几何推理教学设计的效能分析与提升，本文主要内容关键词为：效能论文,教学设计论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维过程叫做推理.推理由题设和结论两部分组成.初中几何推理是最基础的思维训练，它强调的是步步言之有据，对培养学生的逻辑思维及逻辑推理能力有特殊作用.随着新课标的实施，在教学过程中发现学生的数学学习能力、应用能力均有所提高，但几何证明中的逻辑思维能力有下降的迹象.几何推理教学设计是否合理、科学，将直接影响着课堂教学的成败；几何教学设计能否揭示几何图形蕴含的性质，是否遵循有效性的教学理论，直接影响着学生能否自觉运用逻辑基础知识进行分析概括，形成概念.笔者尝试剖析以下几个教学设计案例，通过对教学设计的效能分析，尝试帮助学生掌握寻求几何问题更深层次的规律的方法，以期同仁指正.
一、演绎推理、合情推理并驾齐驱
合理推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理.演绎推理是从已有的公理出发，经过严密的逻辑推理得到一系列定理和结论的推理.课标认为：学生应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎能力”.数学教学强调教学的严谨性，但数学不是一门纯粹的演绎科学，而合情推理恰能帮助学生进行大胆猜想，为学生的探索提供努力的方向.两者相辅相成，是数学思维的两翼，演绎推理是认证手段，合理推理是发现的工具.
教学设计片断回眸：如图1，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.如果直接要求求证OP垂直平分线段AB，容易造成学生证题思路出现障碍.可引导学生观察在透明纸上画出图形操作，比较后设问如下.
（1）题中给出的图形是轴对称图形吗？你能找出它的对称轴吗？
（2）找出图中的等腰三角形、直角三角形.
（3）弧AD、弧BD是否相等？为什么？
（4）OP与AB有怎样的位置关系？为什么？
效能分析：问题串的设计激发了学生对数学问题的猜想，学生在比较、猜想、顿悟等思维形式中，作出探索性判断，产生的一个个新判断的推理过程是以直观的操作、观察、归纳等方法实现的，是直观的推理过程，也是合情推理的过程.合情推理的价值在于在已有知识的基础上产生联想，在观察中实验减少了猜想的盲目性，启迪了学生的创造性思维，发展了合理推理能力.合情推理是演绎推理的前奏，演绎推理是合情推理的升华.
设计意图：波利亚等数学教育家认为：演绎推理是确定的、可靠的，合情推理则带有一定的风险性，而在几何推理中合情推理的应用与演绎推理一样广泛.严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的.合理推理并非凭空想象，它是根据一定的知识与方法，做出的探索性判断，将题中的图形沿PE折叠，发现它本身是个轴对称图形，蕴含了两个相似的直角三角形等基本图形，帮助学生更好地掌握利用圆的切线的相关性质解决问题的策略.
教学中我们常把合情推理与演绎推理相结合，通过观察、实验等手段，合情推理得出猜想，进而寻求证据，再由演绎推理证明结论的真伪，将两种推理有机融合在数学几何教学中，让学生真正体会到“分析”、“假设”、“结论”、“证明”等多种几何推理环节.
二、贵有思路，重在分析得法
几何问题种类繁多，推理证明每步要言之有据，要重视对问题的分析.初中几何中常用的推理证明方法有综合法和分析法.综合法是从已知条件出发进行推理，顺次逐步推向结论，达到目标的思考过程.分析法是由求证着手分析推理，要获得这个结论，需要什么条件，推究直到条件与已知相符合为止.
教学片断回眸：如图2，梯形ABCD中，AD//BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于点Q，连接PE，若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）.
（1）t为何值时，PE//AB？
（2）设△PEQ的面积为y（
），求y与t的函数关系式.
（3）若
，求t的值.
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由.
教师引导学生从以下几点分析下列问题.
（1）动点P与线段EF的运动有什么区别？
（2）动点P与线段EF同时停止运动，还是一方停止，另一方到达目的地后再停止？
（3）PE//AB，图中有哪些已知量？还有哪些量可以用含t的代数式表示？
（4）当时，你能列出一个方程吗？依据是什么？
（5）五边形PFCDE的面积如何分割转化？你能发现什么规律？
效能分析：分析动点问题，关注运动后形成的图形，依据教师提出的思路、步骤分析和推理，反思分析问题的方式、方法，形成推理模式，由命题的结论，确定思考方法，引导学生学会执果索因，思考逆推结论成立需要哪些前提，“要证什么？需要什么？题目中有了什么？还缺什么？需补什么？”或“由已知得到什么？”再在结果和前提之间寻找相通的思路，逐步形成几何推理的技能和技巧.
几何推理的严谨性突出表现在几何语言表述上，关注学生“文、图、式”三者的互译和统一，运用数学“语言”，清晰表达推理过程，鼓励学生交流“你是怎么想的？”“发现了什么规律？”“添加辅助线的目的是什么？”“通过添加辅助线新构造了哪些几何图形？它有什么功效？”引导学生用自己的数学理解，自觉对话，驱动思维，教会学生类比联想，依据已知条件探求图形特征，寻找问题解决的方法.
逻辑推理能力的培养不能一蹴而就，通过加强分析训练，逐渐达到推理严密、科学，论述条理、清晰的能力要求.课标指出：“推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或反例.”猜想之后进一步的逻辑推理是锻炼学生的思维和创造能力的主要途径，也是数学教学中的主要任务之一.
三、变式训练，揭示内涵求创新
变式是指置换、变更、转向、迁移题设与结论，对蕴含丰富数学知识点的原题进行挖掘、拓展、加深.变式训练可形成一系列的知识链、问题链、方法链，通过纵向加深，实现横向迁移，帮助学生加深对某一知识系统的、深刻的理解，帮助学生及时纠正认知偏差，掌握科学的解题方法，养成良好的思维习惯.
教学设计片断回眸：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，CD是斜边AB上的高，求证：
变式1 如图5，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B=∠ACD，上述结论是否成立？
变式2 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:4，试探究△ABC的三边a、b、c之间的关系，并写出推理过程.
效能分析：变式是一种重要的思想方法，几何证明变式训练，在课堂上展现知识发生、发展、形成完整的认知的过程，让学生体验“提出问题——分析问题——检验证明”的解题过程，从整体上把握信息，整合条件，寻求突破，为学生提供一个求异、思变的空间，通过一个“变”字，改变问题中的条件，转换探求的结论，变换问题的形式及设问等多种途径，举一反三，触类旁通，感悟数学方法，通过研究一个问题就能透彻理解一类问题.指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去审视几何问题，培养学生灵活多变的思维品质.
设计意图：对于变式1，类比上题解法，得
对于变式2（如图6），分别作∠ABC、∠ACB的角平分线BD、CE，依照上述结论，得出：
把一个基本的数学图形整合变换，在变式的探究中寻找图形的基本规律，掌握三角形相似及比例变换等知识的内在联系.由特殊到一般，改变题目中的前提，转换寻找的结论，变革题目的情势或图形的外形位置，让“多变”的情境和“多样”的问题激发学生主动学习的热情，点燃学生灵动的智慧火花，引导学生体验“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉.
课标要求把数学的“基本思想”作为“基础”要求，数学推理的思想和方法蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中，它是解决数学问题的核心.几何推理教学的境界在于：“对于学生，它不但使学生学到知识，会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法.”在平时的几何教学中，通过不断补充，完善和比较几何推理证明的方法，活跃学生分析问题的思路，达到培养逻辑思维能力的目的.培养学生的推理能力是一个循序渐进的过程，教师在优化几何推理教学设计的同时，也渗透了教师对几何推理本质的深刻领悟，精心设计教学内容，设置诱人的推理悬念，创设生动的探究情境，激励学生积极思考，更好地帮助学生突破几何推理和证明能力提高的难关，体验成功的快乐，享受数学的愉悦.