逐渐发展.
脑科学研究表明，人的左脑的功能是抽象概括思维、逻辑推理思维，掌管语言、概念、符号、分析等功能，而右脑的功能是感性直观思维、创造性思维，掌管空间、想象等功能.右半脑发达的人，在预知力、空间想象力和宏观思维力比较强，不拘泥于局部的整体意识强，具有预知变化或结论、大胆猜测跨越式发展的直觉思维.因此，发展数学直观又是认识论问题.也就是说，要按照符合认知理论和学习理论的要求合理设计学科知识学习计划与专业实践活动，积累丰富的专业经验，促使数学直观的发展.
三、数学直观的培养
培养直观从简单、小范围、个案开始，养成刻意预测、猜想或判断的习惯，并且要记住或记录自己的结论，等到验证或实践检验，再做反思.
（一）数学思想是培养数学直观的灵魂
数学思想是人们对数学知识的本质的认识，是数学思维方法与实践方法的概括，是数学发展的内在动力，是知识化为素养的桥梁，是培养数学观念促成创造思维的关键.而数学教育则是传承数学思想文化并在传承中培养数学“眼光”的精神活动.浩瀚的数学史海洋里具有丰富而鲜活的思想方法，是一份宝贵的数学思想文化资源.数学教学就是数学发展史的一种缩影，也是培养数学直观的主要载体.结合数学的起源、产生与发展过程渗透和揭示数学思想与方法，完善学生的认知结构，培养学生良好的思维习惯，促使学生站在一定高度挖掘所学知识的内在联系和规律，充分体验“知识再发现”过程中的乐趣，进而培养数学直观是广大数学教育工作者的共同目标和长远的追求.当今世界上各种各样的激烈竞争，归根结底是人的智力和素质的竞争，而数学思想文化在培养人们数学直观的过程中发挥独特的、不可替代的作用，已成为数学素养进步的重要标志.
（二）扎实的专业知识是培养数学直观的基石
数学知识是数学思想与方法的载体，只有扎实的知识才有可能形成解决问题的能力和操作规则或模式，才能够培养化繁为简、化隐为显、化难为易、化一般为特殊、化抽象为具体的数学“眼光”，即直觉思维.只有充分挖掘数学思想方法和核心概念的背景知识，通过选择整理指向培养目标核心的、极富穿透力和启发性的教与学的资料充实头脑，才能够提高专业“嗅觉”，培养创新能力.
个体要从整体上把握专业知识，形成个性化认知网络，才能够优化思维模式和提高直观判断力.在数学教育教学与学习过程中所产生的偏差与误区并非仅仅是理念问题，更重要的是对学科知识理解不深刻，未能理解概念本质，实际操作过程中做不到有效压缩和适度拓展，从而出现没有选择的题海战术，就题论题，陷入枯燥、单调、重复的数学解题程序.对于教师的学习与培训过分强调多元化、多样化、多维度化和综合化评价，忽略了专业知识的“载体性”、“主线性”和“拓展性”的地位与作用，是致使数学教育中数学直观培养缺失的一大因素.总之，专业知识的深厚、广博程度是促使个体数学直观发展的坚实基础.教师的专业知识不够，不可能一眼就看穿问题的本质，不可能准确、客观、真实地作出直观反映.
（三）良好的氛围与情境是培养数学直观的土壤
心理学家特瑞克勒曾经说过：人们的学习有83.0%是通过视觉获得的.因此创建必要的条件，用虚拟的和客观的情境来刺激感官，从观察、试验开始养成刨根问底、细心研究、冷静观察、大胆判断的习惯，通过归纳、抽象激起数学联想与猜测，继而上升为数学直观是符合认知发展规律的.
对学生来说，学习数学的氛围有两种：一种是教师的人格魅力，一种是来自情境的心理氛围.数学本身的魅力是通过教师的数学素养和人格魅力来吸引学生的.数学教师自身具备良好的数学灵感与悟性，知识渊博，举一反三、触类旁通、返璞归真、一题多解与多题一解的教学能力，同时具备善于沟通的人格魅力和科学的育人评价理念，是培养学生数学兴趣与养成理想的学习习惯的土壤.在现实与生活中搜集各种数学图形与图像、工程设计图，创设审美活动情境与交流平台，培养数学审美意识或美感.运用数形结合法应用案例或几何教学内容训练抽象复杂问题的直观解释与直观理解力.理想的数学教学则是创设宽松的研讨环境，营造学生想猜、敢猜、想验证、敢验证的学习与探究氛围，相互沟通，互相激励，彼此促进.机会属于有准备的人，遇到困难之前做好充分准备的意识，有足够的底气才能增强预测、猜想的信心，形成主见，才会使人的头脑更清晰，思维更敏捷.
（四）科学的评价是培养数学直观的导航
数学教育评价理念成为制约师生数学素养发展的瓶颈.教师只有充分了解数学教育发展的历史背景和趋势，确立人性化教育理念，净化个人心灵，陶冶个人情操，培养善良美德，提升人格境界，才能担负起培养具有人文精神的全面发展的人的神圣使命.每一位学生的兴趣爱好、基础与追求目标都有差异，反对淘汰式数学教育，追求发展性教育，要尊重学生的个性和身心发展规律，强调满足学生的发展需要，改变千人一面的目标模式，改变整齐划一的评价理念.要注重培养数学能力的教学过程与各类活动中渗透尊重的评价理念.首先，既要关注数学活动结果，又要关注过程，因材施教；其次，避免评价内容片面、方法单调、过于强调共性和一般，尊重个体差异，注重潜能的评价，发挥评价的导向、激励、改进功能；再次，树立科学的评价理念，正确处理理论与实践、过程与目标、载体与渗透、知识与方法的关系，突出数学学科特色.
（五）典型案例是培养数学直观的切入点
个案研究对数学直观来说是至关重要的.首先，从典型案例出发，认清问题相关的事实、关系和解决方法，提出问题、收集解决问题所需条件、设计解决问题方案，从而建立直观；其次，在解决多个个案过程中积累经验，利用概念、图形、符号和关系等描述一类问题，形成认知结构和思维模式，进而培养解决具有现实背景的一般性问题的数学能力，进而提升数学判断力.
总之，数学教学不仅仅是符合认知发展规律的知识传授过程，而且是提供适宜的数学活动与案例优化思维、强化专业“眼光”的再探索、再发明和再创造的修正过程.教师以概念理解和问题解决为主线，深入思考、自主探索、动手实践、合作交流、文本研究等方式不断完善知识结构，提高理论水平，培养促使创新思维发展的数学直观是数学教育的理想目标之一.